函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用

解　薏　研究　函数单调性在含参数不等式恒成立中的应用　（江苏省响水中学高数组　２２４６００）　魏立国　含参数不等式中字母参数取值范围的确定，　一直是高考和竞赛的热点问题，也是考生最头疼　的问题，本人就函数单调性在含参数不等式恒成　立中的应用，例说如下：　１　利用“作差、作商判断函数单调性　来确定　例１　设函数，（ｚ）＝　而一　，其中ａ　∈Ｒ，求ａ的取值范围，使函数，（ｚ）在区间［Ｏ，　＿－Ｔ　＋ｏｏ）Ｅ单调函数．　鍪１　分析：，（　。）一厂（ｚ。）一　ｌ厢一ａｘ。一（厢－　ｚ）一　Ｉ￣／　一　磊　一ａ（ｘ。一、ｚ。）；　｛．．—＝　兰　二　一口（ｚ。一ｚ。　车　总Ｉ　＋　…　～　兰蓬　‘而一ｚ２）‘　｝　一口），　期ｌ呈　若，　）在ｚ∈［ｏ，＋。ｏ）上单调递增，　＜　｝嵩　，ｚ－、ｚ。∈［０，＋。。），则　吾　一　口＞。恒成立，即口小于　最小　值，而　云芎号　可以趋近于０，所以　ａ≤０时，，（ｚ）在ｚ∈［Ｏ，＋ｏｏ）上单调递增，若　，（ｚ）在ｚ∈［Ｏ，＋ｏｏ）上单调递减，则对Ｖｚ。，　２　∈［０，＋∞）有　丢　号　一口＜。恒成　立，又　丢　号　可以趋近于１，所以　口≥１时，，（　）在ｚ∈［０，＋ｏｏ）上单调递减．　例２　已知函数，（ｚ）一ｌｏｇｓ（ａｘ＋６），图像过　Ａ（２，１）和Ｂ（５，２）．　（１）求函数解析式．　（２）记ａ　＝３Ｊｃ－　，，ｌ∈Ｎ。，是否存在正数是，　使（１＋　）（１＋　）…（１＋　）≥是　干Ｔ，对一　切，ｔ∈Ｎ。均成立，若存在，求出是最大值，若不存　在，说明理由．　（１）易求厂（ｚ）一ｌｏ踟（２ｘ一１）；　（２）分析ａ　一３ｓｃ　一２ｎ一１．　则问题转化为对一切，ｌ∈Ｎ。是否存在ｋ＞　０，使　如图１１（２）所示的分割线，拼出如图１１（３）所示的　新正方形．　请你参考小东同学的做法，解决如下问题：　口＝］＝工Ｉ＝］　图（１）　囫　图（２）　：　：　．Ｉ　：　．Ｉ　：　～一　麓　。　醑ｉ　图（４）　…～一萄－￣－ｆ，ｙ一一　图１１　现有１Ｏ个边长为１的正方形，排列形状如图　１１（４），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．　要求：在图１１（４）中画出分割线，并在圈１１（５）的　正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为１）　中用实线画出拼接成的新正方形．　简析：本题一道融阅读理解、动手操作、合理　探究于一体的几何试题，题型新颖，充满活力，且　又使学生感兴趣，题目要求学生合理分割，进行拼　接，在给出范例的基础上进行类似的探究，既考查　了学生的阅读理解能力又考查了学生的动手操作　和合理探究的能力．答案如图１Ｉ（４）与图１１（５）．

　维普资讯 http://www.cqvip.com （１＋　）（１＋　）．．・（１＋　的极大值点，ｚ：譬是厂（ｚ）极小值点，又　）≥　￣／研，如果存在，求出　的最大　值，问题等价于　（１＋　）（１＋　）．．．（１＋　１＿）　而　‘　是否存在大于０的最小值．令Ｐ（，１）一　（１＋　）（１＋　）．．・（　＋　１＿）　由　；再了　’　（１＋　）师　、忍；　堡　一＞１．　￣／（２ｎ＋２）　一１　所以Ｐ（冗）是递增函数，所以忌≤Ｐ（１）一　４　３＝学，即五最大值詈　Ｊ　Ｊ　说明：例１根据函数单调性定义，把问题转化　Ｘｌ十ｚ２　刀　再　。　在区间［Ｏ，＋∞）上的极限值问题，例２通过　作商手段判断函数单调性，这一方法尤其在数列　的单调性判定中经常使用．　２　利用“求导法判断函数单调性”桌确定　例３　已知厂（ｚ）＝ｚ　＋　＋ｂ定义在区间　［一ｌ，１］上，且厂（Ｏ）＝ｆ（Ｄ，又Ｐ（ｘ１，　１），Ｑ（ｘ２，　Ｙｚ）是其图像上任意两点（ｚ。≠如）。若０≤ｚ。＜　－ｒｚ≤ｌ，求使Ｉ　Ｙ－一　。Ｉ＜口恒成立的口取值范围．　分析：本题求口的取值范围确定，其实就是看　Ｉ　・一Ｙｚ　Ｉ的最大值为多少，寻找Ｉ　。—　。Ｉ最大　值，就转化为厂（ｚ）一ｚ。＋　＋ｂ在［一１　１］上的　最大值和最小值问题，由，（Ｏ）一，（１）可得　ｂ一１＋口＋６，　口一一１，所以厂（ｚ）＝２。一　＋ｂ，　厂（ｚ）一３ｘ。一１，　令厂（ｚ）一ｏ，ｚ一±　，当一１＜ｚ＜一　时，厂（ｚ）＞ｏ，．当一　＜ｚ＜譬时，／（ｚ）＜ｏ，当　譬＜ｚ＜１时，／（ｚ）＞Ｏ’所以ｚ：一譬是厂（　）　ｆ（－争一学＋６＇厂ｃ争一一学＋６＇　所以ｚ∈［一１，１］时，，（ｚ）　：互　＋６，　）ｍｉ　一学＋６，所以Ｉ　一　。Ｉ≤　．　所以使Ｊ　Ｙ。一　。Ｊ＜口恒成立的口的取值范围　为口＞　．　例４　求最大常数ｃ，使得对满足ｚ＞Ｏ，ｙ＞　０，ｚ。＋Ｙ。一１的实数，恒有ｚ　＋Ｙ　≥ｃｘｙ．　分析　＝＝＝ｃｏ　ｓＯ’ｙ＝ｓｉｎＯ’　∈（。’　则习　有ｃ０ｓ。　＋　ｓｉｎ＇Ｏ≥ｆｓｉｎ‰ｓ　恒成立，　ｆ　即ＣＯＳ‘　一ｓｉｌｒＯｅｏｓ￣Ｏ＋ｓｉｎ＊　≥ｃｓｉｎＯｃｏｓＯ，当０矗Ｉ　∈（０一）恒成立，也就是１一　２　≥　２　当　∈（ｏ，号）恒成立．令ｓｉｎ２　一ｔ，ｔ∈（６，詈巨　妇’　蚺　ｃ≤　一号ｔ恒成立，令ｐ（ｔ）一÷一号ｔ，　ｌ圭　ｐ　（ｔ）一一　２一ｉ３＜０，所以ｐ（ｔ）减函数，　Ｉ　所以只须ｃ≤　‘’１）即可以，所以ｃ量大值＝丢．　例５　某个在　轴正方向运动的点的横坐标　为：ｚ（ｔ）一５（ｔ＋１）。＋　，其中口是一个正　常数，求满足对所有ｔ≥０，ｚ（￡）≥２４时，口的最小　分析：由题设，当ｔ≥ｏ时，５（ｔ＋１）　。年渤　≥２４恒成立，即当ｔ≥０时，　，　口≥２　４（ｔ＋１）　一５（ｔ＋１）　恒成立，令ｐ（ｔ）一　ｐ　（ｔ）＝１２０（ｔ＋１）‘一３５（ｔ＋１）　＝５（＋　１）‘［２４—７（ｔ＋１）。］，令ｐ　（ｔ）＝０时，　－　由ｔ≥　ｕ　ｔ一存＿ｌ；当。　＜存一　－－　．

－　维普资讯 http://www.cqvip.com 总　第　ａ＇　期　ｏ　ｏ　年　月　上　半　月　１，ｐ　（　＞ｏ，当√等一１＜ｔ时，ｐ　（　＜ｏ．　所　在ｔ一√等－１时，　（ｔ）ｍ．　一　（√等一　一ｃ　ｓ　一　所以口≥　，　所以ａＭｄ，Ｍ：　．　说明：例３、例４、例５的关键是如何把所求问　题转化为求函数的最值问题．　３　利用“一次函数和＝次函数性质”桌确睦　例６　对于０≤ｍ≤４的ｍ，不等式ｚ。＋舭　＞４ｚ＋ｍ一３恒成立，则ｚ的取值范围．　分析：问题等价于当０≤　≤４耐，ｌｚ。一４ｚ＋　３＋ｍ（ｚ—１）＞０时，求ｚ的取值范围．因为　＝　１不符合题意，所以如果把不等式左边看作是关于　ｍ的一次函数，令户（　）＝ｚ。一４ｚ＋３十　（ｚ一１），　根据一次函数　调　可知，问题等价于（三　：；；：　即ｘ２－－４ｘ＋３＞０：ｚ一１ｊ＞。也就是ｚ＞３或　＜一１．　例７　已知厂（ｚ）＝ｌｇ（ｘ＋１），ｇ（ｚ）一　２１ｇ（２ｘ＋ｔ），　。（ｔ∈Ｒ是参数），若ｚ∈Ｅｏ，１］时，　厂（　）≤ｇ（ｚ）恒成立，求参数ｔ的取值范围．　分析：由题设Ｖ　ｚ∈ｒ－ｏ，１－１时，ｌｇ（ｘ＋１）≤　２１ｇ（２ｘ＋ｔ）‘恒成立；　也就是ｖｚ’∈［．０，１］时，２ｘ＋　ｔ≥、／／ｚ＋１恒成立．　．　即Ｖｚ∈Ｅｏ，１］时，ｔ≥￣／＝　一　恒成立，　令　再＿ｒ—ｍ，则ｚ—ｍ。一１，ｍ∈［１，伺，问　题转化为当　∈［１，同时，￡≥　一２（　一１）恒　成立，　设ｇ（　）＝一２ｍ　＋ｍ＋２，因为对称轴ｍ＝　÷，所以当ｍ∈［１，同时，厂（　）单调递减，所以　只须ｔ≥ｇ（１）时成立，即ｔ≥１．　例８　已知ｚ∈Ｃｏ，１］时，不等式ｚ。ｃｏｓ８一　ｚ（１一ｚ）＋（１一ｚ）。ｓｉｎ８＞０恒成立，求　的取值　范围．　分析：原不等式化为（ｓｉｎ８＋ｃｏｓ８＋１）ｚ。一　（２ｓｉｎ８＋１）＿２＋‘ｓｉｎ８＞０．　设厂（　）一（ｓｉｌ　＋ｃｏｓ８＋１）ｚ。一（２ｓｉｎＳ＋１）ｚ　＋ｓｉｎ８，ｚ∈Ｅｏ，１－１，要使ｚ∈Ｅｏ，１－１时，厂（ｚ）＞０　恒成立，必须使厂（Ｏ）＞０，且厂（１）＞０，即ｓｉｎ８＞　０且ｃｏｓ８＞０　则　是第一象限角，ｓｉｎＳ＋ｃｏｓ＠＋１＞　０，此时抛物线开口向上，对称轴方程　２ｓｉｎ８＋１　ｚ一—２—（—ｓ—ｉ—ｎ—Ｓ—＋。——ｃ　ｏ　ｓ—Ｓ—＋——一ｉ）‘　因为２（ｓｉｎ８＋ｃｏｓＯ＋１）＞２ｓｉｎＯ＋１＞０，所以　ｏ＜　辫　＜１．　所以厂（ｚ）在［０，１］上最小值为顶点纵坐标，　即　厂（ｚ）　ｉ　一　４（ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ＠＋１）ｓｉｎＯ一（２ｓｉｎ＃＋１）。　４（ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ＠＋１）　。　

ｆｓｉｎＯ＞０　．Ｊ　ｃｏｓ＠＞０　∞　【４（ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ０＋１）ｓｉｎＯ一（２ｓｉｎ８＋１）。＞０　［　＜　２　ｌ＋詈　１ｓｉｌ１２　＞丢　ｆ２ｂｒ＜　＜２　号　ｌ　＋矗＜　＜　十　所以２ｋ，ｆ＋　＜　＜２　＋　（五∈ｚ）．　

参考文献　ｌ　魏立国．一类函数在闭区间上的最值问题．数理天地．　２００６（２）

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