射影线束形成的二阶曲线及其退化形式

２０１２年８月　

第３３卷第４期　图学学报　

ＪｏＵＲＮＡＬ　ｏＦ　ＧＲＡＰＨＩＣＳ　Ａｕｇｕｓｔ　２０１２　

ｖ０１．３３　Ｎｏ．４　

射影线束形成的二阶曲线及其退化形式　

刘阜平，　丁　勇　

（太原理工大学机械工程学院，山西太原０３００２４）　

摘　要：论文用图示法首次系统表达了在二射影平面场中，存在３种形式的射影对　

应线束。这些对应线束形成二阶曲线时有一定的变化规律。其中底都为非固有点的二线束形　

成双曲线；底为固有点和非固有点的二线束形成抛物线；底都为固有点的二线束，只要旋转　

其中之一就可以分别形成双曲线、抛物线和椭圆。这些结论为我们实现二阶曲线之间的转换　

奠定了理论基础。　

关键词：射影平面；二阶曲线；退化　

中图分类号：Ｏ　１８１　

文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—３０２Ｘ（２０１２）０４—００２４—０４　

Ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｆｏｒｍｅｄ　ｂｙ　ｐｒｏｊ　ｅｃｔｉｖｅ　ｌｉｎｅ　ｐｅｎｃｉｌｓ　

ａｎｄ　ｔｈｅｉｒ　ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｔｙｐｅｓ　

Ｌｉｕ　Ｆｕｐｉｎｇ，Ｄｉｎｇ　Ｙｏｎｇ　

（Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｓｈａｎｘｉ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｕｓｅｓ，ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｔｉｍｅ，ｔｈｅ　ｇｒａｐｈｉｃ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙ　ｅｘｐｒｅｓｓ　ｔｈｅ　

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｒｅｅ　ｆｏｒｍｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｌａｎｅ．Ｔｈｅ　ｌｉｎｅ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ｓｈｏｗ　ａ　ｃｅｒｔａｉｎ　

ｐａ￣ｅｍ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　ｃｕｒｖｅ：ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｅ　ｆｏｒｍ　ａ　ｈｙｐｅｒｂｏｌａ；ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ｏｆ　ｌｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｂｏｔｈ　ｆｉｎｉｔｅ　ａｎｄ　ｉｎｆｉｎｉｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｅ　ｆｏｒｍ　

ａ　ｐａｒａｂｏｌａ；ｔｈｅ　ｔｗｏ　ｐｅｎｃｉｌｓ　ｏｆｌｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｂｏｔｈ　ｆｉｎｉｔｅ　ｐｏｉｎｔｓ　ａｓ　ｔｈｅ　ｂａｓｅ　ｆｏｒｍ　ａ　ｈｙｐｅｒｂｏｌａ，ａ　ｐａｒａｂｏｌａ　

ｏｒ　ａｎ　ｅｌｌｉｐｓｅ　ｕｐｏｎ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ａｎｙ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅｍ．Ｔｈｅｓｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　ｌａｙ　ａ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａ１　ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　

ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ．ｏｒｄｅｒ　ｃｕｒｖｅ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｐｌａｎｅ；ｔｈｅ　ｃｕｒｖｅ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ；ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ　ｔｙｐｅ　

共底射影对应平面　，成透射位置时，其　

所有对应线束形成的二阶曲线全部出现退化。但　

是，如果不成透射位置时，他们的对应线束形成　

的二阶曲线为圆、椭圆、双曲线和抛物线，这些　

二阶曲线共同组成的图谱丰富多彩。当我们固定　

一个场Ｇｃ不动，让另一个场。【呼移、旋转运动时，　

二阶曲线类型不仅按照一定规律变化，而且退化　形式也有多种。　

１　二射影对应平面场特殊线束形成　

的二阶曲线　

任给二射影对应平面场ａ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ…　，　

，Ｃ　，Ｄ　ｒ－．・１，我们可以容易的作出两对对应合　

收稿日期：２０１０　０６－２２　作者简介：刘阜平（１９５７），女，江苏阜宁人，副教授，主要研究方向为射影几何。

　第４期　刘阜平等：射影线束形成的二阶曲线及其退化形式　

同线束ＳＳ　、ＨＨ　，其中ＳＳ　为同向，ＨＨ　为异向；　

两对对应合同点列，，　、从　，ｕ＇ｖ直线分别对应两　场的非固有直线　¨。如图１所示且存在３种对应　

线束。　

图１二射影对应平面场ａ６ｃ　

图２一对非对非线束形成双曲线　

第１种，底为非固有点对应非固有点的唯一　

一对对应线束ｐｏｏｐ　，简称非对非。它们形成的　

二阶曲线为双曲线，渐近线为ｕ＇ｖ，如图２所示。　

如果我们平移其中一个射影平面场并不改变　

。。，形成双曲线的类型和渐近线的方向。　

第２种，底为固有点对应非固有点的线束，　

即ｕ＇ｖ线上的点与其非固有对应点的二线束，简　

称固对非。他们形成的二阶曲线为抛物线，如图　

３所示。抛物线的轴线是非固有点方向，这种抛　

物线只有在二平面场成透射时才出现退化。　第３种，底为固有点对应固有点的线束，简　

称固对固。其中特殊的两对合同线束，ＳＳ伺向形　

成二阶曲线为圆，月Ｈ，异向形成二阶曲线为双曲　

线，如图４（ａ）所示。ＨＨ　形成双曲线的渐近线可　

以通过反射线束　俄啪得到，如图４（ｂ）所示。　

他们的渐进线是一对垂直的直线，因此月Ⅳ，形成　

的双曲线是等边双曲线。有趣的是，当６ｃ仅　二场　

中的合同点列相交于一对对应点时，爿Ⅳ，形成的　

双曲线退化成两条相互垂直的直线，如图５所示。　

（ａ）圆和双曲线　

Ｈ。　ＨＯ　＼　＼　

（ｂ）反射变换　成ＨＯ　求一对垂直的渐近线　

图４同向合同线束形成圆异向　

合同线束形成等边双曲线　

图３　固对非线束形成抛物线　图５合同点列相交时异向合同线束ＨＨ　

退化成直线　图学学报　

２一般固对固线束形成－阶曲线　

一般固对固线束，若平移其中一对对应线　

束，不改变他们形成二阶曲线的类型。因此，我　们可以通过二线束平移共底后二重直线的数量　

来判断其二阶曲线类型。　

异向对应线束形成双曲线。　同向对应线束有３种情况：椭圆，双曲线和　

抛物线。为了说明这个问题，我们引进任意二射　影对应线束的度量问题【２Ｊ。二射影对应线束的　

“大小”，可以由他们的一对对应主直线ｍｍ　、　

ｎｎ邪一对对应“等角线”ＸＸ　、ＹＹ　来确定。嬲　、　

１，　是二线束平移旋转后，异向共底对合的二对对　应二重直线。　

任取二射影平面场中ＥＥ对应点为底的同向　

线束，形成二阶曲线为椭圆，这说明如果髓，共　底一定无二重直线，如图６所示。如果我们固定　

Ｅ线束不动，让￡旋转到就平行位置，这时形成　

的二阶曲线为抛物线，见图７。　平行时为另一　种抛物线位置，而且仅有这两种位置为抛物线，　

其余为双曲线和椭圆（图略）。　

图６固对固同向线束形成椭圆　

图７固对固同向线束形成抛物线　

３二阶曲线的退化　

关于二阶曲线的退化，用解析几何来讨论，　认为有３种形式ｐ］。其中第２种“相交于一个实　

点的两条虚直线”可能欠妥，因为虚直线上无实　

点。在这里借助于图表的方式可以细分为１１种，　

如表１所示。　

从表１中可以看出，二次曲线退化形式并不与　其类型相匹配，即不能称为抛物型退化，椭圆型退　

化或双曲线型退化。如非对非线束形成双曲线，其　

中Ａａ型退化与固对固线束中抛物线Ａａ型退化相　同。这种分类方式体现了射影对应中不同元素之中　

有相同，相同元素之中有不同的变化形式和规律。　

４关于二阶曲线的一点说明　

如果我们抛开共底二射影对应平面场６ｃ　，单　

独讨论二射影对应线束，那么非对非线束形成的　

双曲线与固对固线束形成的双曲线是可以互相转　

换的，见图２。但是他们的退化形式却是有区别的，　固对固平移共底后成　型退化；而非对非平移后　

不退化，旋转共底后出现Ａａ、Ｂａ、Ｏａ型３种退　

化，如表１所示。当然，固对非线束和固对固线　束形成抛物线也一样。所以，是孤立地讨论二射　

影线束还是放在二射影平面场ａｏ；　中，或者放在二　

仿射平面场中是不一样的。如二射影场中固对固　线束和二仿射场中固对固线束虽然一样，但非对　

非线束就不一样，因为前者是射影的，后者却是　

仿射的（参照相似点列与射影点列的区别）。　

５　结束语　

二射影对应平面交“线”是什么？通过上述　

讨论，可以知道，这个“线”是变化不定的。因　为射影平面中点和点是不同的（属于点的线束不　

同），这些不同线束中的对应直线交点形成的“线”　

有圆、椭圆、抛物线和双曲线，当然也可以是直　线和点。这些“线”随着二平面位置不同而变化。　

在欧氏平面中被看成不同几何元素的点、直线、　圆、椭圆、双曲线和抛物线，在非欧平面上都可　

以用一种几何元素即射影线束来生成。这些对我　

们进一步研究射影空间是很有帮助的。　

参考文献　

［１】刘阜平，丁勇．两射影平面场的合同点列与线束【Ｊ】　工程图学学报，１９９５，２４（２）：６０—６６．　［２］　刘阜平，丁　勇．射影点列线束的移动与对合［Ｊ１．　太原重型机械学院学报，１９９５，１６（２）：１７４—１７８．　［３］　朱德祥，朱维宗编．射影几何［Ｍ］．北京：高等教育　出版社．２００７：１４２—１６７．　【４］张博，周丽韫，李兴霞．中点生成椭圆的整数型　算法［Ｊ］．工程图学学报，２０１１，（１）：卜４．

　第４期　刘阜平等：射影线束形成的二阶曲线及其退化形式　

表１二射影线束形成二阶曲线退化表　

名称　二阶曲线类型　退化形式示意图及文字说明　

固＋一一一固　／　，　，舞　

三　束等边双曲线　，两实点

，　謇苫　嘉　特　固　固　～‘　＼＼　Ｈｎ　两虚　｝ｆ．　两虚点　＼　＼腽鼎。　日父　二实直线　

ｔｔ　Ｂａ　ｔｔ　ａ　线　对应平行　∥“　ｐｍｐｒｍ　两实点，——　——ａ　６　束　线束　双曲线　尸　．　，　一虚点（∥　一虚点“ｒ　儿哭　，　同向共底　三，一，　苎　——ｂ　ｃ一虚点　．　一对一舌　一，，，　

…　一一　一……　，：　＾　’：　且：；　，　业＾＾。　飘ｒ，　ｌ口，ｘ－：　且：；　固一一非　…

．　厂／／／　／．　ｆＵｔ　

椭圆　／　ＥＥ，ｒｉｍｆ　ｏ＾　＼　失　’儿Ｊ亚　

，　＼ｗ，点。ＥＥ　同向对　合是特例　不　

鬟固一固　…　，一一　年　＝＝∈　，／Ｉ　两实直线，两　

束　束　／　客茎　篡　青嘉　对应　

…　Ａ　ａ　碜Ｅ，Ｘ　ａ

注：表中字符　６，大写字母表示实点数目，　一个；Ｂ两个；０无；　无数个。小写字母表示虚点数目，ａ一个；ｂ两个；０无　

无数个。