1-10系列论文12篇之10：微积分的新体系

《中国科技史杂志》第45卷(2024年)第1期:88—98TheChineseJournalfortheHistoryofScienceandTechnology　Vol.45(2024)No.1

康托尔集的产生和影响

江　南1,2　唐　泉2　刘建新3

(1.西安石油大学理学院,西安710065;2.西北大学科学史高等研究院,西安710127;3.信阳师范大学教育学院,信阳464000)

摘　要　康托尔集作为分形几何早期经典的集合,溯源它的产生过程对于

完善分形几何的历史有着重要的意义。在点集论萌芽和实数理论严格化的历史

背景下,史密斯以处理函数的可积性问题为动机,以探究不连续函数的积分条件

为出发点,以寻找不满足黎曼积分理论的具体反例为突破口,构造了外容度为正

值的无处稠密集,即康托尔集的初始模型。康托尔则另辟蹊径,从研究导集的概

念入手,以澄清点集的稠密性和完备性的内在关系为导向,以探寻具体的实例为

目标,运用无穷级数表示理论,构造了一个完备但处处不稠密的点集。康托尔的

工作相比史密斯更顺应当时的数学发展潮流,因此获得该点集的冠名权。此外,

魔鬼的阶梯、分数维数、康托尔尘等分形对象在康托尔集的影响下相继产生,它

们为分形几何的最终创立提供了思想源泉。关键词　康托尔集　稠密性　完备性　分形几何

中图分类号　N09∶O18

文献标识码　A 文章编号　1673-1441(2024)01-0088-11

收稿日期:2022-08-19;修回日期:2022-12-04 作者简介:江南,1983年生,西安石油大学副教授,西北大学科学技术史博士后、研究方向为近现代数学史;通讯作者:唐泉,1974年生,西北大学教授,研究方向为精密科学史;刘建新,1989年生,信阳师范大学教育学院副教授,研究方向为近现代数学史。 基金项目:陕西省社会科学基金年度项目“分形理论及其非线性思想研究”(项目编号:2023C004);中国博士后科学基金资助项目“分形几何的历史演变探究”(项目编号:2020M683693XB)。1　问题的提出

1 简短的数学故事

1.短的数学小故事

高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：

1+2+3+。..+97+98+99+100=?

老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被高斯叫住了！！原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？

高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：

1+2+3+4+。..+96+97+98+99+100

100+99+98+97+96+。..+4+3+2+1

=101+101+101+。..+101+101+101+101

共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100除以2便得到答案等于

从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！

2.短的数学故事

祖冲之（公元429-500年）是我国南北朝时期，河北省涞源县人.他从小就阅读了许多天文、数学方面的书籍，勤奋好学，刻苦实践，终于使他成为我国古代杰出的数学家、天文学家.祖冲之在数学上的杰 2 出成就，是关于圆周率的计算.秦汉以前，人们以"径一周三"做为圆周率，这就是"古率".后来发现古率误差太大，圆周率应是"圆径一而周三有余"，不过究竟余多少，意见不一.直到三国时期，刘徽提出了计算圆周率的科学方法--"割圆术"，用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长.刘徽计算到圆内接96边形，求得π=3.14，并指出，内接正多边形的边数越多，所求得的π值越精确.祖冲之在前人成就的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，求出π在3.1415926与3.1415927之间.。

3.要几则短小的数学故事

（一）失之毫厘，谬以千里1967年8月23日，苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故——减速降落伞无法打开。

苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船在两小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米·科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们都沉浸在巨大的悲痛之中。

数学史复习总结整理篇

1 / 8 数学史复习

第0章 数学史――人类文明史的重要篇章

一、数学史研究哪些内容？P1

数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。

二、了解数学史有何意义？P1～5

数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。

❖ （1）了解数学史有助于数学的进一步发展

❖ （2）对数学家创造过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心

❖ （3）了解数学史就有助于全面了解数学科学

❖ （4）了解数学史就有助于全面了解整个人类文明史

❖ （5）要想当好数学教师，充实数学史知识是非常必要的

三、历史上关于数学概念的定义有哪些？ P6-8

历史上对数学的定义，有几种著名的论断：

❖ 数学是量的科学。（希腊哲学家亚里士多德，公元前4世纪）

❖ 凡是以研究顺序和度量为目的的科学都与数学有关。（法国数学家笛卡儿，17世纪）

❖ 数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。（恩格斯）

❖ 数学可以定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。（罗素）

❖ 数学这个领域已被称为模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。（数学的新定义）

四、数学史通常采用哪些线索进行分期？本书对数学史如何分期？ P9

不同的线索将给出不同的分期,通常采用的线索如:1.按时代顺序；2.按数学对象、方法等本身的质变过程；3.按数学发展的社会背景。

对数学史作出如下的分期：

❖ Ⅰ．数学的起源与早期发展(公元前6世纪前)

❖ Ⅱ．初等数学时期(公元前6世纪一16世纪)

❖ (1)古代希腊数学(公元前6世纪一6世纪)

❖ (2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪)

❖ (3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪)

第 1 页 共 33 页 上岸心得6篇

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