立体几何基础题题库(600道附详细答案)
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解析：分别连接PE和CD，可证PE//CD，（2分）则∠PEA即是AE和CD所成角．（4分）在Rt⊿PBE中，
PB= ，BE=1，∴PE= 。在⊿AEP中，AE= ， = ．
∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是60º．（7分）
∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）
得OX2+OY2+OZ2=37，OP= ．
24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.
解析：当直线a，b共面时，可确定一个平面；当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．
26.在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD =a，AC BD =b，求 .
解析：四边形EFGH是平行四边形，…………（4分） =2 =
27.如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=b,BC=a,P是⊿ABC所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.
和 所成的角的大小是________.
解析：设各棱长为2，则EF= ，取AB的中点为M， 即
23．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直
线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长
为_______.
解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ OZ，PY OY，PX OX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9，OY2+OZ2=16，
A
34.．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是
.
解析：6条
35.已知：
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面
36.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）
本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法
①若 个C．2个D．3个
B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或 均有 ，
故只有一个正确命题
8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为 ，底
面边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为（）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
B解析：平移SC到 ，运用余弦定理可算得
9.对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M内不共线的三点到N的距离相等;④l,M内的两条直线,且l//M, m// N;⑤l, m是异面直线,且l//M, m// M;l//N, m// N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是（）
解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。（4分）又AB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离，则得MN= AB=
28.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB，E、F分别是BD1和AD中点.
（C）若 ⊥γ，β∩ =a，β∩γ=b，则a⊥b（D）若 ∥β，β∩γ= ，则 ∩γ=
D
解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C项：如图
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为
解析：C如四棱锥的四个侧面， 个。
33.．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（）
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先证M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC
筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所
示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的
影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）
_______.
4．2米
解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高， CE= 米，树影长BE= 米，树高AB= BE= 米。
22．如图,正四面体 （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中, 分别是棱 的中点, 则
6.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是
（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定
C
解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且 则，BD= ，CD= ，BC= 如图 则BD为最长边，根据余弦定理 最大角为锐角。所以△BCD是锐角三角形。
7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题（）
则 的取值范围是（ ）
A．[ ]B．[ ]C．[ ]D．[ ]
解析：D
解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值 ，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值 ，故选（D）．
21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的
竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时,因树靠近一幢建
（1）求异面直线CD1、EF所成的角；
（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
（1）解析：∵在平行四边形 中，E也是 的中点，∴ ，（2分）
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又
A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形
，∴D1C CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）
C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
解析：当甲成立，即“相交直线 、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“ 、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“ 、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）．
13.已知直线m、n及平面 ，其中m∥n，那么在平面 内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是
立体几何基础题题库（有详细答案）
1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为∠1和∠2，则
（A）∠1+∠2=900（B）∠1+∠2≥900（C）∠1+∠2≤900（D）∠1+∠2＜900
解析：C
如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
（ ）
A．等边三角形B非等边的等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
解析：B． 设AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。
∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．
20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是 ，l与a、l与b所成的角都是 ，
A．1B．2C．3D．4
只有②、⑤能判定M//N，选B
10.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1
所成的角为
（A）450（B）600
（C）900（D）1200
C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。
25.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线.
解析：假设EF和AD在同一平面 内，…（2分），则A，B，E，F ；……（4分）又A，E AB，∴AB ，∴B ，……（6分）同理C ……（8分）故A，B，C，D ，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．
30.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱 AB，BC， 的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．
解析：∵EN//MF，∴EN与MF共面 ，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面 ．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面 与 重合，∴点H 。（8分）同理点G ．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．
C
解析： 平面AB1 ，如图： P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是
（A）4条（B）6条（C）8条（D）10条
C
解析：如图 这样的直线有4条，另外，这样的 直线也有4条，共8条。
（2）证：设AB=AA1=a,∵D1F= ∴EF⊥BD1 （9分）
由平行四边形 ，知E也是 的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）
29.⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC= ，PA= ，延长BP至D，使BD= ，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.
11.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为
A. πB. πC. πD.3π
解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证
PB= ，BE=1，∴PE= 。在⊿AEP中，AE= ， = ．
∴∠AEP=60º，即AE和CD所成角是60º．（7分）
∵AE⊥BC，PE⊥BC，PE//DC，∴CD⊥BC，∴CE为异面直线AE和CD的公垂线段，（12分）它们之间的距离为1．（14分）
得OX2+OY2+OZ2=37，OP= ．
24．设直线a上有6个点，直线b上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面.
解析：当直线a，b共面时，可确定一个平面；当直线a，b异面时，直线a与b上9个点可确定9个不同平面，直线b与a上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面．
26.在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD的中点，若AC + BD =a，AC BD =b，求 .
解析：四边形EFGH是平行四边形，…………（4分） =2 =
27.如图，在三角形⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=b,BC=a,P是⊿ABC所在平面外一点，PB⊥AB，M是PA的中点，AB⊥MC，求异面直MC与PB间的距离.
和 所成的角的大小是________.
解析：设各棱长为2，则EF= ，取AB的中点为M， 即
23．OX，OY，OZ是空间交于同一点O的互相垂直的三条直
线，点P到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP长
为_______.
解析：在长方体OXAY—ZBPC中，OX、OY、OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又PZ OZ，PY OY，PX OX，有OX2+OZ2=49，OY2=OX2=9，OY2+OZ2=16，
A
34.．用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是
.
解析：6条
35.已知：
本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.
解析：∵PQ∥a,∴PQ与a确定一个平面
36.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）
本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法
①若 个C．2个D．3个
B解析：注意①中b可能在α上；③中a可能在α上；④中b//α，或 均有 ，
故只有一个正确命题
8.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为 ，底
面边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE与SC
所成角的大小为（）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
B解析：平移SC到 ，运用余弦定理可算得
9.对于平面M与平面N,有下列条件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M内不共线的三点到N的距离相等;④l,M内的两条直线,且l//M, m// N;⑤l, m是异面直线,且l//M, m// M;l//N, m// N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是（）
解析：作MN//AB交PB于点N．（2分）∵PB⊥AB，∴PB⊥MN。（4分）又AB⊥MC，∴MN⊥MC．（8分）MN即为异面直线MC与PB的公垂线段，（10分）其长度就是MC与PB之间的距离，则得MN= AB=
28.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,A1A=AB，E、F分别是BD1和AD中点.
（C）若 ⊥γ，β∩ =a，β∩γ=b，则a⊥b（D）若 ∥β，β∩γ= ，则 ∩γ=
D
解析：A项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。
B项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。
C项：如图
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为
解析：C如四棱锥的四个侧面， 个。
33.．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点如果EF与HG交于点M，则（）
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M不在AC上，也不在BD上
解析：∵平面ABC∩平面ACD=AC，先证M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC
筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所
示.他测得留在地面部分的影子长2.7m,留在墙壁部分的
影高1.2m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）
_______.
4．2米
解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高， CE= 米，树影长BE= 米，树高AB= BE= 米。
22．如图,正四面体 （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中, 分别是棱 的中点, 则
6.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD是
（A）钝角三角形（B）直角三角形（C）锐角三角形（D）不确定
C
解析：假设AB为a，AD为b，AC为c，且 则，BD= ，CD= ，BC= 如图 则BD为最长边，根据余弦定理 最大角为锐角。所以△BCD是锐角三角形。
7.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题（）
则 的取值范围是（ ）
A．[ ]B．[ ]C．[ ]D．[ ]
解析：D
解 当l与异面直线a，b所成角的平分线平行或重合时，a取得最小值 ，当l与a、b的公垂线平行时，a取得最大值 ，故选（D）．
21.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m的
竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时,因树靠近一幢建
（1）求异面直线CD1、EF所成的角；
（2）证明EF是异面直线AD和BD1的公垂线.
（1）解析：∵在平行四边形 中，E也是 的中点，∴ ，（2分）
∴两相交直线D1C与CD1所成的角即异面直线CD1与EF所成的角.（4分）又
A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形
，∴D1C CD1
∴异面直线CD1、EF所成的角为90°.（7分）
C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件
解析：当甲成立，即“相交直线 、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“ 、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交．”成立；若“平面α与平面β相交”，则“ 、m中至少有一条与平面β相交”也成立．选（C）．
13.已知直线m、n及平面 ，其中m∥n，那么在平面 内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集．其中正确的是
立体几何基础题题库（有详细答案）
1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为∠1和∠2，则
（A）∠1+∠2=900（B）∠1+∠2≥900（C）∠1+∠2≤900（D）∠1+∠2＜900
解析：C
如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则∠1和∠2分别为直线AB与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
（ ）
A．等边三角形B非等边的等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
解析：B． 设AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知：x2=12+32-3=7，y2=12+22-2=3，z2=22+32-6=7。
∴ △ABC是不等边的等腰三角形，选（B）．
20．若a，b，l是两两异面的直线，a与b所成的角是 ，l与a、l与b所成的角都是 ，
A．1B．2C．3D．4
只有②、⑤能判定M//N，选B
10.已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B⊥CB1，则A1B与AC1
所成的角为
（A）450（B）600
（C）900（D）1200
C解析：作CD⊥AB于D，作C1D1⊥A1B1于D1，连B1D、AD1，易知ADB1D1是平行四边形，由三垂线定理得A1B⊥AC1，选C。
25.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：EF和AD为异面直线.
解析：假设EF和AD在同一平面 内，…（2分），则A，B，E，F ；……（4分）又A，E AB，∴AB ，∴B ，……（6分）同理C ……（8分）故A，B，C，D ，这与ABCD是空间四边形矛盾。∴EF和AD为异面直线．
30.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体的棱 AB，BC， 的中点，试证：E，F，G，H，M，N六点共面．
解析：∵EN//MF，∴EN与MF共面 ，（2分）又∵EF//MH，∴EF和MH共面 ．（4分）∵不共线的三点E，F，M确定一个平面，（6分）∴平面 与 重合，∴点H 。（8分）同理点G ．（10分）故E，F，G，H，M，N六点共面．
C
解析： 平面AB1 ，如图： P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是
（A）4条（B）6条（C）8条（D）10条
C
解析：如图 这样的直线有4条，另外，这样的 直线也有4条，共8条。
（2）证：设AB=AA1=a,∵D1F= ∴EF⊥BD1 （9分）
由平行四边形 ，知E也是 的中点，且点E是长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF⊥AD，又EF⊥BD1，∴EF是异面直线BD1与AD的公垂线.（14分）
29.⊿ABC是边长为2的正三角形，在⊿ABC所在平面外有一点P，PB=PC= ，PA= ，延长BP至D，使BD= ，E是BC的中点，求AE和CD所成角的大小和这两条直线间的距离.
11.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为
A. πB. πC. πD.3π
解析：正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证
