2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习一次函数的实际应用学生版高频考点过关考点一一次函数图象的实际应用考法一行程问题——同向1.（2024章丘一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B－C－D表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发小时与轿车相遇.2.（2024济阳一模）澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景.每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为600 m，约定先到终点的原地休息等待另一个人.已知小红先出发20 s，如图两人之间的距离y（m）与父亲出发的时间x（s）的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为80 m时，父亲出发的时间x为s.考法二行程问题——相向3.（2024市中一模）A，B两地相距60 km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了0.5 h 后按原速度继续前进.两人到A地距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发h后，两人相遇.4.（2023市中一模）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发h时，两车相距350 km.考法三行程问题——折返5.（2024历下二模）已知甲、乙两地相距180 km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地1小时后，出租车返回到甲地.两车离甲地的距离s（km）和行驶时间t（h）的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（）A.2.1 hB.2.2 hC.2.3 hD.2.4 h6.（2023历下九校联考）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A.53h B.32h C.75h D.43h考法四其他问题7.（2024济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车，如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y （kw·h）与汽车行驶路程x（km）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B 款新能源电动汽车电池的剩余电量多kw·h.8.（2024东南片区一模）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成.如果小明同学乘坐出租车5 km付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是11 km，他应该付的车费是元.9.（2021济南）漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8 cm时，对应的时间t为min.t（min）…1235…h（cm）…2.42.83.44…考点二一次函数与方程结合的实际应用考法一一次函数的最值问题10.（2024济南）近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.（1）求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元.（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问：修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？11.（2023济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A型机器人模型和用1 200元购买B型机器人模型的数量相同.（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元；（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？12.（2022济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1 280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元.（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.考法二优化选择问题13.（2024东南片区一模）山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元.（1）若购进A，B两种图书刚好花费8 000元，求A，B两种图书分别购买了多少本.（2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用.14.（2024商河一模）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销宣传，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售重量和总收入如下表（总收入＝销售重量×单价）：线上销售水果重量/kg 线下销售水果重量/kg总收入第一批4060 1 380第二批6040 1 320（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少.（2）若某公司计划从该地采购该水果1 000 kg，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果不得少于线上采购该水果重量的19，请你帮该公司设计出最省钱的采购方案.达标演练检测1.（2022济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40 m.如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y 随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系2.一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（）A.y＝12－0.5xB.y＝12＋0.5xC.y＝10＋0.5xD.y＝0.5x3.（2024长清二模）小泽和小帅两个同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图，折线OAB和线段CD 分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为千米.4.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是.5.（2024历下一模）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元.（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共48根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习一次函数的实际应用教师版高频考点过关考点一一次函数图象的实际应用考法一行程问题——同向1.（2024章丘一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B－C－D表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）之间的函数关系，则货车出发3.9小时与轿车相遇.2.（2024济阳一模）澄波湖公园有一条笔直的健身跑道，每天有很多市民在此晨练，成为济阳区一道靓丽的风景.每天早晨小红与父亲匀速跑步，已知父女俩起点、终点均相同，起点与终点间的距离为600 m，约定先到终点的原地休息等待另一个人.已知小红先出发20 s，如图两人之间的距离y（m）与父亲出发的时间x（s）的函数关系如图所示，父女两人之间的距离为80 m时，父亲出发的时间x为120或240s.考法二行程问题——相向3.（2024市中一模）A，B两地相距60 km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了0.5 h 后按原速度继续前进.两人到A地距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发2.1h后，两人相遇.4.（2023市中一模）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关h时，两车相距350 km.系如图表示，当甲车出发32考法三行程问题——折返5.（2024历下二模）已知甲、乙两地相距180 km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地1小时后，出租车返回到甲地.两车离甲地的距离s（km）和行驶时间t（h）的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（D）A.2.1 hB.2.2 hC.2.3 hD.2.4 h6.（2023历下九校联考）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（B）A.53h B.32h C.75h D.43h考法四其他问题7.（2024济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车，如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y （kw·h）与汽车行驶路程x（km）的关系，当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B 款新能源电动汽车电池的剩余电量多12kw·h.8.（2024东南片区一模）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成.如果小明同学乘坐出租车5 km付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是11 km，他应该付的车费是27元.9.（2021济南）漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当h为8 cm时，对应的时间t为15min.t（min）…1235…h（cm）…2.42.83.44…考点二一次函数与方程结合的实际应用考法一一次函数的最值问题10.（2024济南）近年来光伏建筑一体化广受关注.某社区拟修建A，B两种光伏车棚.已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元.（1）求修建每个A种、B种光伏车棚分别需投资多少万元.（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问：修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？解：（1）设修建一个A 种光伏车棚需投资x 万元，修建一个B 种光伏车棚需投资y 万元.根据题意，得{2x ＋y =8，5x +3y =21，解得{x =3，y =2. 答：修建一个A 种光伏车棚需投资3万元，修建一个B 种光伏车棚需投资2万元.（2）设修建A 种光伏车棚m 个，则修建B 种光伏车棚（20－m ）个，修建A 种和B 种光伏车棚共投资w 万元.根据题意，得m ≥2（20－m ），解得m ≥403. w ＝3m ＋2（20－m ）＝m ＋40.∵1＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m ＝14时，w 取得最小值，此时w ＝14＋40＝54（万元）. 答：修建A 种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元.11.（2023济南）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A ，B 两种型号的机器人模型，A 型机器人模型单价比B 型机器人模型单价多200元，用2 000元购买A 型机器人模型和用1 200元购买B 型机器人模型的数量相同.（1）求A 型、B 型机器人模型的单价分别是多少元；（2）学校准备再次购买A 型和B 型机器人模型共40台，购买B 型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A 型和B 型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？解：（1）设A 型机器人模型的单价是x 元，B 型机器人模型的单价是（x －200）元.根据题意，得2 000x ＝1 200x －200，解得x ＝500.经检验，x＝500是原方程的解，且符合题意，则x －200＝300.答：A 型机器人模型的单价是500元，B 型机器人模型的单价是300元.（2）设购买A 型机器人模型m 台，则购买B 型机器人模型（40－m ）台，购买A 型和B 型机器人模型共花费w 元.由题意，得40－m ≤3m ，解得m ≥10.w ＝500×0.8m ＋300×0.8（40－m ）＝160m ＋9600.∵160＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴当m ＝10时，w 取得最小值为11 200，此时40－m ＝30.答：购买A 型机器人模型10台和B 型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11 200元.12.（2022济南）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗.已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1 280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元.（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.（2）若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍.则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由.解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x 元，乙种树苗每棵的价格是y 元.根据题意，得{20x +16y =1 280，x －y =10，解得{x =40，y =30. 答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元.（2）购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少，理由如下：设购买两种树苗共花费w 元，购买甲种树苗m 棵，则购买乙种树苗（100－m ）棵.∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，∴100－m ≤3m ，解得m ≥25.根据题意，得w ＝40m ＋30（100－m ）＝10m ＋3 000.∵10＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴m ＝25时，w 取最小值，最小值为10×25＋3 000＝3 250（元），此时100－m ＝75.答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵，花费最少.考法二 优化选择问题13.（2024东南片区一模）山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A ，B 两种图书共300本，其中A 种图书每本20元，B 种图书每本30元.（1）若购进A ，B 两种图书刚好花费8 000元，求A ，B 两种图书分别购买了多少本.（2）若购买B 种图书的数量不少于A 种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用.解：（1）设购买了A 种图书x 本，B 种图书y 本.根据题意，得{x ＋y =300，20x +30y =8 000，解得{x =100，y =200. 答：购买了A 种图书100本，B 种图书200本.（2）设购买A 种图书a 本，则购买B 种图书（300－a ）本.根据题意，得300－a ≥a ，解得a ≤150.∴0＜a ≤150，且a 为整数.设购买两种图书的总费用为w 元，则w ＝20a ＋30×（300－a ）＝－10a ＋9 000.∵－10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a ＝150时，w 取最小值，最小值为7 500元，此时300－a ＝150.答：当购买A ，B 两种图书各150本时，所需总费用最小，为7 500元.14.（2024商河一模）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销宣传，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售重量和总收入如下表（总收入＝销售重量×单价）：线上销售水果重量/kg线下销售水 果重量/kg 总收入第一批40 60 1 380 第二批 60 40 1 320（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少.（2）若某公司计划从该地采购该水果1 000 kg ，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果不得少于线上采购该水果重量的19，请你帮该公司设计出最省钱的采购方案.解：（1）设该水果线上的销售单价为a 元，线下的销售单价为b 元.由题意，得{40a +60b =1 380，60a +40b =1 320，解得{a =12，b =15. 答：该水果线上的销售单价为12元，线下的销售单价为15元.（2）设该公司在线下采购水果x kg ，则线上采购水果（1 000－x ） kg ，所需费用为y 元.由题意，得x≥（1 000－x）×1，解得x≥100.9y＝15x＋（1 000－x）×12＝3x＋12 000.∵3＞0，∴y随x的增大而增大.∴当x＝100时，y取最小值，则1 000－x＝900，答：在线下采购100 kg，线上采购900 kg时最省钱.达标演练检测1.（2022济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40 m.如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y 随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（B）A.正比例函数关系B.一次函数关系C.反比例函数关系D.二次函数关系2.一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（B）A.y＝12－0.5xB.y＝12＋0.5xC.y＝10＋0.5xD.y＝0.5x3.（2024长清二模）小泽和小帅两个同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动，如图，折线OAB和线段CD 分别表示小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距甲地的距离为20千米.4.我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之.问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程s（单位：步）关于善行者的行走时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是250.5.（2024历下一模）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元.（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两种跳绳共48根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？解：（1）设A种跳绳的单价为a元，B种跳绳的单价为b元.由题意，得{3a ＋b =105，5a +3b =215，解得{a =25，b =30. 答：A 种跳绳的单价为25元，B 种跳绳的单价为30元.（2）设购买A 种跳绳m 根.∵班级计划购买A ，B 两种跳绳共48根，∴购买B 种跳绳（48－m ）根.根据题意，得48－m ≥2m ，解得m ≤16.设购买跳绳所需费用为w 元，则w ＝25m ＋30（48－m ）＝－5m ＋1 440.∵－5＜0，∴w 随m 的增大而减小.当m ＝16时，w 取得最小值，最小值为－5×16＋1 440＝1 360（元）. 答：购买跳绳所需最少费用是1 360元.。
