人教新课标版数学高二-选修1-2练习 3.2.1复数代数形式的加减运算

这表明两个复数的差 z1-z2(即������������1 − ������������2 )与连接两个向量的终点 Z1,Z2, 且指向被减数的向量对应.
思考 2 从上图看,|z1-z2|的意义是什么? 提示:表示点 Z1 与 Z2 之间的距离.
探究一
探究二
探究三
探究四
复数的加减法运算
对复数进行加减运算时,要先分清复数的实部与虚部,然后将实部与实 部、虚部与虚部分别相加减.若有括号,先计算括号内的,若没有括号,可从左 到右依次进行. 【典型例题 1】 计算: (1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 思路分析:根据复数的加减法法则. 解:(1)原式=(3-4-3)+(-5i-i-4i)=-4-10i. (2)原式=(5-9+3)+(-7i+8i-2i)=-1-i.
(1)求������������表示的复数; (2)求������������表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思路分析:对于(1),可由������������=-������������求得;对于(2),由������������ = ������������ − ������������ 求得;对 于(3),可先求出������������ 的坐标,进而可知点 B 的坐标. 解:(1)∵ ������������=-������������, ∴ ������������表示的复数为-(3+2i),即-3-2i.
提醒:因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个 方面来领会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形 式上,复数加法类似于向量加法.

【三维设计】2015-2016学年高中数学 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时达标检测 新人教A 版选修1-2一、选择题1．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝z 2－z 1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z 对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．2．设f (z )＝z ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( )A ．1－3iB ．－2＋11iC ．－2＋iD ．5＋5i解析：选D ∵z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，∴z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i ，又∵f (z )＝z ，∴f (z 1－z 2)＝z 1－z 2＝5＋5i.3．在复平面内的平行四边形ABCD 中，AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，则DA 对应的复数是( )A ．2＋14iB ．1＋7iC ．2－14iD ．－1－7i解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得DA ＋DC ＝DB ，DC －DA ＝AC ，由AC 对应的复数是6＋8i ，BD 对应的复数是－4＋6i ，依据复数加减法的几何意义可得DA 对应的复数是－1－7i.4．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则2x ＋4y 的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16 解析：选C 由|z －4i|＝|z ＋2|得|x ＋(y －4)i|＝|x ＋2＋y i|，∴x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，即x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥2 2x ＋2y ＝223＝42， 当且仅当x ＝2y ＝32时，2x ＋4y 取得最小值4 2.5．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 设复数z 与复平面内的点Z 相对应，由△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3及|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|可知点Z 到△ABC 的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z 即为△ABC 的外心．二、填空题6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 解析：∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R)，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________.解析：z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R)为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.答案：－18．若复数z 满足z －1＝cos θ＋isin θ，则|z |的最大值为________．解析：∵z －1＝cos θ＋isin θ，∴z ＝(1＋cos θ)＋isin θ，∴|z |＝＋cos θ2＋sin 2θ＝＋cos θ≤2×2＝2.答案：2三、解答题9.如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO 对应的复数；(2)向量CA 对应的复数；(3)向量OB 对应的复数．解：(1)因为AO ＝－OA ，所以向量AO 对应的复数为－3－2i.(2)因为CA ＝OA －OC ，所以向量CA 对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为OB ＝OA ＋OC ，所以向量OB 对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.10．已知复平面内的A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设AB 对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 解：(1)∵点A ，B 对应的复数分别是 z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，∴点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)， ∴AB ＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)． ∴AB 对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ， 得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14， ∴sin θ＝±12. 又∵θ∈(0，π)∴sin θ＝12，∴θ＝π6或5π6.。

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第三章
§3.2 3.2.1
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·选修1-2
课 前 热 身
（学生用书P36）
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§3.2 3.2.1
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·选修1-2
1.复数的加减法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝ __________. z1－z2＝__________. 2．复数加减法的几何意义 → → 设复数z1，z2对应的向量为 OZ1 ， OZ2 ，则复数z1＋z2是以 → → __________所对应的复数，z1－z2是连接向量OZ1与OZ2的终点并指 向__________所对应的复数.
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§3.2 3.2.1
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解
(1)(－2＋3i)＋(5－i)
＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i. (2)(－1＋ 2i)＋(1＋ 2i)－(2＋2 2i) ＝(－1＋1－2)＋( 2＋ 2－2 2)i＝－2. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i ＝－a＋(4b－3)i.
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§3.2 3.2.1
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题型二 复数加减法的几何意义 例2 已知复平面上的▱ABCD，A C 对应的复数为6＋8i，B D 对 应的复数为－4＋6i，求向量D A 对应的复数． 分析 联想图形，结合复数加减法的几何意义求解．
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§3.2 3.2.1
名师一号 ·新课标A版 ·数学 ·选修1-2

3．2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．基础梳理1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加、减法的几何意义．复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ 2→不共线． (1)复数加法的几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．想一想：(1)类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？(2)若z 1＝－1＋2i ，z 2＝3－5i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________． (1)解析：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离． (2)解析：z 1＋z 2＝(－1＋2i)＋(3－5i)＝2－3i ，z 1－z 2＝(－1＋2i)－(3－5i)＝－4＋7i.答案：2－3i －4＋7i自测自评1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为(D )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(B )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i 解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32.故选B.3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则AOB一定是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形→，OB→为邻边所作的平行解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．基础巩固1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(D)A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：z＝3－i－(i－3)＝6－2i.→和OB→，其中O为2．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA坐标原点，则|AB→|等于(B)A. 2 B．2C.10 D．4→＝OB→－OA→＝(1＋3i)－(1＋i)＝2i.解析：∵AB∴|AB→|＝2.3．(2014·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是(A )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：z 1－z 2＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2⇒⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0⇒xy ＝1.4．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________． 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4， 所以z ＝76－4i.答案：76－4i能力提升5．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数为(D ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i解析：向量AB→对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，因为CA →＝CB→＋BA →.所以CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 6．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为(D )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1 解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝ （1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3＋22sin （θ－π4）≤3＋22＝2＋1.故选D.7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i.答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i ，1，4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA→对应的复数为____________；(2)向量BC→对应的复数为____________； (3)向量BD→对应的复数为____________； (4)点D 坐标是____________．答案：(1)－1＋i (2)3＋2i (3)2＋3i (4)(3，3)9．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解析：因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m －2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA→＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离． 解析：向量OA→＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA→＝OA→－OB→，∴向量BA→对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝（－8）2＋（－2）2＝217.。