1-5 马尔可夫链 应用分析 上传
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pTon (n ) pon n 1 1 pon E {Ton }
npT (n ) n
1
on
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
pon 1 pon P 1 0
求：2. 发送分组长度的分布和平均长度 即求on状态被off态吸收的吸收时间Ton的分布
pTon (n ) pon n 1 1 pon
马尔可夫链 主要内容
第一讲、基本概念
第二讲、状态分类
第三讲、渐进分析
第四讲、应用分析
（1）分组数据信源数据特征分析 （2）比赛计分规则分析 （3）通信系统同步检测性能分析
马尔可夫链应用分析
（1）建立数学模型 将物理问题转为数学模型，确立一步转移概率矩阵 （2）状态特性的分析 到达和相通 常返态和非常返态 周期和非周期 （3）稳态分析 分析马尔可夫链的稳态分布 （4）非稳态的分析 分析马氏链从非稳态到吸收态的吸收概率 分析马氏链从非稳态到吸收态的吸收时间的统计特性
B赢
q
本例题引自帕普里斯《概率、随机变量与随机过程》（第四版）
对完整的分析感兴趣的同学可参考P607页例15-26。
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
问题建模为{0、1、2、3、4}状态 分析初始概率
P0 p 4 p q
4 4
2:0 0:0 p 1:0 q 0:1
1:1
0:2
P 1 4p q
won
1 poff 2 poff pon
woff
1 pon 2 poff pon
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
pon P 1 poff
求：2. 发送分组长度的分布和平均长度 即求on状态持续时间Ton的分布
1 pon poff
事件“on状态持续时间等于n”意为“进入on状态以
Th
f
0
E {T0，syn }
1
Syn
(r ) dr
po ->1,syn
1
平均失步滞留时间
Th 0
假锁： p00, Asyn 1 f Asyn (r ) dr
E {T0，asyn }
1-po ->0,asyn
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制设计： 一次失步 判决有效
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
信源具有 on-off 两种状态
on态：以概率 pon 继续发送，概率1- pon 结束发送
off态：以概率 poff 开始发送，概率 1-poff 保持静默 求：1. 处于分组发送状态和静默状态的分布 2. 发送分组长度的分布和平均长度 3. 发送间歇长度的分布和平均长度
Th
p0001 p0102 p021
p0000 p0100 p0201
0
f
syn
(r ) dr
Th
f
syn
(r ) dr
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制设计：
失步 1 同步 0
连续多次失步判决有效：若同步时检测到低电平，保 持同步但是进行一级监控，若继续检测到低电平，保 持同步但进行二级监控，继续检测到低电平，则判失 Th 步；
E {Ton }
吸收概率分布
npTon (n )
n 1
n 1 np on 1 pon n 1
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
pon 1 pon P 1 0
求：2. 发送分组长度的分布和平均长度 即求on状态被吸收的吸收时间Ton的分布
动态平衡方程：
w on 1 pon w off 1 poff
归一化条件：
w on w off 1
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
pon P 1 poff 1 pon poff
求：1. 处于分组发送状态和静默状态的分布 w on ,w off 稳态分布解为：
失步时检测到高于门限即进入同步工作状态 ？ 平均同步保持时间
？平均失步滞留时间
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制1：
p0
0 , sy n
p01,syn
同步
0
失步
1
1
r 2 a 2 ar f syn (r ) 2 exp I0 2 2 22 r r f Asyn (r ) 2 exp 2 2 r
p0
0 , sy
p01,syn
0
n
1
1
同步 0
失步 1
多次失步 判决有效
连续多次失 步判决有效
同步 0
失步 1
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制设计：
同步 0
失步 1
多次失步判决有效：若同步时检测到低电平，保持同 步但是进行一级监控，若继续检测到低电平，保持同 步但进行二级监控，继续检测到低电平，则判失步；
一盘
一方先胜6局为胜1盘。 双方各胜5局时，一方净胜两局为胜1盘
分析
不同实力的选手在相应规则下赢球的概率
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
比赛比分变化
1:0 0:0 p q 0:1
2:0
1:1
0:2
3:0
2:1
1:2
0:3
3:1
1:3
p A赢
3:2 A先
p
2:2 平分
p q
2:3 B先 q
p(0) [ p4 4 p 4 q, p3q 2 ,6 p 2q 2 ,4 p 2q3 ,q 4 4q 4 p]
分析A吸收概率：
f k ,0 p k p 4 ( ) ( ) 1 (q / p) 4 k q q 4 p 4 1 ( q / p ) 1 ( ) q
pTon (n ) pon n 1 1 pon
E{Ton } 1 pon E{Ton }
E T / i 1
j I tr
E T / i p
ij
1 E {Ton } 1 pon
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
网球比赛计分规则 一局
每胜1球得1分，先胜4分、净胜两分胜1局； 双方各得3分时为“平分”，平分后，净胜两分为胜1局；
平均同步保持时间
p00, syn
Th
f syn (r ) dr
E {T0，syn }
1
po ->1,syn
Th
p01, Syn
f
0
Syn
(r ) dr
？Th选取对E {T0，syn } 的影响
虚警
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制1：
p0
0 , sy n
p01,syn
同步
0
失步
1
1
r 2 a 2 ar f syn (r ) 2 exp I0 2 2 2 2 r r f Asyn (r ) 2 exp 2 2 r
平均同步保持时间
虚警： p01, Syn
p0001 p0102 p021
f
0
syn
(r ) dr
p0000 p0100 p0200
Th
f
syn
(r ) dr
3
4
2
P 3 4p q
2
4
3
3:0
2:1
1:2
0:3
3:1
1:3
P2 6 p 2 q 2
A赢
p
3:2 A先
p
2:2 平分
p q
2:3 B先 q
B赢
P4 q 4q p
q
0
p A赢
1
3:2 A先 p q
2
2:2 平分 p q
3
2:3 B先 q
4
B赢
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
问题建模为{0、1、2、3、4}状态
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
本例题引自帕普里斯《概率、随考P607页例15-26。
马尔可夫链应用分析：通信同步检测
接收机同步检测机制设计： 设计同步检测电路：监测本地接收机是否和接 收信号相互同步，同步高电平，非同步零电平；
判定处理：高电平则保持同步状态，正常通信，
r 2 a 2 ar f syn (r ) 2 exp I0 2 2 2 r2 r f Asyn (r ) 2 exp 2 2 r
检测机制1：设置电平检测门限Th 同步工作时检测低于门限即进入失步搜索
4
A赢的概率：
pg P{选手A赢一局} pk f k ,0
k 0
1 pk (q / p ) 4 k
k 0
4
1 (q / p) 4
0
p A赢
1
3:2 A先 p q
2
2:2 平分 p q
3
2:3 B先 q
4
B赢
马尔可夫链应用分析：计分规则分析
A赢的概率：
pg P{选手A赢一局} pk f k ,0
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
求：1. 处于分组发送状态和静默状态的分布 w on ,w off
马尔可夫链应用分析：分组数据信源
pon P 1 poff 1 pon poff
求：1. 处于分组发送状态和静默状态的分布 w on ,w off 即求稳态分布
稳态方程：
后，连续n-1步均转移到on状态，第n步转移到off状态”
