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高一数学导学案3.1.1方程的根与函数的零点必修1

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研卷知古今；藏书教子孙。
§3.1.1 方程的根与函数的零点

学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数
的零点与方程根的联系；
2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程
一、课前准备
（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）
复习1：一元二次方程2ax+bx+c=0 (a0)的解法.
判别式= .
当 0，方程有两根，为1,2x ；

当 0，方程有一根，为0x ；
当 0，方程无实根.

复习2：方程2ax+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关
系？

判别式 一元二次
方程
二次函数图象

0
0
0

二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数零点与方程的根的关系
问题：
① 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有
个交点，坐标为 .
② 方程2210xx的解为 ，函数221yxx的图象与x轴有 个交
点，坐标为 .
③ 方程2230xx的解为 ，函数223yxx的图象与x轴有 个
交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：
一元二次方程20(0)axbxca的根就是相应二次函数20(0)yaxbxca的图
象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到()yfx吗？

新知：对于函数()yfx，我们把使()0fx的实数x叫做函数()yfx的零点（zero
point）.
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反思：
函数()yfx的零点、方程()0fx的实数根、函数()yfx 的图象与x轴交点的横坐
标，三者有什么关系？

试试：
（1）函数244yxx的零点为 ； （2）函数243yxx的零点
为 .

小结：方程()0fx有实数根函数()yfx的图象与x轴有交点函数()yfx有零
点.

探究任务二：零点存在性定理
问题：
① 作出243yxx的图象，求(2),(1),(0)fff的值，观察(2)f和(0)f的符号

② 观察下面函数()yfx的图象，
在区间[,]ab上 零点；()()fafb 0；
在区间[,]bc上 零点；()()fbfc 0；
在区间[,]cd上 零点；()()fcfd 0.

新知：如果函数()yfx在区间[,]ab上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
()()fafb<0，那么，函数()yfx在区间(,)ab内有零点，即存在(,)cab，使得()0fc
，
这个c也就是方程()0fx的根.

讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立吗？试结合图形来分析.

※ 典型例题
例1求函数()ln26fxxx的零点的个数.
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变式：求函数()ln2fxxx的零点所在区间.
小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程()0fx的实数根；
② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数()yfx的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点．

※ 动手试试
练1. 求下列函数的零点：
（1）254yxx；
（2）2(1)(31)yxxx.

练2. 求函数23xy的零点所在的大致区间.
三、总结提升
※ 学习小结
①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※ 知识拓展
图象连续的函数的零点的性质：
（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
推论：函数在区间[,]ab上的图象是连续的，且()()0fafb，那么函数()fx在区间
[,]ab
上至少有一个零点.
（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 函数22()(2)(32)fxxxx的零点个数为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若函数()fx在,ab上连续，且有()()0fafb．则函数()fx在,ab上（ ）.
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A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点
C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定
3. 函数1()44xfxex的零点所在区间为（ ）.
A. (1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
4. 函数220yxx的零点为 .
5. 若函数()fx为定义域是R的奇函数，且()fx在(0,)上有一个零点．则()fx的零
点个数为 .

课后作业
1. 求函数3222yxxx的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

2. 已知函数2()2(1)421fxmxmxm.
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；
（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m值.

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高中数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点_课件资料

高中数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点_课件资料

在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点 __3__，有f(2)__<__0,f(4) ___> 0得到
f(2)·f(4) __<__ 0（<或>)。
观察对数函数 f(x)=lgx的图象:
y
思考并讨论：函数在区间端
点上的函数值的符号情况，与函数零 点存在什么关系？
1
1. 0.
.
2
ax2 bx c 0(a 0)
补全下表，并思考：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
思考：表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴
的交点有什么关系。
判别式 △ =b2－4ac
方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根
在[0.1, 2.5] 内 f(0.1) __<___0， f(2) __>__ 0
f(0.1)·f(2) __<____0(<或>) x 函数f(x)在（0.1 , 2) 内有一个零点
__1____
零点存在性定理：
i
e
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
（2） f (x) 1 log3x
解：
令f (x) 1 log 3x 0得：x 3
所以，f (x) 1 log 3x 0的零点为3
解（：3）y x2 2x
令y x2 2x 0得：x1 0, x2 2
所以，y x2 2x 0的零点为0,2
解（：4） y ln x 2
令y ln x 2 0得：x e2
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点学案(无答案)新人教A版必修1(2021年整理)

高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点学案(无答案)新人教A版必修1(2021年整理)

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3.1。

1方程的根与函数的零点学习目标结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.新课讲授1、① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 。

② 方程2210x x -+=的解为 ,函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解 ,函数223y x x =-+的图象与x 轴 交点。

2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数0(2≠++=a c bx ax y 的图象有什么联系?3、函数零点的定义：对于函数y = f (x )，我们把使 的实数x 叫做函数y = f （x ）的零点。

【提问】零点是一个点吗?（零点指的是一个 ）4、函数的零点与方程的根的联系方程0)(=x f 有实数根 ⇔ 函数)(x f y =的图象与x 轴有 ⇔ 函数)(x f y =有 。

【练习】.求下列函数的零点：（1）220y x x =--+； （2）21x y =-。

【评注】求方程0)(=x f 的根,就是确定 ，一般地，对于不能用公式法求根的方程0)(=x f ，可以将它与 联系起来，利用 找出零点，从而求出方程的根.5、零点存在定理观察二次函数2()23f x x x =--的图象，在区间[– 2，1］上有零点吗？计算(2)f -与(1)f 的乘积,这个乘积有什么特点?在区间[2，4］上是否也具有这种特点呢？【零点存在定理】如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么,函数()y f x =在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.【例题】求函数62ln )(-+=x x x f 的零点的个数。

高一数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点

高一数学必修一3.1.1方程的根与函数的零点


高考链接
1.（2009 天津）设函数f(x) = 1 x - lnx(x > 0), 3
则y = f(x) ( )
A.在区间（1 ,1）, (1, e)内均有零点 e
B.在区间（1 ,1）,(1, e)内均无零点 e
C.在区间（ 1 ,1）内有零点,(1, e)内无零点 e
D.在区间（ 1 ,1）内无零点,(1, e)内有零点 e
例题
1.前面问题2：方程-x３-３x＋4=0 的根怎么求？
解：令f(x)= -x３-３x＋4，做出函数f(x)
的图像，如下： 可知函数图像与x轴有 交点，所以说方程的
-x３-３x＋4=0的根是
6 4 2
-2 -1 o 1 2 -2
-4
x=1.
观察1
观察二次函数f(x) = x2 - 2x - 3的图像
1 在区间 [a,b] 上___有___(有/无)零点； f (a)· f (b_) __＜__0（＜或＞）．
2 在区间 [b,c] 上___有___(有/无)零点； f (b)· f (c)___＜__0（＜或＞）．
3在区间 [a, d ]上___有___(有/无)零点； f (a)· f (d ) __＜___0（＜或＞）．
1. 在区间[2,1]上__有____(有/无)零点；
f(-2)· f(1)__＜___0（＜或＞）． y
2. 在区间[2,4]上___有__（有
5 4
/无）零点；
3 2
f(2) f(4)__＜___0(< 或 >) 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
-2
-3
-4
观察2
下面函数 y = f(x) 的图象
高中-数学-人教A版-数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 教学教案

高中-数学-人教A版-数学必修一3.1.1 方程的根与函数的零点 教学教案

3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版A 版必修1第三章第一节第一课时的内容，本节课是属于基本初等函数第一部分的知识，在此之前，学生已经学习了指数函数，对数函数，幂函数及其基本性质，这为过渡到本节课的学习奠定了基础。

本节内容是对学生已经学习过的函数知识的延伸和拓展，又是后续学习运用二分法求解方程的近似解的基础。

它是整个高中数学教材体系中起着承上启下作用的核心知识之一，地位至关重要。

二、 教学目标知识与技能目标：理解函数零点的概念以及方程的根与函数的零点之间的关系，掌握函数零点存在的判定方法，能够利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论，体验从特殊到一般的认知的过程和数形结合的思想方法。

情感态度与价值观目标：通过师生，生生之间的讨论互动，学生提高合作交流的能力，在探索解决问题的过程中，体验学习的成就感。

4 教学重难点重点 函数零点的概念；函数零点的判别定理以及函数与方程的关系。

难点 函数零点概念的理解 。

三、教学过程 （一）新课导入1、判断下列方程根的个数，并求出方程的解（1）2230x x --= （2）2210x x -+= （3）2230x x -+= 2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：通过对以上两个问题观察与解答，请学生进一步思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系呢？根据学生的回答，引导学生得到以下结论：以上三个方程的根就是其对应的函数图象与x 轴交点的横坐标。

设计意图：从学生所熟知的二次函数入手，使学生发现问题，这样既训练了学生的观察和识图能力，更重要的是使学生体会知识之间的相互联系，也为后面继续学习一元二次不等式奠定基础。

二、一般探索，得出结论这样的结论对于特殊的一元二次方程及其相对应的函数是成立的，那么对于一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？带着这样的问题，我将引导学生填写下列表格。