初二数学奥数竞赛培训题

【 导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更

⾼、更强。下⾯是为⼤家带来的“经典的初⼆奥数训练题”，欢迎⼤家阅读。

经典的初⼆奥数训练题（1）

1.⼩刚和⼩强租⼀条⼩船，向上游划去，不慎把⽔壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，⽔壶与船已经相距2千⽶，假

定⼩船的速度是每⼩时4千⽶，⽔流速度是每⼩时2千⽶，那么他们追上⽔壶需要多少时间？

2.甲、⼄两船在静⽔中速度分别为每⼩时24千⽶和每⼩时32千⽶，两船从某河相距336千⽶的两港同时出发相向⽽⾏，⼏

⼩时相遇？如果同向⽽⾏，甲船在前，⼄船在后，⼏⼩时后⼄船追上甲船？

3.A、B两码头间河流长为90千⽶，甲、⼄两船分别从A、B码头同时启航.如果相向⽽⾏3⼩时相遇，如果同向⽽⾏15⼩时

甲船追上⼄船，求两船在静⽔中的速度。

4.甲河是⼄河的⽀流，甲河⽔流速度为每⼩时3千⽶，⼄河⽔流速度为每⼩时2千⽶，⼀艘船沿⼄河逆⽔航⾏6⼩时，⾏了84千⽶到达甲河，在甲河还要顺⽔航⾏133千⽶，这艘船⼀共航⾏多少⼩时？

5.⼀条⼩河流过A、B、C三镇。A、B两镇间有汽船来往，汽船在静⽔中的速度为每⼩时11千⽶。B、C两镇间有⽊船摆

渡，⽊船在静⽔中的速度为每⼩时3.5千⽶。已知A、C两地⽔路相距50千⽶，⽔流速度为每⼩时1.5千⽶。某⼈从A镇顺流⽽下

去B镇，吃午饭⽤了1个⼩时，接着⼜顺流⽽下去C镇，共⽤8个⼩时，那么A、B两镇间的距离是多少？

经典的初⼆奥数训练题（2）

1、龟兔进⾏10000⽶赛跑，兔⼦的速度是龟的速度的5倍。当它们从起点⼀起出发后龟不停地跑，兔⼦跑到某⼀地点开始

睡觉，兔⼦醒来时，龟已经它5000⽶，兔⼦奋起直追，但龟到达终点时，兔⼦仍落后100⽶，那么兔⼦睡觉期间，龟跑了多少

⽶？

2、甲、⼄两车分别从A、B两地出发，相向⽽⾏，4⼩时相遇。相遇后，甲车继续⾏了3⼩时到达B地，⼄每⼩时⾏24千

⽶，AB两地间的路程是多少千⽶？

初中数学竞赛辅导资料(37)

不等关系

甲内容提要

1. 不等式三个基本性质：

① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

设a>b,不等式组

bxax的解集是x>a

bxax的解集是x

axbx的解集是 b

bxax的解集是空集

3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理

① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。

③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。

直角三角形中，斜边大于任一直角边。

④ 有两组边对应相等的两个三角形中

如果这两边的夹角大，那么第三边也大；

如果第三边大，那么它所对的角也大。

⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和

乙例题

例1. 已知：x≤2，求下列代数式的取值范围：①7－3x, ②xx1

解：①∵x≤2，

∴两边乘以－3，得 －3x≥－6

两边加上7， 得 7－3x≥7－6

∴7－3x≥1

②设xx1＝y, x+1=xy, (y－1)x=1 x=11y≤2，

在两边乘以y－1时，根据不等式基本性质2和3，得不等式组：

)1(2101yy 或)1(2101yy

231yy

或231yy

∴y≥1.5 或y<1

即xx1≥1.5或xx1＜1

例2.设实数a,b满足不等式)(baa＜baa，试决定a,b的符号。(1995年全国初中数学联赛题)

解：∵不等式两边都是非负数，∴两边平方不等号方向不变

SB

一.选择题（共6小题,

1. （25 分）由 1, 2, 3,

有（ ）

A. 36 个 满分25分） ____

4这四个数字组成四位数abed （数字可重复使用），要求满足a+c=b+d.这样的四位数共

B. 40 个 C. 44 个 D. 48 个

2.已知aMT，b冷-桓，c=V6 - 2,那么a, b, c的大小关系是（ ）

A. a

3.方程x2+2xy+3y2=34的整数解（x, y）的组数为（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 已知正方形ABCD的边长为1, E为BC边的延长线上一点，CE=1,连接AE,与CD交于点F,连接BF并延

长与线段DE交于点G,则BG的长为（ ）

A.耍 B.如 C. 2^6 D. 2^5

T ~3 ~3~ ~3~

5. 已知实数a, b满足a2+b2=l,则a4+ab+b4的最小值为（ ）

A. _1

8 B. 0 C. 1 D. 9

8

6.若方程x2+2px - 3p - 2=0的两个不相等的实数根xi，X2满足x： + x=4- （ Xo + x|），则实数P的所有可能的

值之和为（ ）

A. 0 B. _ 3 C. - 1 D. _ 5

4 4

%1. 填空题（共4小题，满分50分）

7. （25分）使得5x2m+l是完全平方数的整数m的个数为.

8. （25分）已知互不相等的实数a, b, c满足a+^=b+^=c+^=t，则t=. b c a

9. 在AABC 中，已矢R AB=AC, ZA=40°, P 为 AB 上一点，ZACP=20°,则里=.

AP

10. 已知实数 a, b, c 满足 abc=-l, a+b+c=4, ―-— ------------------- + -------------- +—-— ----- 里，fllj a2+b2+c2=

a2-3a-l b2-3b-l C2-3C-1 9 -

初二奥数竞赛试题及答案

试题一：代数问题

题目：若\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且满足\( a^2 + b^2

+ c^2 = 1 \)，求\( a \)、\( b \)、\( c \)的值。

答案：由于\( a \)、\( b \)、\( c \)为正整数，且\( a^2 + b^2 +

c^2 = 1 \)，我们可以推断出\( a \)、\( b \)、\( c \)的值只能是1或0。因为\( 1^2 = 1 \)，而\( 2^2 = 4 \)，所以\( a \)、\( b

\)、\( c \)不能大于1。经过尝试，我们可以发现只有当\( a = b =

c = 0 \)或\( a = 1, b = 0, c = 0 \)（或其它两种排列）时，等式成立。

试题二：几何问题

题目：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC = 6，BC = 8，求斜边AB的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。所以，我们有：

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 6^2 + 8^2 \]

\[ AB^2 = 36 + 64 \]

\[ AB^2 = 100 \]

\[ AB = \sqrt{100} \]

\[ AB = 10 \]

试题三：组合问题

题目：有5种不同的颜色的球，每种颜色有3个球，现在要从中选出3个球，求不同的选法总数。

答案：这是一个组合问题，我们可以使用组合公式来解决。组合公式为：

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

其中\( n \)是总数，\( k \)是要选择的数目。在这个问题中，\( n

= 15 \)（因为有5种颜色，每种3个球），\( k = 3 \)。所以：

\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \]

\[ C(15, 3) = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times