3.2含参数一元二次不等式解法

C
一元二次不等式的解法（ 一元二次不等式的解法（a>0） ）
∆>0
y x1 x2 x
∆=0 ∆=
y
x1 = x2 = −
∆<0
y x
b 2a
x
没有实根
有两个相异的实根 有两个相等实根 x1，x2. (设x1<x2 ) (设 x1=x2 {x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2}
{x|x≠ − ∅
的根
三、按对应方程 分类， 分类，即分
ax + bx + c = 0
2
x1 , x2 的大小
x 1 > x 2 , x 1 = x 2 , x 1 < x 2 三种情况． 三种情况．
该分类讨论就分类讨论! 该分类讨论就分类讨论!
作业
1.解关于 x 的不等式
1 x − ( a + ) x + 1 < 0 ( a ≠ 0) a
1 其解的情况应由对应的两根 与1的大小关系决定，故有： a 1 （1)当 a < 0 时，原不等式的解为： x < 或x > 1 a
（2)当
（a）当 （b）当 （c）当
a > 0 时，有：
1 <1 a 1 =1 a
1 >1 a
即 a >1
1 时，原不等式的解为： a < x < 1
即 a = 1 时，原不等式的解为： φ
∴(a)当
∴当 k = 0 时,原不等式解集为 { x x = 0} ∴(b)当 k = −8时,原不等式即为 2 x 2 − 8 x + 8 ≤ 0 当 k = −8 时,原不等式解集为 { x x = 2}

3.含参不等式恒成立的问题
知识概要
例3：已知关于x的不等式：
（1）二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立 (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立，
a 0



b2

4ac

0
（2）二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立
a 0 b2 4ac 0
3、不等式中的恒成立问题
二、运用的数学思想
1、分类讨论的思想 2、数形结合的思想
反馈练习
1.已知不等式 ，求a,b
ax 2
bx 1
0的解集为
x

1 2

x
1
3

2.若不等式 mx2 2mx 4 2x2 4x 对任意实
数 x 均成立，则实数 m 的取值范围为（ ）
方程a(x 2)(x 3) 0的两根为x1 2, x2 3
当a 0时，不等式的解集为x | x 2或x 3；
当a 0时，不等式的解集为x | 2 x 3
综上所述：……
新课探究：
例3、解关于解关于x的不等式x2 5x a 0
分析：不等式的二次项系数为1，所以考虑不等
小结： 系数，确定不等 式类型
的正负，确定根 小，确定解集 的情况
不等式ax2 bx c 0的讨论级别如下框架进行
当a=0时，不等式就成为一次不
0等 式或结更论 低次数的不等式，解集
a 0 0很 显然结的论 ，但是这种情况容易丢
优先 0失 ，所xx11以在xx解22 题 时结 结论 论 考虑

12/13/2021
解决不等式恒成立问题的2种思路 (1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满 足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围； (2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围．
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(2)当a＝1时，2＝2a，原不等式解集为{x|x≠2}；
(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>
2 a
，原不等式的解集为
xx<2a或x>2
.
综上所述，
当0<a<1时，原不等式解集为xx>2a或x<2
；
当a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2}；
当a>1时，原不等式解集为xx<2a或x>2
.
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12/13/2021
不等式的恒成立问题 [典例] 对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总 为非负，则m的取值范围为________． [解析] 由题意知Δ＝(m－4)2－4(4－2m)≤0，得m＝0. [答案] {0}
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[一题多变] 1．[变条件]对任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋(m－4)x＋4－2m的值恒
解：由题意知(x－2)m＋x2－4x＋4>0，(x－2)m>－x2＋4x
－4，因为x∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<
－x2＋4x－4 x－2
＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范围为(－∞，1)．
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3．[变条件、变设问]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋ 4－2m的值恒大于零，求x的取值范围． 解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m) ＝(x－2)m＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零， 所以gg－ 1＝1＝x－x－ 2×2× 1＋－x2－1＋4xx＋2－4>40x，＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．

• 『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可 直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但 要注意分母不为零．
• 2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移 项、通分(一般不要去分母)，使之转化为不等号右边为零 ，然后再用上述方法求解．
〔跟踪练习2〕 解下列不等式： (1)xx＋ －13≥0；(2)5xx＋＋11<3.
• ∴2a－a2>－3，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.即a的取 值范围为(－1,3)．
• 1．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a、C b 的值等于 ( )
• A．a＝1，b＝－2
B．a＝2，b＝－1
• C[．解析a＝] －由二1，次不b等＝式2与对应二D次．方a程＝的－关系2，知，b＝1和1b是方程ax2＋3x－2＝
∴原不等式的解为{x|x≤－2，或0≤x<3}．
(2)
2x2－5x＋1 3x2－7x＋2
≤1⇔
2x2－5x＋1－3x2＋7x－2 3x2－7x＋2
≤0⇔
－x2＋2x－1 3x2－7x＋2
≤0⇔
3xx22－－27xx＋＋12≥0⇔
x－123x－1x－2≥0，① 3x－1x－2≠0.②
①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．
[解析] 56x2－ax－a2＞0可化为 (7x－a)(8x＋a)＞0. ①当a＞0时，－a8＜a7，∴x＞a7或x＜－a8； ②当a＜0时，－a8＞a7， ∴x＞－a8或x＜a7；
③当a＝0时，x≠0. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>a7或x<－a8}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－a8或x<a7}．