特殊角的三角函数值及计算Word版

7．(中考·庆阳)在△ABC 中，若角 A，B 满足|cos A－ 23|＋(1－ tanB)2＝0，则∠C 的大小是( D ) A．45° B．60° C．75° D．105°
8．若△ABC 中，sinA＝cos B＝ 22，则下列最确切的结论是( C ) A．△ABC 是直角三角形 B．△ABC 是等腰三角形 C．△ABC 是等腰直角三角形 D．△ABC 是锐角三角形
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边

AC . AB
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
1. 对于sinα与tanα，角度越大，函数值越 大 ； 对于cosα，角度越大，函数值越 小 .
2. 互余的两角之间的三角函数关系： 若∠A+∠B=90°，则sinA = cosB，cosA = sinB， tanA ·tanB = 1 .
cos 30 3a 3 ，
60°
2a 2
tan 30 a 3 .
30°
3a 3
∴ sin 60 3a 3 ， 2a 2
cos 60 a 1， 2a 2
tan 60 3a 3. a
60°
30°
设两条直角边长为 a，则斜边长 = a2 a2 2a.
∴ sin 45 a 2 ， 2a 2
14．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC 上．已知∠BDC ＝45°，BD＝10 2，AB＝20，求∠A 的度数． 解：∵∠BDC＝45°，∠C＝90°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BC＝CD. ∵BD＝10 2，∴BC＝10. ∵AB＝20，∴sin A＝BACB＝1200＝12. ∵∠A 为锐角，∴∠A＝30°.

o o
练习一
1、下列说法正确的是( A. tan80 ° <tan70 ° B. sin80 ° <sin70 ° C. cos80 ° <cos70 ° D. 以上都不对
)
例1、求下列各式的值：
2 (1) sin 45 2

利用特殊的三角函数值进行计算 :
(2) 1 2 sin 30 cos30
特殊角的三角函数值
复习： 1.锐角三角函数的定义
B c A b a C
C 90 在 Rt ABC 中，
A的 对 边 a ∠A的正弦：s inA 斜边 c
∠A的余弦
A的 邻 边 b : c os A 斜边 c
A的 对 边 a A的 正 切 ：tanA A的 邻 边 b
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, 6 ，BC= 3 ，求∠A的度数。
B
6
3
A
C
解简单的三角方程 例3.求适合下列各式的锐角α
3 ( 1) tanα 3
( 2) 2s inα 1 0
巩固 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC= 21 ，BC= 7 ，求∠A、∠B的度 数。
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
B
A的 对 边 3 Sin60°= 斜边 2
a
C
60°
2a
30.0
A
A的 邻 边 1 cos60°= 斜边 2
A的 对 边 tan60°= 3 A的 邻 边
3a
B
2a
45.0
a
C
A的 对 边 2 Sin45°= 斜边 2
B
7
A
C
21

？
思考
两块三角尺中有几个不同的锐角? 两块三角尺中有几个不同的锐角? 分别求出这几个锐角的正弦值余弦值正 切值． 切值．
设图中，每个三角尺较 短的边长为１，利用勾股 定理和三角函数的定义可 以求出这些三角函数值．
300、450、600角 的正弦值、余弦值和正切值、余切值如下表:
三角函数 正弦sinα 锐角α
0 ’ ” 键,进一步得到 还可以利用 2nd F 07’08.97 这说明锐角A精确到1 的结果为 08.97”( ∠ A=30007 08.97 (这说明锐角A精确到1’的结果为 的结果为30 9 ). 3007’,精确到1”的结果为3007’9”). ,精确到1 的结果为
怎样验算求出 ∠A=3007’9”的 是否正确?
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数.
解: (1)在 中 图 ， BC 3 2 Qsin A = = = AB 2 6 0 ∴∠A = 45
(2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的 OB的√3倍,求α.
B 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦( 一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 锐角的余弦等于它的余角的正弦); 一个锐角的正切,等于它的余角的余切( 一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个 锐角的余切等于它的余角的正切); 锐角的余切等于它的余角的正切); A c a b ┌ C
例4.(1)如图,在Rt△ABC中, 4.(1)如图, Rt△ABC中 如图 ,BC=√3,求 的度数. ∠C=900,AB=√6 ,BC=√3,求∠A的度数. (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 (2)如图,己知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 如图 AO OB的√3倍,求α. OB的

28.1.3 特殊角的三角函数值教学目标1．知识与技能（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．（2）记住30°，45°，60°锐角的三角函数值，从而达到知道特殊角能求三角函数和知道特殊三角函数值来求锐角的效果。

（3）运用特殊角三角函数值解决直角三角形有关的简单的实际问题．（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．2．过程与方法经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力．贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，再探究问题的过程中找出规律。

3．情感、态度与价值观通过用30°，45°，60°角的特殊三角函数值的应用过程，发展学生观察、分析，•解决问题的能力．培养学生数形结合的思想．重点与难点1．重点运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值.2．难点熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用.复习引入如图在Rt △ABC 中，∠C=900AB BCA sinA =∠=斜边的对边AB ACA cosA =∠=斜边的邻边ACBCA A tanA =∠∠=的邻边的对边1. 对于sin α与tan α，角度越大，函数值越 ； 对于cos α，角度越大，函数值越 .2. 互余的两角之间的三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA cosB ，cosA sinB ， tanA · tanB = .在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：在300,600,900为角三角板时可以设300角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．在450,450,900为角三角板时可以设450角所对的边长为a ，•利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：∠A的邻边b∠A的对边a 斜边c CBA通过上表，让学生观察上表中数字变化的规律并加以总结：对于正弦值，分母都是22，．对于正切，60•，即是下一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用1．师生共同完成课本第114页（盲文课本第314页）例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12）2+（2）2=1（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°=2÷2-1=0巩固练习 一、选择题．1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=600，则sinA 是（ ）．A ．21 B ．22 C ．23D ．1 2．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB=33，则∠A 是（ ）． A ．300 B ．450 C ．600 D ．900二、计算：(1) sin30°+ cos45°； (2) sin 230°+ cos 230°－tan45° 解：原式 =2212221+=+解：原式 =01232122=-+）（）（2．师生共同完成课本第115页（盲文课本第315页）例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中，∵sinA=BC AB =， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中，∵tana=AO OB OB=∴a=60°． 当堂练习1.tan α＝1，锐角 α 的度数应是 ( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°2. 已知sinA =21，则下列正确的是 ( )A. cosA =22B. cosA =23C. tanA = 1D. tanA =33. tan (α+10°)，锐角 α 的度数应是 ( ) A ．60° B ．50° C ．40° D ．30° . 4. 求下列各式的值：(1) 1－2 sin30°cos30°；(2) 3tan30°－tan45°+2sin60°；课时总结 学生要牢记下表：对于sina 与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa ，角度越大函数值越小． 拓展延伸1. 已知：| tanB －| ＋ (2 sinA － )2 ＝0， 求∠A ，∠B 的度数.解：∵ | tanB － | ＋ (2 sinA － )2 ＝0， ∴ tanB － =0 ，2 sinA ＝0， ∴ tanB ＝ ，sinA＝2∴ ∠B ＝60°，∠A ＝60°.2.已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B满足 (1－tanA)2 ＋|sinB － 2|＝0，试判断 △ABC 的形状．解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB －2|＝0， ∴ 1－tanA=0 ， sinB － =0 ∴ tanA ＝1，sinB ∴ ∠A ＝45°，∠B ＝60°， ∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴ △ABC 是锐角三角形． 课堂小结特殊角的三角函数值⎪⎩⎪⎨⎧三角函数值角函数通角的三角函数值60、45、30000过作业设计 课本练习做课本第114页习题28．1复习巩固第3题． 1．下列各式中不正确的是（ ）．A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45° 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 BCD ．1 3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12，ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（ ）．A ．34 B ．43 C ．35 D ．456．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）． A ．小于12 B ．大于12CD ．大于17．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：2，则sinA+tanA 等于（ ）．A1.2B C D + 8．sin 272°+sin 218°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12D9）2+││=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形 二、填空题．10．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______． 11．cos 45sin 301cos 60tan 452︒-︒︒+︒的值是_______．12．已知，等腰△ABC•的腰长为，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知cosA=________． 三、解答题．14．求下列各式的值．（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°（3）2cos602sin 302︒︒-; （4）sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒-sin60°（1-sin30°）．（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°·tan30°（6）sin 45tan 30tan 60︒︒-︒+cos45°·cos30°15．若方程2x 2+（4sin θ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．班主任经验介绍班主任是份繁琐的工作，我于2008年参加教师工作以来，一直在乡镇学校任教并且一直当班主任，整整十二年了，在这十二年里我想我付出了很多也得到了很多，谈谈以下几点：1.首先，作为班主任要明确自己的身份和责任，以自身来讲，要不断的学习，提高自身的业务水平，特别是勤于参加各种培训学习，如国培，外出跟班学习，参加名校，名师的学习，理论知识的学习等。