2022-2023年成考（专升本）《高等数学二（专升本）》预测试题（答案解析）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第壹卷一.综合考点题库(共50题)1.曲线Y=3x2-x3的凸区间为（）A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)正确答案：B本题解析：【考情点拨】本题考查了曲线的凸区间的知识点．2.A.-6ycos（x-3y2）B.-6ysin（x-3y2）C.6ycos（x-3y2）D.6ysin（x-3y2）正确答案：A本题解析：3.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D 正确答案：A本题解析：4.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：A 本题解析：5.A.-10B.-8C.8D.10正确答案：D本题解析：6.设函数y=cos2x,则dy=（）A.sin2xdxB.-sin2xdxC.cos2xdxD.2cosxdx正确答案：B本题解析：7.当x→0时，无穷小量x+sinx是比x的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价无穷小D.等价无穷小正确答案：C本题解析：本题考查了无穷小量的知识点．所以x→0时，2+sinx与x是同阶但非等价无穷小．8.把两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个邮筒中，则1，2号邮筒各有一封信的概率等于A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：C本题解析：【考情点拨】本题考查了古典概率的知识点．【应试指导】因两封信投向四个邮筒共有的投法(可重复排列)为n=42=16；满足1，2号邮筒各有一封信的投法为，故所求概率为9.函数f(x)=x4-24x2+6x在定义域内的凸区间是()A.(-∞，0)B.(-2，2)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)正确答案：B本题解析：【考情点拨】本题考查了函数的凸区间的知识点．【应试指导】因为f(x)=x4-24x2+6x，则f'(x)=4x3-48x+6,f”(x)=12x2-48=12（x2-4），令f''(x)<0，有x2-4<0，于是-2<x<2，即凸区间(-2，2)．10.若f(u)可导，且y=f(ex)，则dy=（）A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：B本题解析：【考情点拨】本题考查了复合函数的微分的知识点．11.函数y=a2+c在(0，+)上单调增加，则a，c应满足（）A.aB.a>0且c是任意常数C.aD.a正确答案：B本题解析：【考情点拔】本题考查了函数的单调增加性的知心点【应试指导】12.一批零件中有10个合格品，3个次品，安装机器时，从这批零件中任取一个，取到合格品才能安装．若取出的是次品，则不再放回，求在取得合格品前已取出的次品数X的概率分布．正确答案：本题解析：由题意，X的可能取值为0，1，2，3．X=0，即第一次就取到合格品，没有取到次品．P{X=0)= 13.A.见图AB.见图BC.见图CD.见图D正确答案：D本题解析：14.已知离散型随机变量X的概率分布为且E（X）=0．（1）求a，b；（2）求E[X（X+1）]．正确答案：（1）由概率的性质可知a+0．5+b=1，又E（X）=0，得-1×a+0×0．5+2×b=0，故有a=，b=．（2）E[X（X+1）]=E（X2+X）=E（X2）+E（X），而E（X2）=D（X）+[E（X）]2=·（-1-0）2+·（0-0）2+·（2-0）2=1。
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学上学期第二阶段检测试题〔含解析〕本卷须知：1.本套试卷分为第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共4页，总分值是150分，考试用时120分钟. 2..第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.集合{}2|20,{1,0,1,2}M x x x N =+-≤=-，那么M N ⋂的子集个数为〔〕A.2B.4C.8D.16【答案】C 【解析】 【分析】解出集合M 中的不等式即可 【详解】因为{}}{2|2021M x x x x x =+-≤=-≤≤，{1,0,1,2}N =-所以{}1,0,1M N ⋂=-所以MN ⋂的子集个数为328=应选：C【点睛】含有n 个元素的集合的子集个数为2n . 2.复数2zi =+，那么1zi+在复平面上对应的点所在象限是〔〕 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么算出1zi +即可 【详解】2z i =+，2131122z i i i i -∴==-++，在复平面对应的点的坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所在象限是第四象限. 应选：D【点睛】此题考察的是复数的运算及几何意义，较简单. 3.在等差数列{a n }中，假设a 3＝5，S 4＝24，那么a 9＝〔〕 A ﹣5 B.﹣7C.﹣9D.﹣11【答案】B 【解析】 【分析】由a 3＝5，S 4＝24用通项公式和前n 项和公式列出关于1a ,d 的方程，得到{}n a 的通项公式，从而求出答案. 【详解】数列{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ， ∵a 3＝5，S 4＝24， ∴a 1+2d ＝5，4a 1+432⨯d ＝24， 联立解得a 1＝9，d ＝﹣2， 那么a 9＝9﹣2×8＝﹣7． 应选：B【点睛】此题考察等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于根底题. 4.以下函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是〔〕 A.()3f x x x =+B.()31f x x =-C.()1f x x=-D.()3log f x x =【答案】A 【解析】 【分析】逐一判断每个函数是否满足条件即可【详解】B 中函数是非奇非偶函数，D 中函数是偶函数， C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增， 只有A 中函数符合题意． 应选：A【点睛】此题考察的是函数的单调性和奇偶性的判断，较简单5.cos()2πθ+=，那么cos2θ的值是〔〕A.18B.716C.18±D.1316【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式求解sin 4θ=，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为cos 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 4θ=，所以21cos 212sin 8θθ=-=. 应选A .【点睛】此题考察诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是根底题 6.向量(1,2)a=-，(1,)b m =，那么“12m <〞是,a b 为钝角的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，那么cos ,5a b a b a b⋅==⋅假设12m <，那么cos ,05a b a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时，,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，假设,a b 为钝角，那么cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <〞是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】此题主要考察充分条件与必要条件的断定，熟记概念即可，属于常考题型.7.假设向量,a b 的夹角为3π，且||2a =，||1b =，那么向量2a b +与向量a 的夹角为〔〕 A.3π B.6πC.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】结合数量积公式可求得(2)aa b +、2a b+、a的值，代入向量夹角公式即可求解．【详解】设向量2a b +与a 的夹角为α，因为,a b 的夹角为3π，且2a =，1b =， 所以221(2)()22cos 4221632a ab a a b a a b π+=+=+=+⨯⨯⨯=，2222(2)()4(2)a b a b a a b b +=+=++142=⨯+=，所以(2)cos 2222a a b a a bα+===⨯+，又因为[0,]απ∈ 所以6πα=，应选B【点睛】此题考察向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考察化简计算的才能，属根底题． 8.函数()f x 在()0,∞+单调递增，且()2f x +关于2x =-对称，假设()21f -=，那么()21f x -≤的x 的取值范围是〔〕A.[]22-,B.(][),22,-∞-+∞C.(][),04,-∞+∞D.[]0,4【答案】D 【解析】 由于()2f x +关于2x =-对称,那么()f x 关于y轴对称,由于()()221f f =-=,故[]222,0,4x x -≤-≤∈,应选D.9.设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax+=∈≠，假设(2019)2f -=，(2019)f =()A.2B.-2C.2021D.-2021【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，进而可求出函数值, 【详解】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数， 又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-.应选B【点睛】此题主要考察函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于根底题型. 10.函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0A >，0>ω，2πϕ<〕的图象如下列图，为了得到()y f x =的图象，只需把()1sin 2gx x x ωω=的图象上所有点〔〕 A.向左平移6π个单位长度 B.向左平移3π个单位长度 C.向右平移6π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】先由图象求出()f x 的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可【详解】由题意知1A =，由于741234T πππ=-=，故2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，由2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得3πϕ=，故()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()1sin 2x x g x ωω=sin 26x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故需将()g x 图像上所有点向左平移3π个单位长度得到()f x . 应选：B【点睛】此题考察的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单. 11.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM=，那么()PA PB PC ⋅+等于〔〕A.49B.49-C.43D.43-【答案】B 【解析】 【分析】由M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM=可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【详解】解：∵M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线， 又由点P 在AM 上且满足2AP PM = ∴P 是三角形ABC 的重心 ∴()PA PB PC ⋅+又∵AM ＝1 ∴2||3PA = ∴()49PA PB PC ⋅+=-应选B ．【点睛】判断P 点是否是三角形的重心有如下几种方法：①定义：三条中线的交点．②性质：0PA PB PC ++=或者222AP BP CP++获得最小值③坐标法：P 点坐标是三个顶点坐标的平均数．12.定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，那么不等式()3x x e f x e >+的解集为〔〕 A.(0,+∞)B.(－∞,0)∪(3,+∞)C.(－∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)【答案】A 【解析】 【分析】 由()3xx ef x e >+变形得，[()1]30x e f x -->，构造函数()[()1]3xg x e f x =--，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集． 【详解】由()3xx ef x e >+变形得，[()1]30x e f x -->，设()[()1]3xg x e f x =--，所以原不等式等价于()(0)g x g >， 因为()[()1]()[()()1]0x x x g x e f x e f x e f x f x '''=-+⋅=+->，所以()g x 在定义域R 上递增，由()(0)g x g >，得0x >，应选A ．【点睛】此题主要考察构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考察学生的数学建模才能．第二卷〔一共90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分． 13.假设等差数列{}n a 的前5项和为25，那么3a =________【答案】5 【解析】由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a +=⨯=⨯==∴=. 14.()3,4a=，(),6b t =-，且a ，b一共线，那么向量a 在b 方向上的投影为__________．【答案】5- 【解析】 【分析】根据向量一共线求得t ；再利用cos ,a b a a b b⋅<>=求得结果【详解】由a 与b 一共线得：()3640t ⨯--=，解得：92t =-∴向量a在b方向上的投影为：()93462cos,5a ba a bb⎛⎫⨯-+⨯-⎪⋅⎝<>===-此题正确结果：5-【点睛】此题考察向量一共线定理、向量a在b方向上的投影的求解问题，属于根底题.15.设()sin22f x x x=+，将()f x的图像向右平移0φφ>（）个单位长度，得到()g x的图像，假设()g x是偶函数，那么φ的最小值为________．【答案】512π【解析】【分析】先化简函数f(x),再求出()2sin(22)3g x xπφ=-+，由题得,122kk Zππφ=-+∈，给k赋值即得解.【详解】()sin22sin(2)3f x x x xπ==+，将()f x的图像向右平移0φφ>（）个单位长度得到()2sin(22)3g x xπφ=-+，因为函数g(x)是偶函数，所以2,,32122kk k Zππππφπφ-+=+=-+∈，0（）φ>所以min512πφ=故答案为512π【点睛】此题主要考察三角恒等变换和图像的变换，考察三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.函数11,1()3ln,1x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，那么当函数()()F x f x ax=-恰有两个不同的零点时，实数a的取值范围是______．【答案】11,3e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 由题方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，得()y f x =与y ax =有2个交点，利用数形结合得a 的不等式求解即可 【详解】由题可知方程()f x ax =恰有两个不同的实数根，所以()y f x =与y ax =有2个交点，因为a 表示直线y ax =的斜率，当1x >时，1()f x x'=，设切点坐标为00,x y ，01kx =，所以切线方程为()0001y y x x x -=-，而切线过原点，所以01y =，0x e =，1k e=， 所以直线1l 的斜率为1e，直线2l 与113y x =+平行，所以直线2l 的斜率为13，所以实数a 的取值范围是11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】此题考察函数与方程的零点，考察数形结合思想，考察切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题三、解答题：此题一共6个大题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤17.函数xy a =〔a ＞0且a ≠1〕在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．〔1〕求a 的值； 〔2〕证明()(1)1f x f x +-=；〔3〕求12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】〔1〕4；〔2〕见解析；〔3〕1009. 【解析】 【分析】〔1〕由指数函数(0xy a a =>且1)a≠的单调性和题设条件，得到220a a +=，即可求解；〔2〕由〔1〕知4()42xxf x =+，结合指数幂的运算性质，即可求解.〔3〕由〔2〕的结论，得到1201810091010()()()()12019201920192019f f f f +==+=，即可求解. 【详解】〔1〕由题意，函数(0xy a a =>且1)a ≠在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，因为指数函数(0xy a a =>且1)a≠在[1，2]上单调递增或者单调递减，可得220a a +=，得4a =或者5a =-〔舍去〕，所以4a =. 〔2〕由〔1〕知4()42xxf x =+， 那么11442(1)4242424x x x xf x ---===++⋅+，所以4242()(1)1422424x x x x xf x f x ++-=+==+++. 〔3〕由〔2〕知，120182************()()()()()()1201920192019201920192019f f f f f f +=+==+=， 所以1220181201822017()()....()[()()][()()]2019201920192019201920192019f f f f f f f +++=+++ 10091010[()()]100920192019f f +++=，即123201810092019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】此题主要考察了指数函数的图象与性质，以及函数值的计算，其中解答中熟记指数函数的性质，以及指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.18.函数()2cos cos )1f x x x x =+-．〔1〕求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标； 〔2〕讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性． 【答案】〔1〕T π=，(,0),122k k Z ππ-+∈；〔2〕函数()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式对函数进展化简，可得()2sin(2)6f x x π=+,结合正弦函数周期公式及对称性可求.(2)由(1)化简得结果，结合正弦函数的单调性可求解.【详解】〔1〕由题意，函数2()2cos cos )1cos 2cos 1f x x x x x x x =+-=+-2cos 22sin(2)6x x x π=+=+，所以函数()f x 的最小正周期222T w πππ===，令()0f x =，即2sin(2)06x π+=，即2,6x k k Z ππ+=∈，解得122k x ππ=-+,k Z ∈ 所以函数()f x 的对称中心为(,0),122k k Z ππ-+∈.〔2〕由〔1〕可知()2sin(2)6f x x π=+，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 又因为[0,]2x π∈，当0k=时，函数()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】此题主要考察了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用，属于根底试题． 19.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=，〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设2,b c ==，求ABC ∆的面积.【答案】(1)120.C =〔2【解析】试题分析：〔1〕由()2cos cos cos 0Ca C c Ab ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；〔2〕由及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得又1180,sin 0,cos ,120.2BB C C <<∴≠∴=-=即〔2〕由余弦定理可得(2222222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 2ABC aa S ab C ∆>=∴==ABC ∴∆ 20.n S 为数列{n a }的前n 项和.n a ＞0，22n n a a +=43n S +.〔Ⅰ〕求{n a }的通项公式；〔Ⅱ〕设11nn n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】〔Ⅰ〕21n 〔Ⅱ〕11646n -+ 【解析】 【分析】〔I 〕根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n }的通项公式： 〔Ⅱ〕求出b n 11n n a a +=，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和． 【详解】解：〔I 〕由a n 2+2a n ＝4S n +3，可知a n +12+2a n +1＝4S n +1+3 两式相减得a n +12﹣a n 2+2〔a n +1﹣a n 〕＝4a n +1， 即2〔a n +1+a n 〕＝a n +12﹣a n 2＝〔a n +1+a n 〕〔a n +1﹣a n 〕， ∵a n ＞0，∴a n +1﹣a n ＝2， ∵a 12+2a 1＝4a 1+3，∴a 1＝﹣1〔舍〕或者a 1＝3，那么{a n }是首项为3，公差d ＝2的等差数列， ∴{a n }的通项公式a n ＝3+2〔n ﹣1〕＝2n +1： 〔Ⅱ〕∵a n ＝2n +1， ∴b n ()()111121232n n a a n n +===++〔112123n n -++〕，∴数列{b n }的前n 项和T n 12=〔11111135572123n n -+-++-++〕12=〔11323n -+〕11646n =-+. 【点睛】此题主要考察数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决此题的关键．21.某品牌电脑体验店预计全年购入360台电脑，该品牌电脑的进价为3000元/台，为节约资金决定分批购入，假设每批都购入x 〔x 为正整数〕台，且每批需付运费300元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值〔不含运费〕成正比〔比例系数为k 〕，假设每批购入20台，那么全年需付运费和保管费7800元.〔1〕记全年所付运费和保管费之和为y 元，求y 关于x 的函数.〔2〕假设要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，那么每批应购入电脑多少台？ 【答案】〔1〕()108000120y x x N x*=+∈；〔2〕30台. 【解析】 【分析】〔1〕假设每批购入20台，那么需要进购18批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出k 的值，假设每批购入x 台，那么需要进购360x批，进而可得出y 关于x 的函数解析式； 〔2〕利用根本不等式求出y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 的值，即可得解.【详解】〔1〕假设每批购入20台，那么需要进购3601820=批，总运费为183005400⨯=元， 每批购入电脑的总价值为300020⨯元，由题意可得54003000207800k +⨯=，解得125k=， 假设每批购入x 台，那么需要进购360x批， 所以，()3601108000300300012025y x x x N x x*=⨯+⨯=+∈；〔2〕由根本不等式可得1080001207200y x x =+≥=〔元〕， 当且仅当108000120x x=时，即当30x =时，等号成立. 因此，当每批购入30台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少.【点睛】此题考察函数模型的运用，考察根本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考察计算才能，属于中等题. 22.a 为常数，函数()2x f x e ax -=-.〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设函数()f x 有两个不同的零点()1212,x x x x <.〔i 〕务实数a 的取值范围； 〔ii 〕证明：122x x +>.【答案】(1)见解析.〔2〕〔i 〕1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；证明见解析. 【解析】【详解】试题分析：〔1〕对函数()f x 求导得()2e x f x a -='-，对实常数a 分情况讨论，由'()f x 的正负得出函数()f x 的单调性；〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕的讨论，得出0a >，再根据极小值为负数，得出a 的范围；〔ⅱ〕由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x-==+，即2ln ln x x a--=，令()2ln g x x x =--，对()g x 求导，得出单调性，要证122x x +>，只需证2121x x >->就可得出结论，构造()()()2hx g x g x =--，01x <<，求导得出单调性转化求解即可．试题解析：〔1〕()2e x f x a -='-.当0a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a>时，由()2e 0xf x a --'==，得2ln x a =+.假设2ln x a >+，那么()0f x '>，函数()f x 在()2ln ,a ++∞上单调递增； 假设2ln x a <+，那么()0f x '<，函数()f x 在(),2ln a -∞+上单调递减.〔2〕〔ⅰ〕由〔1〕知，当0a ≤时，()f x 单调递增，没有两个不同的零点.当0a >时，()f x 在2ln x a =+处获得极小值.由()()ln 2ln e 2ln 0a f a a a +=-+<，得1a e>. 所以a 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 〔ⅱ〕由2e 0x ax --=，得()2ln ln ln x ax a x -==+，即2ln ln x x a --=.所以11222ln 2ln ln x x x x a --=--=.令()2ln gx x x =--，那么()11g x x'=-. 当1x >时，()0g x '>；当01x <<时，()0g x '<.所以()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以1201xx <<<.要证122x x +>，只需证2121x x >->.因为()g x 在()1,+∞递增，所以只需证()()212g x g x >-.因为()()12gx g x =，只需证()()112g x g x >-，即证()()1120g x g x -->.令()()()2hx g x g x =--，01x <<，那么()1122h x xx ⎛⎫=-+⎪-⎝⎭'. 因为()1111122222x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+-+≥ ⎪⎣⎦--⎝⎭，所以()0h x '≤，即()h x 在()0,1上单调递减. 所以()()10h x h >=，即()()1120g x g x -->，所以122x x +>成立.点睛：此题主要考察函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数零点的判断，函数最值的应用，属于难题．考察分析问题解决问题的才能．。
江南大学现代远程教育 第二阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专 第三章至第四章（总分100分） 时间：90分钟__________学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一． 选择题 (每题4分，共20分)1. 函数21cos()(1)(2)x f x x x =+- 的间断点的个数为（ ） (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 42. 曲线 331y x x =-+ 的拐点是(a) (0,1) (b) (1,0) (c) (0,0) (d) (1,1)-3.要使函数()f x x= 在 0x = 处连续, 应给(0)f 补充定义的数值是 ( ). (a) 1 (b) 2(c)(d) 4. 函数 6ln(1)y x =+ 的单调增加区间为（ ） (a) (6,6)- (b) (,0)-∞ (c) (0,)+∞ (d) (,)-∞+∞5. 设函数()f x 在点 0x 处可导, 则 000(4)()lim h f x h f x h→+- 等于 ( ). (a) 04()f x '- (b) 04()f x ' (c) 02()f x '- (d) 0()f x '-二.填空题 (每题4分，共28分) 6. 1()sin 2(3)f x x =- 的间断点为______________. 7．罗尔定理的条件是________________________.8函数 333y x x =-+ 的单调区间为________.9.设 ,0(),2,0x e x f x a x x -⎧≤=⎨+>⎩ 在点 0x = 处连续, 则常数 a =______.10.函数 333,(23)y x x x =-+-≤≤ 的最大值点为_______, 最大值为______.11.由方程 2250xy x y e -+= 确定隐函数 ()y y x =, 则 y '=_________.12. 设函数 2()ln(2)f x x x =, 则 (1)f ''=________.三. 解答题 (满分52分)13.设函数 4,2,1(),(1)(2)2,1x bx a x x f x x x x ⎧++≠-≠⎪=-+⎨⎪=⎩在点 1x = 处连续, 试确定常数 ,a b 的值.14. 求函数y =在 [0,3] 上满足罗尔定理的 ξ。
学习攻略—收藏助考锦囊系统复习资料汇编考试复习重点推荐资料百炼成金模拟考试汇编阶段复习重点难点梳理适应性全真模拟考试卷考前高效率过关手册集高效率刷题好资料分享学霸上岸重点笔记总结注：下载前请仔细阅读资料，以实际预览内容为准助：逢考必胜高分稳过2021年河南省普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号 一 二 三 四 五 总分 分数503050146150注意事项：答题前：考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效选题分析：易（42分）中（73分）难（35分）选择：1/2/4/6/8/9/10/12/15/18/21 填空：26/28/30/32/37 计算： 41/43 应用： 证明：选择：3/5/7/11/13/14/16/17/20/22/ 23/24/25 填空：27/29/31/34/35/36/38/39 计算：42/44/46/48/50 应用： 证明： 53选择： 19 填空： 33/40 计算： 45/47/49 应用： 51/52 证明：一、选择题（每小题2分，共50分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.对称区间上()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，下列函数是奇函数的是（ ）A.4()f x第 1 页，共 18 页2/25B.()()g x f x +C.()()g x f xD.()g x −− 2.极限0tan 3lim2x xx →=（ ）A.32B.23C.0D.∞3.当+∞→x 时，下列变量不是无穷大量的是（ ）A.42132++x xB.x lgC.x3 D.x arctan4.00,cos ,sin 2)(<>+=x x x x xx x x f ，则0=x 处是)(x f 的（ ） A.无穷间断点B.可去间断点C.跳跃间断点D.振荡间断点 5.极限)4421(lim 22−−−→x x x 的值为（ ）. 第 2 页，共 18 页2/25A.41 B.21 C.41−D.∞6.下列关于函数)(x f y =在点0x 的命题不正确的是（ ）. A.可导必连续 B.可微必可导 C.可导必可微 D.连续必可导7.设函数1212n n n n y x a x a x a −−=+++⋅⋅⋅+，则()n y =（ ）. A.n aB.!nC.0D.!n n a8.设()ln f x =，则=′)1(f （ ）.A.2B.1C.12 D.149.设函数)(x f y =在点1=x 处可导，且21()(1)lim31x f x f x →−=−，则(1)f ′=（ ）. A.2 B.3 C.6 D.12第 3 页，共 18 页2/2510.曲线)4(3−=x x y 在区间)4,(−−∞内的特性是（ ）.A.单调递减且为凸B.单调递减且为凹C.单调递增且为凸D.单调递增且为凹11.下列等式中正确的是（ ）. A.2211=∫−dxB.21112π=+∫−dx x C.21112π=−∫−dx xD.)cos (sin 11=+∫−dx x x12.已知∫+=C x F dx x f )()(，则∫=dx x f x)(ln 1（ ）. A.)(ln x F B.C x F +)(ln C.C x xF +)(ln D.C x F x +)(ln 113.下列式子正确的是（ ）.A.)()(x f dx x f dxd=∫ B.)())((x f dx x f d =∫C.()()df x dx f x C dx′=+∫ D.)()(x f dx x f =′∫14.平面230x y +−=的位置是（ ）.A.平行于xOy 面第 4 页，共 18 页2/25B.平行于z 轴，但不通过z 轴C.垂直于z 轴D.通过z 轴15.方程222222x y z a b c+=所表示的曲面为（ ）. A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C.椭球面 D.椭圆柱面16.下列广义积分中发散的是（ ）.A.22dx x −∫B.∫−−111xdxC.∫+∞−0dx e x D.∫+∞22)(ln 1dx x x17.常数0a >，2(aax dx −+=∫（ ）. A.0 B.3aC.332a D.323a 18.下列方程中为一阶线性微分方程的是（ ）.A.2()y xy xy ′′+=第 5 页，共 18 页2/25B.2()0xy y y ′′++= C.2x y y x ′+= D.20y y y ′′′−+=19.已知12y x =是2y y x ′′+=的解，2x y e −=是2x y y e −′′+=的解，则微分方程22x y y x e −′′+=+的通解是（ ）.A.2xx e −+B.12cos sin 2x C x C x x e −+++C.12cos sin x C x C x e −++D.12cos sin 2C x C x x ++20.若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处具有一阶及二阶偏导数且取极小值，则（ ）.A.0000(,)(,)0x y f x y f x y ′′== B.若00(,)x y 是D 内唯一极值点，则必为最小值点C.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′> D.2000000(,)(,)[(,)]0xxyy xy f x y f x y f x y ′′′′′′⋅−>，且00(,)0xx f x y ′′< 21.设222z x xy y =−−，则2(1,2)z x y ∂=∂∂（ ）. A.1 B.2 C.2− D.1−22.函数(,)2f x y xy =在点(1,2)−沿(2,1)l →=−方向的变化率为（ ）.第 6 页，共 18 页2/25A.B.10−C.−D.10 23.二次积分3300(,)ydy f x y dx −=∫∫（ ）.A.3303(,)x dx f x y dy −∫∫B.3300(,)dx f x y dy ∫∫C.330(,)xdx f x y dy −∫∫D.330(,)yxdx f x y dy −−∫∫24.下列级数中绝对收敛的是（ ）.A.n ∞= B.1(1)1nn n ∞=−+∑C.n ∞= D.11(1)(1)(3)n n nn n ∞+=−++∑ 25.下列说法正确的是（ ）.A.一个收敛的级数添加有限项后仍收敛，且其和不变B.一个发散的级数减少有限项后可能收敛C.一个收敛的级数加上另外一个发散的级数一定收敛D.一个收敛的级数减去另外一个发散的级数一定发散第 7 页，共 18 页2/25二、填空题（每小题2分，共30分） 26.函数ln(1)yx =++的连续区间是 .27.若()f x 为可导的奇函数，且(2)3f ′=，则(2)f ′−= .28.曲线ln y x =在点 时切线与连接曲线上两点(1,0)，(,1)e 的弦平行. 29.20211lim(1)x x x+→∞−= .30.曲线2211x y x +=−的垂直渐近线是 .31.设曲线方程2cos sin 22sin cos 2x y θθθθ=+ =+ （θ为参数），求0dydx θ== .32.不定积分sin x xdx =∫. 33.{}2max ,2x x dx −=∫.34.2(0)x d x dx >=∫ . 35.函数4xxy e e−=+的极值点坐标是 .36.曲面53ze z xy −+=在点(2,1,0)处切平面方程是 . 37.设二元函数22z xy y =+，则(3,1)dz = .38.函数ln sin y x =在区间2[]33ππ，上满足罗尔定理的ξ的值是 .39.L 为正向圆周22(1)4x y −+=，33(2)()Ly x dx x y dy ++−=∫. 40.将函数24()65f x x x =−+展开为x 的幂级数为 . 三、计算题（每小题5分，共50分） 41.求极限0ln(15sin )lim1cos x x x x→+−.第 8 页，共 18 页2/2542.若极限23lim()01x x ax b x →∞+−+=−，求,a b 的值. 43.设函数arctany =dy dx 及1x dy dx=.44.求曲线23ln(1)y x =++的拐点及凹凸区间. 45.计算不定积分.46.设2cos ,0()21,0x x f x x x π ≥ = +<，21(1)f x dx −−∫. 47.过点(3,2,0)−−且与直线21:111xy z L −−==−垂直相交的直线方程. 48.设二元函数2arcsin()3x z xy y =−，求2z zxy y x y∂∂−∂∂.49.计算二重积分yxDI edxdy =∫∫，其中积分区域D 由直线y x =，0y =，3x =围成.50.判断级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑的收敛性. 四、应用题（每小题7分，共14分） 51.过坐标原点作曲线xy e −=的切线，求：（1）该切线的方程；（2）由曲线、切线及y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.52.质量为1g 的质点受外力作用作直线运动，该外力和时间成正比，与质点运动的速度成反比.在10s t =时，速度100cm/s v =，外力22g cm/s F =⋅，问30s t =时，质点的速度是多少？8.062≈，计算结果取整数，注：F ma =，a 为加速度） 五、证明题（每小题6分，共6分）第 9 页，共 18 页2/2553.证明多项式3()26f x x x a =−+在区间[1,1]−上至多有一个零点，其中a 为任意实数.2021年河南省普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学【参考答案】一、选择题（每小题2分，共50分） 1.【答案】C【解析】由函数奇偶性结论可得，奇函数×偶函数=奇函数，故选C. 2.【答案】A 【解析】本题考察求“00”型极限，利用等价代换可得：00tan 333lim lim 222x x x x x x →→==. 3.【答案】D【解析】lim arctan 2x x π→+∞=≠∞，根据无穷大量的定义知，故选D.4.【答案】C【解析】0lim ()lim cos 0x x f x x x ++→→==，00sin lim ()lim (2)1x x xf x x x−−→→+，在0x =左右极限存在且0lim ()lim ()x x f x f x −+→→≠，所以0x =为跳跃间断点，故选C. 5.【答案】A【解析】本题考察求“∞−∞”型极限，2222214211lim()lim lim 24424x x x x x x x x →→→−−===−−−+，故选A.6.【答案】D【解析】根据可微 可导 连续的关系，知连续不一定可导，故选D. 7.【答案】B【解析】本题考查高阶导数，由结论知，()!n y n =，故选B. 8.【答案】D【解析】1()2(1)f x x ′=+，1(1)4f ′=，故选D.9.【答案】C 【解析】211()(1)()(1)1limlim (1)31(1)(1)2x x f x f f x f f x x x →→−−′===−−+，所以(1)6f ′=，故选C. 10.【答案】B【解析】343(4)4y x x x x =−=−，32412y x x ′=−，在(,4)−∞−内0y ′<，所以曲线在(,4)−∞−内单调递减；21224y x x ′′=−，在(,4)−∞−内0y ′′>，所以曲线在(,4)−∞−内是凹函数，故选B.11.【答案】C【解析】根据定积分几何意义，由被积函数0)y y ≥知定积分1−∫表示以原点为圆心、1为半径的上半圆面积，即1122S π−==∫圆，故选C. 12.【答案】B【解析】根据已知条件，由不定积分第一换元法得：1(ln)(ln )(ln )(ln )f x dx f x d x F x C x ==+∫∫，故选B.13.【答案】A【解析】利用微积分互逆运算：B 选项(())()d f x dx f x dx =∫，C 选项()()df x dx f x dx ′′=∫，D 选项()()f x dx f x C ′=+∫，故选A.14.【答案】B【解析】平面230x y +−=法向量(2,1,0)n →=，z 轴方向向量(0,0,1)s →=，0n s →→⋅=，即平面230x y +−=与z 轴平行；代入原点，得20030⋅+−≠，即平面不经过z 轴；故选B. 15.【答案】B【解析】方程222222x y z a b c +=为椭圆锥面的方程式，故选B.16.【答案】A【解析】2020220220ln ln dxdxdx x x xx x −−−=+=+∫∫∫，不存在，即发散，故选A. 17.【答案】D【解析】2233022(033aaaa aaax dxx dx x a −−−+=++=∫∫∫，故选D. 18.【答案】C【解析】根据微分方程阶和线性的定义，可得2x y y x ′+=为一阶线性微分方程，故选C. 19.【答案】B【解析】根据二阶线性微分微分方程的性质可得，1222xy y x e−+=+为微分方程22x y y x e −′′+=+的解；设二阶线性齐次微分方程为0y y ′′+=，特征方程为210r +=，r i =±，得二阶线性齐次微分方程的通解为：12cos sin yC x C x +，故微分方程22x y y x e −′′+=+的通解为12cos sin 2x C x C x x e −+++，故选B.20.【答案】C【解析】(,)f x y 在点00(,)x y 处有一阶、二阶偏导数，且取得极小值，根据二元极值的充分条件知选项C 正确，故选C.21.【答案】C【解析】22z x y x ∂=−∂，22z x y ∂=−∂∂，2(1,2)2zx y ∂=−∂∂，故选C.22.【答案】A【解析】与(2,1)l →=−同向的单位向量e →=，又因为(1,2)4x f ′−=，(1,2)2y f ′−=−，故(2,1)(,)4(2)f x y l −∂=+−=∂，故选A. 23.【答案】C 【解析】由330(,)ydy f x y dx −∫∫知积分区域D 表达式为：0303y x y≤≤≤≤− ，交换积分次序后积分区域D 可表示为：0303x y x ≤≤ ≤≤−，即33330000(,)(,)y x dy f x y dx dx f x y dy −−=∫∫∫∫，故选C.24.【答案】A【解析】根据交错P 级数结论，A 选项为绝对收敛；B 、C 、D 选项为条件收敛；故选A. 25.【答案】D 【解析】根据级数的性质：收敛级数加减发散级数，结果为发散，选项D 正确，选项C 错误；选项A ：改变收敛级数的有限项，不会改变数列的收敛性和极限值，但级数的和会发生变化；选项B ：增加、减少级数的有限项不改变级数的敛散性，故一个发散的级数减少有限项后仍为发散；故选D.二、填空题（每小题2分，共30分） 26.【答案】(1,3)−【解析】定义域：29010x x −>+> ，331x x −<< >− ，(1,3)x ∈−，初等函数在其定义域内都连续，故连续区间为(1,3)−. 27.【答案】3【解析】求导后奇偶性发生改变，即()f x ′为偶函数，则(2)(2)3f f ′′−==.28.【答案】(1,ln(1))e e −−【解析】由题意知曲线在该点的斜率为：10111ke e −==−−，所以111y x e ′==−，解得1x e =−，代入ln y x =得ln(1)y e =−；故该点(1,ln(1))e e −−. 29.【答案】1e −【解析】应用第二重要极限，原式12021()(2021)lim 11lim[1()]x x x x xx x e e x→∞+−⋅−⋅+−−→∞+−==.30.【答案】1x =【解析】2121lim 1x x x →+=∞−，故1x =为函数2211x y x +=−垂直渐近线. 31.【答案】1 【解析】/2cos 2sin 2/2sin 2cos 2dy dy d dxdx d θθθθθθ−==−+，0212dy dx θ===. 32.【答案】cos sin x x x C −++【解析】sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =−=−+=−++∫∫∫. 33.【答案】3【解析】1x ≥时，()max{,2}f x x x x =−=；1x <时，()max{,2}2f x x x x =−=−.{}122122201111max ,2(2)(2)322x x dx x dx xdx x x x −=−+=−−=∫∫∫.34.【答案】2cos x x【解析】变限积分求导，220()2cos x d x x x dx ′=∫. 35.【答案】(ln 2,4)−【解析】x R ∈，24140x x xxe y e ee−−′=−==，解得：ln 2x =−， ln 2x −∞<<−，0y ′<，则y 在(,ln 2)−∞−单调递减； ln 2x >−，0y ′>，则y 在(ln 2,)−+∞单调递增；所以ln 2x =−为极小值点，ln 2(ln 2)144242y e e −−−=+=⋅+=， 故极值点坐标是(ln 2,4)−. 36.【答案】2440x y z +−−=【解析】令(,,)53z F x y z e z xy =−+−，x F y ′=，y F x ′=，5zzF e ′=−，则曲面在(2,1,0)处法向量为(1,2,4)n →=−，切平面方程为(2)2(1)4(0)0x y z −+−−−=，即2440x y z +−−=.37.【答案】(3,1)28dz dx dy =+【解析】22z xy y =+，2x z y ′=，22y zx y ′=+，即2(22)dz ydx x y dy =++，故(3,1)28dz dx dy =+.38.【答案】2π【解析】令cos ()0sin x f x x ′==，又因为2[]33x ππ∈，，解得2x π=，则2πξ=. 39.【答案】4π−【解析】由格林公式得，33(2)()()(12)LDDQ Py x dx x y dy dxdy dxdy x y∂∂++−=−=−∂∂∫∫∫∫∫4Ddxdy S π=−=−=−∫∫圆.40.【答案】101(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈− 【解析】2100441111()65(5)(1)51155n nn n n x f x x x x x x x x x x ∞∞+=====−=−=−−+−−−−−−∑∑11(1)5nn n x ∞+=−∑，(1,1)x ∈−. 三、计算题（每小题5分，共50分）41.【解析】原式20025sin 5lim lim 1011cos 2x x x x x x x →→==−.42.【解析】22233lim()lim11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞++−++−−+=−− 2(1)()3lim 01x a x a b x bx →∞−+++−=−，根据有理分式结论，得10a −=，0a b +=， 即1a =，1b =−.43.【解析】dydx =，114x dy dx==. 44.【解析】函数定义域为R ，对函数求导221xy x ′=+，2222222(1)2222(1)(1)x x x x y x x +−⋅−′′==++， 令0y ′′=，即2220x −=，得11x =−，21x =，综上所述：凹区间为(1,1)−，凸区间为(,1)−∞−，(1,)+∞；拐点(1,3ln 2)−+，(1,3ln 2)+. 45.t =，则31x t =−，23dx t dt =，原式22231111133()3[(1)(1)]11111t dt t t dt dt dt t dt d t t t t t t −+−+−+++++++∫∫∫∫∫∫2112333133(ln 1)(1)3(1)3ln (1)1)22t t t C x x x C =−+++=+−+++++.46.【解析】令1x t −=，当1x =−，2t =−；2x =，1t =；2101231212212142(1)()(1)cos ()sin2323f x dx f t dt t dt tdt t t tππππ−−−−−==++=++=+∫∫∫∫.47.【解析】令21111x y z t −−===−，则21x ty t z t ==+ =−+，设直线21111x y z −−==−与所求直线的交点为(,2,1)t t t +−+，过点(3,2,0)−−的所求直线的方向向量(3,4,1)s t t t →++−+，直线21111x y z −−==−的方向向量为1(1,1,1)s →=−，又两直线垂直，所以1s s →→⊥，即10s s →→⋅=，则3410t t t ++++−=，2t =−，所以(1,2,3)s →=，故所求直线方程为32123x y z++==. 48.【解析】23z x x y ∂=+∂223z x y y ∂=−+∂则22222((33z z x x xy y xy y x y y y ∂∂−=+−−+∂∂222233x x x +.49.【解析】333230000001[()](1)(1)2yy y xxxxxDy I e dxdy dx e dy x e d dx x e dx e x x ====−=−∫∫∫∫∫∫∫9(1)2e −. 50.【解析】由比值判别法得111335(21)(21)5(1)!lim lim1335(21)5!n n n n nn n n u n n u n ρ++→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅− 11335(21)(21)5!212lim lim 15(1)!1335(21)5(1)5n n n n n n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅++=⋅==<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+， 所以幂级数11335(21)5!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅−∑收敛. 四、应用题（每小题7分，共14分）51.【解析】（1）设切点为00(,)x y ，由题意得000000x y e k x x −==−切，根据导数的几何意义， 0x x x k y e−=′==−切，即000x x e e x =−，解得01x =−，把01x =−代入x y e −=及y ′中得0y e =， k e =−切，所以曲线过原点的切线方程为y ex =−.（2）由（1）得，切线与曲线交点为(1,)e −即0222023021111111[()()]()()2362x x V e ex dx e e x e πππ−−−−−=−−=−−=−∫. 52.【解析】由题知，t F k v =，将10t =，100v =，2F =代入得20k =，则20tF v=，又F ma =，所以20dv tdt v=，解得2220v t C =+，将10t =，100v =代入得8000C =，则22208000v t =+，将30t =代入得226000v =，161v≈.五、证明题（每小题6分，共6分）53.【解析】已知3()26f x x x a =−+，22()666(1)f x x x ′=−=−， 在区间[1,1]−上()0f x ′≤，故()f x 在区间[1,1]−单调递减， 因此3()26f x x x a =−+在[1,1]−至多有一个根，即3()26f x x x a =−+，在[1,1]−至多有一个零点，其中a 为任意常数.。
