第六章 定积分的应用
（A ）
1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2
2
1x y =与822=+y x （两部分都要计算）
2）x
y 1
=与直线x y =及2=x
3）x
e y =，x
e y -=与直线1=x
4）θρcos 2a =
5）t a x 3
cos =，t a y 3
sin =
１、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的
面积
２、求对数螺线θ
ρae
=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
３、求由曲线x y sin =和它在2
π=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕
x 轴旋转而成的旋转体的体积
４、由3
x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体
的体积
５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形
的立体体积
６、计算曲线()x y -=33
3
上对应于31≤≤x 的一段弧的长度
７、计算星形线t a x 3
cos =，t a y 3
sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→
F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）
成正比，即：kS =→
F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功
９、一物体按规律3
ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0
=x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功
１０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？
１１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与
水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力
１２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处
有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力
(B)
1、设由抛物线()022
>=p px y 与直线p y x 2
3
=
+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
2、求由抛物线2
x y =及x y =2
所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体
积
3、求由x y sin =，x y cos =，0=x ，2
π=x 所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋
转所成旋转体的体积
4、求抛物线px y 22
=及其在点⎪⎭
⎫
⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积
5、求曲线422
+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122
-=x y 所围成图形的面
积
6、求由抛物线ax y 42
=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1）θρcos 3=，θρcos 1+=
2）θρsin a =，()θθρsin cos +=a ，0>a
8、由曲线()1652
2
=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积
9、求圆心在()b ,0半径为a ，()0>>a b 的圆，绕x 轴旋转而成的环状体的体积
10、计算半立方抛物线()32
132
-=x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度
(C)
1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=32H R H V π
2、分别讨论函数x y sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
≤
≤20πx 在取何值时，阴影部分的面积1S ，2S 的和21S S S +=取最大值和最小值
3、求曲线x y =
()40≤≤x 上的一条切线，使此切线与直线0=x ， 4=x 以及曲线
x y =所围成的平面图形的面积最小
4、半径为r 的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
第六章 定积分应用 习 题 答 案
（A ）
1、1）342+
π，346-π 2）2ln 23- 3）21
-+e
e 4）2
a π 5）28
3a π
2、2
3a π 3、()
π
π2224--e e a 4、12-π，42π 5、7128π，5
64π 6、
3334R 7、3
4
32- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3
7
32
7
27a kc （其中k 为比例常数）11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=2211t a a
Gmu F y 2
2t a a Gmu F x +-=λ
(B)
1、1）⎰-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=p
p p dy p y y p S 32
2316223 或(
)
⎰⎰=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-++=
20
229
2
31622322p
p p p dx px x p dx px px S
