利用笛沙格定理及其逆定理证明初等几何命题

几何原本中的勾股定理及其逆定理的现代数学证明

作者：张胜持

来源：《科学与财富》2020年第20期

摘要：本文对《几何原本》中欧几里得关于勾股定理及其逆定理的证明方法运用现代数学的公式进行了详细证明，简明扼要，简单直观，非常符合于现代人的书写和阅读习惯。

关键词：勾股定理;证明;欧几里得;初等数论。

0引言：勾股定理是一个古老的数学定理，其勾股数计算历来受到人们的重视。古希腊著名数学家欧几里得在他所著的《几何原本》予以了证明，是人类历史上最早的一种证明方法。但是在这本书中，其证明几乎是文字叙述性的，现代人阅读起来非常困难，甚至困惑不解。本人试将这些文字叙述转换为现代数学公式，然后进行推导证明。其中勾股定理证明是第一卷1.47命题，逆定理是1.48命题。下面分别予以详细讨论。

1;;;;;; 勾股定理证明：1.47命题对勾股定理的描述：在直角三角形中，直角 所对的边上的正方形的面积等于夹直角两边上的正方形面积的和。为了证明这个命题，他还画了一个图，如图1所示，图中的 R 点是本人为叙述方便所加的，它是位于 BC 和 AL 的交点处。该图为书中的图1.47。证明如下所述。

求证：BC2= BA2+ AC2。

证明：在△FBC 和△ABD 中，

∠FBC = ∠FBA + ∠ABC ，

∠ABD = ∠CBD + ∠ABC ，

∵∠FBA = ∠CBD =90°，

∴∠FBC = ∠ABD .

∵FA = AB， BC = BD ，

∴△FBC ≌△ABD （两条边及一个角相等）。

即SFBC = SABD （面积相等）。

∵SFBC = SABFG÷2，亦即 SABFG =2SFBC （同底同高三角形的面积等于其上正方形面积的一半【*】）。（因为∠BAC 和∠BAG 同为直角，故 CA 与 AG 在同一条直线上，这样有

几何学引论答案

【篇一：数学文化作业答案(全正确答案)】

3 1870-1950是现代数学的形成阶段。正确答案：√

4集合论是哪位科学家提出的a、康托

5庞加莱创立了拓扑学正确答案：√

6现代数学时期的成果称为高等数学，力学，物理学等科学教学的内容，并被科技工作者应用。正确答案：√ 7抓三堆问题可以抽象成三维向量正确答案：√

8现代数学时期从什么时间开始b、19世纪20年代

9数学起源于四个“河谷文明”地域，以下不是的是：c、亚马逊河

10现代数学繁荣阶段是从1950年至今。正确答案：√

11现代数学时期分为几个阶段：b、3个

12数学发展史可以分为几个阶段：d、四个

13“现代微分几何”是哪位学者创建的：d、黎曼

14现代数学从（）开始。a、19世纪20年代

16拓扑学是（）创立的d、庞加莱

17爱因斯坦何时提出广义相对论c、1915年

18周长和直径之比是一个常数。正确答案：√

20平面图形中对称性最强的是a、圆

21爱因斯坦何时提出狭义相对论c、1905年

1目前我们采用十进制和（）有关。a、人的十指

3国际数学家大会每四年举办一次正确答案：√

4中国的甲骨文出现在c、公元前1600年

5十进制和人的十个手指有关正确答案：√

6称为中国古代数学第一人的是b、刘徽

7狼骨上的刻痕计数考古发现在3万年前左右。正确答案：√

8古埃及的象形文字在（）出现。b、公元前3400年

10直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，这是勾股定理。正确答案：√

11中国的甲骨数字出现在：d、公元前1600年

12以下不是初等数学的主要分支的是：b、函数

13在古希腊数学家中，阿基米德的主要贡献是：c、面积和体积

14人类现在主要采用十进制，与人的手指共有十个有关。正确答案：√ 16考古发现最早的计数是（）。c、狼骨上刻痕

17“数学”这词是谁创的a、毕达哥拉斯

配极变换在几何上的应用X

王金河

(丰镇市第五中学)

摘　要:本文给出了配极变换的几个性质,讨论了它在初等几何和解析几何方面的应用。

关键词:配极变换;极点;调和点列;调和线束

配极变换(又称配极对应)是高等几何教学内容

中一个重要的几何变换,它在初等几何、解析几何方

面有广泛的应用。为了应用方便,先给出几个性质。

性质1:常态二阶曲线上一点的极线,是二阶曲

线在该点的切线。

性质2:点不在二阶曲线上,若存在两条切线,

则两切点的连线就是该点的极线。若不存在切线,则

过该点的直线与曲线的交点处的两切线交点在这点

的极线上。

性质3:若点y的极线通过点z,则点z的极线

通过点y。

性质4:共线点的极线共点,共点线的极点共

线。

性质5:一调和点列各点关于同一常态二阶曲

线的极线成调和线束。

1　配极变换在初等几何证明题中的应用

例1　过点P作圆的两条切线PA,PB(A,B为

切点),且过P作一直线平行于圆上点Q的切线,分

别交QA、QB于点E、F,证明EP=FP。

证明　点P的极线为AB,设它交于点Q的切

线于X,因为点X在点P的极线上,所以由性质3

知点P在X的极线上,因此点X的极线是PQ。由极

线定义知(AB,YX)=-1,又因为EF∥QX,直线

EF截上述调和线束得(EF,PX∞)=-1,所以点P

是线段EF的中点,故EP=FP。

1题图 例2　在$ABC的顶点B、C各引边BA、CA的

垂线交对边于点P、Q,若在点B、C的$ABC外接圆

的切线交点R,则P、Q、R三点共线。

证明　设BP×CQ=D,因为∠ACD=∠ABD

=P/2。所以AD为圆O的直径,即点D在圆上。又

因为ABCD为圆O的内接四边形,其对角线AD、

BC的交点G的极线为PQ。另一方面两切线交点R

的极线是BC,而BC通过PQ的极点G,所以由性质

3知R在G的极线PQ上。故P、Q、R三点共线。

2题图

例3　从圆外二定点P、Q分别作切线PA、PB、

QC、QD(A、B、C、D为切点),设AC×BD=G,AD

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专业 知识分享 E D

C B A 高一数学竞赛班二试讲义

第1讲 平面几何中的26个定理

班级 姓名

一、知识点金

1. 梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点，

并且与ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线

分别交于,,PQR，则1BPCQARPCQARB

注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立

（用同一法证明）

2. 塞瓦定理： 设,,PQR分别是ABC的三边,,BCCAAB或它们的延长线上的点，

若,,APBQCR三线共点，则1BPCQARPCQARB

注：塞瓦定理的逆定理也成立

3. 托勒密定理：在四边形ABCD中，有ABCDBCADACBD，并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。

()ABCDEBAECADABEACDABBEABEACDABCDACBEACCDABAEBACEADABCAEDACADBCEDADBCACEDACADABCDADBCACBEEDABCDADBCACBDEBDABCD证：在四边形内取点，使，则：和相似又且和相似且等号当且仅当在上时成立，即当且仅当、、、四点共圆时成立；

注：托勒密定理的逆定理也成立

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专业 知识分享 4. 西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作,,BCABCA的垂线，

垂足分别为,,DEF，则,,DEF三点共线。