2018年上海市闵行区高考数学一模试卷

2021年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学一、填空题1.集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，那么A ∩B=_____. 解析：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A ∩B={2，4}. 答案：{2，4}2.不等式1x x ≤+的解集为_____.解析：∵01x x ≤+，∴010x x ≤⎧⎨+⎩＞或010x x ≥⎧⎨+⎩＜， 解得：﹣1＜x ≤0， 答案：(﹣1，0]3.4sin 5α＝，那么()cos 2πα+=_____.解析：∵sinα=45， ∴cos(2π+α)=﹣sinα=﹣45.答案：﹣454.131lim 31n n n +→∞-+=_____. 解析：()()1113311lim lim331133n nn nn n +→∞→∞--==++，∴1311lim 331n n n +→∞-=+.答案：135.球的外表积为16π，那么该球的体积为_____.解析：一个球的外表积是16π，所以球的半径为：2， 所以这个球的体积为：3432233ππ⨯=.答案：323π6.函数f(x)=1+log a x ，y=f ﹣1(x)是函数y=f(x)的反函数，假设y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)，那么a 的值为_____.解析：∵y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)， ∴函数y=f(x)的图象过点(4，2)， 又f(x)=1+log a x ， ∴2=1+log a 4，即a=4. 答案：47.假设数列{a n }为等比数列，且a 5=3，那么2738a a a a -=_____.解析：根据题意，2738a a a a -=a 2·a 8﹣a 3·(﹣a 7)=a 2·a 8+a 3·a 7，又由数列{a n }为等比数列，且a 5=3， 那么有a 2·a 8=a 3·a 7=9， 那么2738a a a a -=9+9=18；答案：188.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，那么B=_____. 解析：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，即a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，又2221cos 22a cb B ac +-==-，∴B=23π.答案：23π9.假设()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，那么该展开式中常数项的值为_____.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()8112=2n x x x x ++，其展开式的通项()()8882188122rr r r rr r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝.答案：112010.函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，那么()12f 的值为_____.解析：∵函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴()()()()111742222f f f f -==-=，又当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，∴()()()44lg 2lg 217731log log 22222lg 42lg 22f f ==-=＝＝＝.答案：1211.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n ·a n+1(n ∈N *).假设()1211nn n n n b a a ++=-⋅，那么数列{b n }的前n 项和T n =_____.解析：∵2S n =a n ·a n+1(n ∈N *). 当n ≥2时，2S n ﹣1=a n ﹣1·a n ， ∴2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=a n (a n+1﹣a n ﹣1)， ∵a 1=1， ∴a n ≠0∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)=2，∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n =1+(n ﹣1)=n ，∴()()()()()121211111111n n nnn n n n b a a n n n n +++=-=-=-⋅+⋅++， 数列{b n }的前n 项和()()()()()111111111223341nn T nn =+++-⋅++-+⋯++﹣，当n 为偶数时，11n T n =+-1+， 当n 为奇数时，()1111111n T nnn n =-+=--++-1+， 综上所述()11nn T n -=+-1+，答案：()11nn -+-1+12.假设不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，那么实数c 的最大值为_____.解析：∵不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫ --⎪⎝⎭⎛⎫=⎝--⎪⎭≤， 令1x t y=＞， ∴()222t c f t t t -≤=-， ()()(()222222242t t t t f t t t t t --+-+'==--，当t＞2(t)＞0，函数f(t)单调递增；当1＜t＜2(t)＜0，函数f(t)单调递减.∴当t=2f(t)取得最小值，(24f +＝.∴实数c的最大值为4.答案：4二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.设角α的始边为x 轴正半轴，那么“α的终边在第一、二象限〞是“sinα＞0〞的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：∵角α的始边为x 轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限〞⇒“sinα＞0〞，“sinα＞0〞⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x 轴正半轴〞， ∴“α的终边在第一、二象限〞是“sinα＞0〞的充分非必要条件. 答案：A14.假设直线 l 1和l 2 是异面直线，l 1在平面 α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是() A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1，l 2都相交C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交D.l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：A.l 与l 1，l 2可以相交，如图： ∴该选项错误；B.l 可以和l 1，l 2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C.l 可以和l 1，l 2都相交，如以下图： ∴该选项错误；D.“l 至少与l 1，l 2中的一条相交〞正确，假设l 和l 1，l 2都不相交； ∵l 和l 1，l 2都共面； ∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合的l 1和l 2异面； ∴该选项正确. 答案：D15.对任意两个非零的平面向量α和β，定义||||cos ααβθβ⊗＝，其中θ为α和β的夹角，假设两个非零的平面向量a 和b 满足：①||||a b ≥；②a 和b 的夹角()04πθ∈，；③a b ⊗和b a ⊗的值都在集合{}2|n x x n N ∈＝，中，那么a b ⊗的值为()A.52 B.32C.1D.12解析：∵|||||||cos c 2|os 2a b a b b a b n m a θθ⊗=⊗==＝，，m ∈N ，由α与β的夹角θ∈(0，4π)，知2cos 4mn θ=∈(12，1)，故mn=3，m ，n ∈N ， ∵||||a b ≥， ∴012b m a ⊗=＜＜， ∴m=1，n=3，∴32a b⊗＝， 答案：B16.函数()120212212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，＝，＜，且f 1(x)=f(x)，f n (x)=f(f n ﹣1(x))，n=1，2，3，….那么满足方程f n (x)=x 的根的个数为()A.2n 个B.2n 2个C.2n个D.2(2n﹣1)个解析：当x ∈[0，12]时，f 1(x)=f(x)=2x=x ，解得x=0； 当x ∈(12，1]时，f 1(x)=f(x)=2﹣2x=x ，解得x=23，∴f 的1阶根的个数是2. 当x ∈[0，14]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=4x=x ，解得x=0； 当x ∈(14，12]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=2﹣4x=x ，解得x=25； 当x ∈(12，34]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=﹣2+4x=x ，解得x=23； 当x ∈(34，1]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=4﹣4x=x ，解得x=45.∴f 的2阶根的个数是22. 依此类推∴f 的n 阶根的个数是2n. 答案：C三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17.如图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4. (1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析：(1)A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，S 正方体ABCD =AB ×BC=9，由此能求出四棱锥A 1﹣ABCD 的体积.(2)由A 1B ∥D 1C ，知∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A 1B 与B 1C 所成角.答案：(1)∵A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3， ∴S 正方体ABCD =AB ×BC=3×3=9， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积111491233ABCD V AA S =⨯⨯=⨯⨯正方体＝. (2)∵A 1B ∥D 1C ，∴∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，∵11B D =B 1C=D 1=5，∴2221111111125251816cos 225525B C D C B D D CB B C D C +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， ∴∠D 1CB 1=arccos 1625.∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角为arccos 1625.18.复数z满足z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z 、z 2、z ﹣z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积. 解析：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； (2)分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解. 答案：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由可得：22ab ⎪⎩＝2221a b ab =⎩+⎧⎨＝，解得11a b ⎧⎨⎩＝＝或11a b ⎧⎨⎩＝-＝-.∴z=1+i 或z=﹣1﹣i ；(2)当z=1+i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=1﹣i ， ∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，﹣1)， 故△ABC 的面积S=12×2×1=1； 当z=﹣1﹣i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=﹣1﹣3i ， ∴A(﹣1，﹣1)，B(0，2)，C(﹣1，﹣3)， 故△ABC 的面积S=12×2×1=1. ∴△ABC 的面积为1.19.一根长为L 的铁棒AB 欲通过如下图的直角走廊，走廊的宽AC=BD=2m. (1)设∠BOD=θ，试将L 表示为θ的函数； (2)求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.解析：(1)利用直角三角形中的边角关系，求得L 的解析式.(2)求导，分析导函数的符号，进而可得L 的最值，进而得到最值的含义. 答案：(1)∵走廊的宽AC=BD=2m. ∠BOD=∠BAC=θ，∴22sin cos L θθ+＝；(2)∵22sin cos L θθ+＝∴222cos 2sin sin cos L θθθθ-'+＝.∵θ∈(0，4π)，L′＜0，L 为减函数； θ∈(,42ππ)，L′＞0，L 为增函数； ∴θ=4π时，L取最小值该最小值表示：超过.20.函数f(x)=2x +2﹣x.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)设a ∈R ，求关于x 的函数y=22x +2﹣2x﹣2af(x)在x ∈[0，+∞)时的值域g(a)表达式；(3)假设关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：(1)利用奇偶性的定义，可得函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x .那么t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2，y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；(3)假设关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x +m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，即21221xxxm ---≤+-在x ∈(0，+∞)时恒成立，求出21221xx x ---+-的最小值，可得答案. 答案：(1)∵函数f(x)=2x +2﹣x的定义域关于原点对称，且f(﹣x)=2﹣x +2x =2x +2﹣x=f(x)， 故函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x.那么t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2 y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，当a ≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a ，无最大值； 此时函数的值域为[2﹣4a ，+∞)，a ＞2时，当t=a 时，函数取最小值﹣a 2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a 2﹣2，+∞)；(3)假设关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即m(2x +2﹣x )≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即()2212111221221221x x x x x x x x m ------≤=-=-+-+--+在x ∈(0，+∞)时恒成立当x=1时，2﹣x=12，此时(2﹣x )2﹣2﹣x+1取最小值34， 故()21221xx---+取最大值43， 故()211221x x ----+取最小值13-故13m ≤-. 21.数列{a n }满足：a 1=1，11n a +，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足212211683n nn n S S n n a a +++--＝，试确定b 1的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的局部项按原来顺序构成新数列{c n }，且c 1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n }.解析：(1)由a 1=1，两边平方化简可得22111n n a a +-=4，那么数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得21n a ，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)由(1)可得化简整理14143n n S S n n +-+-=1，得利用等差数列的通项公式可得：43nS n -=b 1+n ﹣1，即S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1，化为b n =4b 1+8n ﹣11，取n=1即可得出；(3)解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m (m ∈N *)，那么c n =c 1q n ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，可得5×4m(n ﹣1)=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，….因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，可得数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论. 解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k -，由等比数列{c n }的各项为整数，那么q 为整数，取q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明.答案：(1)11n a +22111n n a a +-=4，n ∈N * ∴数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，那么21n a =1+4(n ﹣1)=4n ﹣3，∴n a =，∴数列{a n }的通项公式n a =； (2)由(1)可得n a =， ∵212211683n n n n S S n n a a +++--＝，∴(4n ﹣3)S n+1=(4n+1)S n +16n 2﹣8n ﹣3， ∴14143n n S Sn n +-+-=1， ∴数列43n S n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为S 1，公差为1.∴43nS n -=b 1+n ﹣1， ∴S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)﹣(b 1+n ﹣2)(4n ﹣7)，化为b n =4b 1+8n ﹣11， 假设数列{b n }为等差数列，那么上式对于n=1时也成立， ∴b 1=4b 1﹣3，解得b 1=1.∴b n =8n ﹣7为等差数列. ∴b 1=1，数列{b n }为等差数列； (3)证明：由(1)可得21na =4n ﹣3.解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m (m ∈N *)，那么c n =c 1q n ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，因为1+4+42+…+4k ﹣1=413k-，所以5×4m(n ﹣1)=5×[3(1+4+42+…+4k ﹣1)+1]，=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m (m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{c n }有无数个.解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k -. 因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m+2(m ∈N*)，那么q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1， 由4k n ﹣3=5·(4m+1)n ﹣1得，k n =14[5(4m+1)n ﹣1+3](n ∈N*)， 而当n ≥2时，k n ﹣k n ﹣1=54[(4m+1)n ﹣1﹣(4m+1)n ﹣2]=5m(4m+1)n ﹣2， 即k n =k n ﹣1+5m(4m+1)n ﹣2，又因为k 1=2，5m(4m+1)n ﹣2都是正整数，所以k n 也都是正整数， 所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1(m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{c n }有无数个.。

2018年上海市松江区高考数学一模试卷2018年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：= ．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= ．3．（4分）已知{an }为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= ．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= ．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是．7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= ．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．21．（18分）已知有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．2018年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：= ．【解答】解：==，故答案为：，2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．3．（4分）已知{an }为等差数列，Sn为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则：2=，解得：a=3．故答案为：3．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=（）﹣1=2．故答案为：27．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=，，，，故答案为：4．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得 a=0，故答案为 0．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），若=，=4，则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，=10x2+40y2≥2xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x ﹣a|=有三个解，令y=|2x﹣a|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y′==﹣2，解得x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a﹣2x可得，a==2，函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【解答】解：，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．12．（5分）已知数列{an }的通项公式为an=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为（﹣，0）．【解答】解：由an =2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故an＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，an≠0．当﹣＜q＜0时，a2n =|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{an }的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1] D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1] C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x，y），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．21．（18分）已知有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{an}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{an}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则am所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{an }共有m项（m≥2，m∈N*），且|an+1﹣an|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{an}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{an}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性由题意|an+1﹣an|=n，1≤n≤63，n∈N*，∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，∴an+1﹣an=n，1≤n≤63，n∈N*，∴{an}是增数列，综上，数列{an }为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，am﹣am﹣1=±（m﹣1），假设am =b1+b2+b3+…+bm﹣1，其中，bi∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（am ）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若an中有k项，，，…，取负值，则有am =（am）max﹣（+++…+），（*）∴am 的所有可能值与（am）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明an可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，所有可能的取值共有：=个．∴am。

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A=．2．（4分）若，则=．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．5．（4分）不等式的解集为．6．（4分）函数的值域为．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为．12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm216．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n都具有性质P k，求﹣1所有满足条件的k的值．2018年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A={1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4，5}，∴∁U A={1，2}．故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212的解x=﹣1．【解答】解：∵方程log2（2﹣x）+log2（3﹣x）=log212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．【解答】解：二项展开式的通项=，由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x＜1或1＜x≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．【解答】解：∵=sinx+cosx+1=2sin（x+）+1，∵sin（x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=2sin（x+）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．【解答】解：，设z=a+bi，则z×2i﹣（1+i）=0，即（a+bi）×2i﹣1﹣i=0，则2ai﹣2b﹣1﹣i=0，∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i，则=+i，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，故答案为：一．8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），可得n=1时，a1=S1=﹣3+2+1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣3n2+2n+1+3（n﹣1）2﹣2n+2﹣1=﹣6n+5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1y2+x2y1的值为16．【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则：，所以：2x2﹣10x+9=0，则：x1+x2=5，，则：x1y2+x2y1=x1（5﹣x2）+x2（5﹣x1），=5（x1+x2）﹣2x1x2，=25﹣9，=16．故答案为：16．10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4是1，2，3，4的一个排列，则所有的排列有A44=24个，假设不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况，假设a1在第二个位置，则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况，此时a3、a4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，则至少有一个i（i=1，2，3，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为[0，6] ．【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，），∵，不妨设M（cosθ，sinθ），∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ），∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin（θ+），∵﹣1≤sin（θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin（θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：①f（x）是奇函数；②f（x）的图象过点或；③f（x）的值域是；④函数y=f（x）﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为①②．【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称，即有f（x）为奇函数，故①对；由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x，可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，图象关于直线y=x对称，可得f（x）的图象过点，或，由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f（x）的值域不是；f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，由对称性可得f（x）的值域也不是．故③不对；当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点，函数y=f（x）﹣x有两个零点；当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点，函数y=f（x）﹣x没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（）A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则有===，则方程组的解有无数个；故选：C．14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m＞0，∴函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|，∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f（x）=|x（mx+2）|=|mx2+2x|在区间（0，+∞）上为增函数，f（0）=0，∴m∈R，∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．故选：A．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A．258cm2B．414cm2C．416cm2D．418cm2【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积S=2（ab+bc+ac）≤（a+b）2+（b+c）2+（a+c）2，当且仅当a=b=c时上式“=”成立．由题意可知，a，b，c不可能相等，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．故选：C．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称．又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于（2，3）中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1+x2+x3=5．故选：B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2，∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．∴PO⊥平面ABC，OC⊥AB，∴以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），P（0，0，），D（0，﹣，），B（0，1，0），C（1，0，0），=（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB与CD所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）=+x+150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）=，当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m（60﹣m）=﹣160m2+9600m，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．当m＞30时，日平均分拣量为480×300=144000．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M（x1，y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．则：T=π，所以：ω=，所以：；（2）由于：=sin（）=，且0＜C＜π，解得：C=，△ABC面积为，所以：，解得：ab=20．由于：c2=a2+b2﹣2abcosC，c=2，所以：20=（a+b）2﹣3ab，解得：a+b=4，所以：．20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C的方程；（2）当时，求△F1MN的面积；（3）当时，求直线F2N的方程．【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，∴a=t，c=t，∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，∴a﹣c=t﹣t=2﹣2，解得t=2，∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F1（﹣2，0），F2（2，0），点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，可设N（2cosθ，2sinθ），∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵，∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin2θ=0，解得cosθ=0，s inθ=1，∴N（0，2），∴=（﹣2，2），∴k==﹣1，∵向量与向量平行，∴直线F1M的斜率为﹣1，∴直线方程为y=﹣x﹣2，联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M（﹣，），∴|F1M|==，点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，∴△F1MN的面积=|F1M|•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M（x1，y1），N（x2，y2），∴λ（x1+2）=x2﹣2，y2=λy1，∴x2=λx1+2（λ+1）∵+=1，∴x22+2y22=8，∴[λx1+2（λ+1）]2+2λ2y12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x1=8，∴4λ（λ+1）x1=（1﹣3λ）（λ+1），∴x1==﹣3，∴y12=4﹣，∴||2=（x1+2）2+y12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y12=4﹣=2﹣==，∴y1=，∴k==﹣，∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即为x+y﹣2=021．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足（n∈N*），且d=a5=b2，若实数m∈P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；都具有性质P k，求（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1所有满足条件的k的值．【解答】解：（1）（n∈N*），可得n=1时，T1+=﹣b1=﹣T1，解得b1=﹣，T2+=b2=﹣+b2+=b2，T3+=﹣b3=﹣+b2+b3+，即b2+2b3=，T4+=b4=﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3=，解得b2=，b3=﹣，同理可得b4=，b5=﹣，b6=，b7=﹣，…，b2n﹣1=﹣，d=a5=b2，可得d=a1+4d=，解得a1=﹣，d=，a n=，P6={x|a4＜x＜a9}（k∈N*，k≥3）={x|0＜x＜}，则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，可得S n+1﹣2λa n+1≥S n﹣2λa n，即为≥，化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k={x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），且a1=﹣，d＞0，可得P k中的元素大于﹣1，则对任意的k（k∈N*，k≥3），实数λ都不具有性质P k；（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1=T1=b1=﹣，H3=T1+T2+T3=﹣，H5=T1+T2+T3+T4+T5=﹣，H7=﹣+0﹣=﹣，…，H2n﹣1=H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k=3时，P3={x|a1＜x＜a6}={x|﹣＜x＜}，当k=4时，P4={x|a2＜x＜a7}={x|﹣＜x＜}，当k=5时，P5={x|a3＜x＜a8}={x|﹣＜x＜1}，当k=6时，P3={x|a4＜x＜a9}={x|0＜x＜}，显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．。

2018年上海市松江区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：=．2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=．3．（4分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10=．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是．7．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为．11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．314．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．2018年上海市松江区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）计算：=．【解答】解：==，故答案为：，2．（4分）已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B={x|2≤x＜3} ．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．3．（4分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．4．（4分）已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a=3．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则：2=，解得：a=3．故答案为：3．5．（4分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，则cos2α等于﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．6．（4分）如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是2．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=（）﹣1=2．故答案为：27．（5分）函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是4．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=，，，，故答案为：4．8．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．9．（5分）在△ABC中，∠A=90°，△ABC的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B（10x，0），C（0，10y），若=，=4，则M（5x，5y），N（2x，8y），由题意△ABC的面积为1，可得50xy=1，=10x2+40y2≥2xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，就是x|2x﹣a|=1，即|2x﹣a|=有三个解，令y=|2x﹣a|，y=，可知y=，画出两个函数的图象，如图：x，y=，y′==﹣2，解得x=，x=﹣（舍去），此时切点坐标（，），代入y=a﹣2x可得，a==2，函数f（x）=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．11．（5分）定义，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【解答】解：，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x 与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．12．（5分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，则实数q的取值范围为（﹣，0）．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k 转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n﹣a n|=n（1+1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{a n}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{a n}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性由题意|a n﹣a n|=n，1≤n≤63，n∈N*，+1∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，﹣a n=n，1≤n≤63，n∈N*，∴a n+1∴{a n}是增数列，综上，数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，a m﹣a m﹣1=±（m﹣1），假设a m=b1+b2+b3+…+b m﹣1，其中，b i∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（a m）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若a n中有k项，，，…，取负值，则有a m=（a m）max﹣（+++…+），（*）∴a m的所有可能值与（a m）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明a n可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，∴a m所有可能的取值共有：=个．。