刚体转动惯量计算方法

刚体对轴转动惯量的计算
一、转动惯量及回转半径
在第一节中已经知道,刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到z 轴距离
平方的乘积的总与,即∑=2
i i z r m J 。

如果刚体质量连续分布,则转动惯量可写成
⎰=M
z dm
r J 2 (18-11)
由上面的公式可见,刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况,而与
刚体的运动状态无关,它永远就是一个正的标量。

如果不增加物体的质量但使质量分布离轴远一些,就可以使转动惯量增大。

例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些,使得大部分质量集中在轮缘上,与转轴距离较远,从而增大转动惯量。

相反,某些仪器仪表中的转动零件,为了提高灵敏度,要求零件的转动惯量尽量小一些,设计时除了采用轻金属、塑料以减轻质量外,还要尽量将材料多靠近转轴。

工程中常把转动惯量写成刚体总质量M 与某一当量长度ρ的平方的乘积
2z z M J ρ= (18-12)
z ρ称为刚体对于z 轴的回转半径(或惯性半径),它的意义就是,设想刚体的质量集中在与z 轴
相距为z ρ的点上,则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。

具有规则几何形状的均质刚体,其转动惯量可以通过计算得到,形状不规则物体的转动惯量往往不就是由计算得出,而就是根据某些力学规律用实验方法测得。

二、简单形状物体转动惯量的计算 1. 均质细直杆
如图18-7所示,设杆长为l ,质量为M 。

取杆上微段dx,其质量为
dx l M dm =
,则此
图18-7
杆对z c 轴的转动惯量为
220
2
20
2
12122Ml dx l M x dm x J l l
z c ===⎰⎰
对应的回转半径
l
l M
J c z z 289.03
2==
=
ρ
2. 均质细圆环
如图18-8所示均质细圆环半径为R,质量为M 。

任取圆环上一微段,其质量为dm ,则对z
轴的转动惯量为
2
2MR dm R J M
z ==⎰
图18-8
对应的回转半径
R
M
J c z z ==
ρ
3. 均质薄圆盘
如图18-9所示均质圆盘半径为R,质量为M 。

在圆盘上取半径为r 的圆环,则此圆环的质
量为
rdr R M
rdr R M dm 2222=⨯=
ππ,则
图18-9
对z 轴的转动惯量为
20
32
2
21
2MR dr r R M dm r J R
M
z ===⎰
⎰
对应的回转半径
R
R M
J c z z 707.02
≈=
=
ρ
常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的转动惯量及回转半径可由表18-1或机械设
计手册中查得。

形体
转动惯量
回转半径
12
12===y z x J ml J J
6
3===y z x l ρρρ
2
22
1mr J mr J J z y x ===
r
r z y x ===ρρρ2
2
222
14
1mr J mr J J z y x =
==
r r z y x 2
22
1=
==ρρρ
)
b a (m J ma J mb J z y x 222
241
4141+===
22
121
2
2b a a
b
z y x +=
==ρρρ
2
52mr J J J z y x =
==
r z
y x 5
10===ρρρ
2
2
2213121mr
J )
l r (m J J z y x =+== r
l r z y
x 22
6)
3(322=+==ρρρ
机械设计手册给出的一般都就是物体对于通过质心的轴(简称质心轴)的转动惯量,而有时需要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。

平行移轴定理阐明了同一物体对于上述
两轴的不同转动惯量之间的关系。

设刚体的质心为C,刚体对过质心的轴z’的转动惯量为z J ',对与z’轴平行的另外一轴z 的转动惯量为z J ,两轴间的距离为d,如图18-10所示。

分别以C 、O 两点为原点建立直角
图18-10
坐标系Cx’y’z’与Oxyz,由图可见
∑∑+==)''('222'i i i i i z y x m r m J ∑∑+==)(222i i i i i z y x m r m J
其中
d y y x x i i i i +=='',
代入得
∑∑∑∑∑+++=+++=++=i
i i i i i i i i i i i i z m d y m d y x m d dy y x m d y x m J 2'222'22222)''()2''(])'('[
因质心C 就是坐标系Cx’y’z’的坐标原点,故0'
=∑
i
i
y m ,又m m i =∑,所以上式简化为
2'md J J z z += (18-13)
上式表明:物体对于任一轴z 的转动惯量,等于物体对平行于z 轴的质心轴的转动惯量,加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。

这就就是转动惯量的平行移轴定理。

由公式(18-13)可知,在一组平行轴中,物体对于质心轴的转动惯量为最小。

例18-3 钟摆简化力学模型如图18-11所示,已知均质杆质量m 1、杆长l ,圆盘质量m 2、
半径R,求钟摆对水平轴O 的转动惯量。

图18-11
解 摆对水平轴O 的转动惯量等于杆1与圆盘2对轴O 的转动惯量之与,即
O O O J J J 21+=
由转动惯量平行移轴定理得
2
12121211131
41121)2(l m l m l m l m J J C O =+=+= )
223
()(21)(22222222222l Rl R m R l m R m R l m J J C
O ++=++=++=
所以
)
223
(3122221l Rl R m l m J O +++=
例18-4 如图18-12所示均质等厚度板,单位面积的质量为ρ,大圆半径为R,挖去的小圆
半径为r,两圆心的距离OO 1=a 。

试求板对通过O 点并垂直于板平面的轴的转动惯量。

图18-12
解 根据转动惯量的定义,板对O 轴的转动惯量等于(没有挖去小圆时)整个大圆对轴O 的转动惯量
O
J 大圆与小圆对轴O 的转动惯量O J 小圆之差,即
O
O O J J J 小圆大圆-=
其中
4221
21R mR J O ρπ==
大圆,由转动惯量平行移轴定理得
)2(21
2
1
2222
222221a r r a r r r a r J J O O +=⋅+⋅=⋅+=ρπρπρπρπ小圆小圆
于就是
)]
2([2
)2(2
1
21222422240a r r R a r r R J +-=
+-=πρ
ρπρπ。