第07章耦合电感与变压器38358

含有耦合电感的电路与变压器
一、互感？
当在一个线圈通一交流电时，另一个线圈中产生互感电压；
二、同名端？
反映两线圈之间互感电压与电感电流之间的关系；
1.磁通互相增强时，相应端子则为同名端；
2.不需要画出绕向和磁芯
三、耦合系数？
K=M/(/根号下L1L2)
四、互感电压的极性？
1.电流从同名端流入时，同名端处标注为+；
2.电流从异名端流入时，同名端处标注为-；
五、含有互感的电路的分析方法？
六、变压器？
1.定义：利用互感实现电能的传递的设备；
2.作用;变电压、变电流、变阻抗；
七、理想变压器？
1.线圈和磁芯无损耗；
2.线圈间全耦合，个线圈无漏磁；
3.磁芯的磁导率趋于无穷大；
4.电压比等于线圈比（电压比）；
5.电流比等于线圈的反比取负号；
6.二次侧接上ZL，一次侧等效阻抗为Z L’=K2Z L
八、列方程计算法?
核心：KCL、KVL
1.串联：L=L1+L2+或-2M
异名端串联（顺接），相互增强（按回路看），取+2M
同名端串联（反接），相互削弱（按回路看），取-2M
2.并联L=(L1L2-M2)/(L1+L2-或+2M)
异名端并联，相互增强（按回路看），取+2M
同名端并联，相互削弱（按回路看），取-2M
九、消去互感计算法?
核心：由KCL式子移项可得在第三条支路上等效出一个电感,讲电感都等效成独立电感后再计算。

1.同名端相联时，互相削弱，原有基础上减去M，另一支路上
等效出M;
2.异名端相联时，互相增强，原有基础上加上M，另一支路上
等效出-M；。

耦合电感在电路中的应用
信号传输
耦合电感在电路中可以用于传输信号，由于其电磁耦 合的特性，信号可以在不同的电路之间传递。
滤波器
耦合电感可以组成各种滤波器，如高通、低通、带通 等，用于对信号进行筛选和过滤。
振荡器
在振荡电路中，耦合电感与电容配合使用，可以形成 振荡信号。
变压器在电路中的应用
电压转换
01
电路分析基础课件第8章耦合电感 和变压器电路分析
目 录
• 耦合电感电路分析 • 变压器电路分析 • 耦合电感和变压器在电路中的应用 • 习题与思考
01 耦合电感电路分析
耦合电感基本概念
耦合电感定义
由两个或多个线圈通过磁场相互耦合而构成的电路元件。
耦合系数
描述耦合电感线圈之间耦合程度的一个参数，其值在0到1之间 。
习题2
计算变压器初级和次级线圈的电压和电流， 以及变压器的变比。
习题3
分析一个具有变压器和耦合电感的电路，计 算各元件的电压和电流。
习题4
设计一个变压器，满足特定的电压和电流要 求，并计算所需的匝数和线径。
思考题
思考题1
如何理解耦合电感和变压器在 电路中的作用？
思考题2
如何分析具有耦合电感和变压 器的电路？
02
变压器在电力系统、电子设备和 工业自动化等领域有着广泛的应 用，是电力传输和分配的关键设 备之一。
变压器的工作原理
当交流电通过变压器的一次绕组时， 会在铁芯中产生交变磁场，这个磁场 会感应出电动势，从而在二次绕组中 产生电压和电流。
变压器的工作原理基于电磁感应定律 和全电流定律，通过改变绕组匝数实 现电压和电流的变换。
根据耦合系数和线圈的匝数比，可以确定电压和电流的幅值关系。

L L1 L2 2 M
2
1 L L1 L2 2 M 0 M ( L1 L2 )
互感不大于两个自感的算术平均值。
i + + u – –

R1
u1 – + u2 R2
* L1 M L2 *

I

+
U

U1


Z1
–

U2
Z2
U 1 R1 I jL1 I jM I R1 I j( L1 M ) I
I 3 I1 I 2
Zeq
2 Z1Z 2 Z M U I3 Z1 Z 2 2Z M


Z2

时域 u, i 的关系：
di1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di1 u L2 M dt dt
忽略两个电感的电阻
R1 R2 0
Leq异 ( L1 L2 M 2 ) 0 L1 L2 2 M
自感磁链 Ψ11
11 =N1 11
11 21
i1
N1
N2 – + u21 –
21 =N2 21
施感电流
+
11 i1 21
u11
互感磁链 Ψ21
L1
11
i1
i1
， 称L1为自感系数，单位亨 ( H)。
， 称线圈 1对线圈 2的互感系数，单位亨（ H）。
M 21
( L1 L2 M 2 ) Leq同 0 L1 L2 2 M
i3 = i1 +i2
2. 同名端在异侧 i3 + u – i1 * L1 R1 M i2 L2 * R2

电感的关系 两互感线圈串联时， 其等效电感L=L1+L2±2M， 说明顺接时等效电感增加， 反接时等效电感减小， 即 反接时互感有削弱自感的作用。 互感的这种作用称为 “容性”效应。 但这种削弱作用有多大， 会不会使L 反=L1+L2-2M<0呢？ 我们前面曾介绍过， 耦合系数K≤1， 由式(7-5)可 知
第7章 互感耦合电路
7.1.3 耦合系数 当两个线圈存在磁耦合时， 通常一个电流产生的 磁通只有一部分和另一个线圈交链。 如图7.1中， Φ21 即为Φ11的一部分， 而彼此不交链的那部分磁通称为漏 磁通。 漏磁通越少， 说明两个线圈耦合的程度越紧密。 为了描述两线圈的磁耦合程度， 可用耦合系数来表示， 即
0 L2
& U L2
& U 21
M R1 L1 R2
& U R2
2
& U 20
0
图7.15 例7.4图
第7章 互感耦合电路
M a L1 b d (a) L2 c a L1
M b c (b) L2 d
图 7.16 题2图
第7章 互感耦合电路
M 13 M 12 L1 a L2 M 23 L3 b
图 7.17 题3图
K=
M L1 L2
(7-5)
第7章 互感耦合电路
7.1.4 互感电压 根据电磁感应定律， 当互感电压与互感电动势的 参考方向一致时， 即互感电压与产生它的磁通也满足 右手螺旋关系时， 有
u21 = −e21 = u12 = −e12 =
dψ 21 di1 =M dt dt dψ 12 di2 =M dt dt
1
3
＋
V
S 左左左 V

ϕ12 ≤ ϕ22
(8.1-4)
电流i2(亦称施感电流)在线圈2、线圈1中产生的自感磁通 链和互感磁通链分别为
ψ 22 = N 2ϕ22
ψ 22 = L2i2
ψ 12 = N1ϕ12
ψ 12 = M 12i2
(8.1-5)
对于线性耦合电感，自感和互感磁通链都正比于电流i2， (8.1-6)
式中L2为线圈2的自感系数，M12是互感系数，单位是亨利。
ψ 1 = ψ 11 ±ψ 21 ψ 2 = ±ψ 21 +ψ 22
或
ψ 1 = L1i1 ± Mi2 ψ 2 = ± Mi1 + L2i2
(8.1-15)
“＋”号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起“增强”作 ＋ 号表示互感磁通链与自感磁通链方向一致，互感起“增强” 号表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，互感起“ 用；“－”号表示互感磁通链与自感磁通链方向相反，互感起“削 弱”作用。 作用。 ＋、－号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向 号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。 ＋、－号的选择取决于两线圈中通入的电流的方向及各线圈绕向。
dψ 11 di1 dψ 21 di1 u11 = = L1 u21 = =M dt dt dt dt 注意， 的参考方向与φ 成右手螺旋法则。 注意，u21的参考方向与 21成右手螺旋法则。
(8.1-13)
个线圈通以交变电流i 亦在第1个线圈 ②同理，若第2个线圈通以交变电流 2，亦在第 个线圈 同理，若第 个线圈通以交变电流 两端产生互感电压u 两端产生互感电压 12，
耦合系数： 2. 耦合系数： 耦合系数用于描述两个线圈相互耦合的紧密程 度。定义为
ψ 12 ψ 21 k≡ ψ 11 ψ 22

L1, L2, M ,
k 1 M L1 L2
变比（匝数比）
L1 L2 N1 N 2 n
在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把 实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。
12
2.理想变压器的主要性能
1
i

N2
1）电压变换关系 1' 1 2 11 22 k 1 N1 d 1 d d 2 d u1 N1 u2 N2 dt dt dt dt n:1
R2
jL2
U S
+ –
I1
I 2
RL
L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20 , R2=0.08 , RL=42 1150o V 314rad/s, U S , I . 求: I
1 2
I 1
Z11
解
(M ) 2 Z 22
应用原边等效电路
3
§10-4 变压器原理
变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电 路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为 非铁磁性物质时，称为空心变压器。
1.空心变压器的电路
I1

R1 j L1
j M
* *
R2
US
一次 回路

+ –
I2
j L2 ZL=RL+jXL

二次 回路
4
2.分析方法
1）列方程分析 回路电流方程：
2
2'
u1 N1 n u2 N 2
n:1 + u1 _ * + u2 _
+ u1 _
*
*
+ u2 _

u2 dt dt dt uL2 uM 2 L2 dt M dt
式中， uL1 uL2 为自感电压， uM1 uM 2 互感电压， 取正号或负号；可见，耦合电感是一种动态、 有记忆的四端元件。(与电感有类似的特性) 耦合电感的VCR中有三个参数：L1、L2和M。
8－1－2.耦合电感的同名端
规则：法1：若耦合电感线圈电压与电流的参 考方向为关联参考方向时，自感电压前取正号， 否则取负号；若耦合电感线圈的电压正极性端 与另一线圈的电流流入端为同名端时，则该线 圈的互感电压前取正号，否则取负号。
或：法2：第一步：总认为电压、电流方向 关联(假设电压或电流的参考方向)，这时， 自感电压总是正的,互感电压总是同一符号； 第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例1 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
* L1
M
i2
L2 *
- c
u1
b +
u2
+ d
di1 di2 u1 uL1 uM 1 L1 M dt dt
di2 di1 u2 uL 2 uM 2 L2 M dt dt
a-
i1

M
i2
L 2
di1 M dt
+c
u1
b -
u2
-
u1
d b -
u2
d
耦合电感的相量(模型)形式为
jL I jMI U 1 1 1 2 jL I jMI U
2 2 2
1
jL1, jL2 称为自
感阻抗 jM 称为互感阻抗
据此可画出相应的相量模型图
8-1-3 耦合电感的储能

U
j L2 •
U2 –
–
U ( R1 R2 ) I jω( L1 L2 – 2M ) I
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相量图： (a) 顺接
R1 j L1
I+
+
U 1 *•
j M
j L2
* •
–+
U2 –
U
–
(b) 反接
•
jM I
•
U•
U2
•
R2 I
•
jL2 I
•
jM I
•
U •1
•
R1 I jL1 I
•
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2. 耦合系数
用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密 程度。
k=1 称全耦合: 漏磁 F s1 =Fs2=0
满足：
F11= F21 ，F22 =F12
def
k
M
1
L1L2
k M M 2 (Mi1)(Mi2 ) 12 21 1
L1L2
L1L2
L1i1L2i2
11 22
注意耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
i1
M
i2
+
**
+
u1
L1
L2 u2
–
–
I1
+
j L1
U1
+
– jMI2 –
•
•
•
U1 jL1 I1 jM I 2
•
•
•
U 2 jL2 I 2 jM I1
I2
j L2 +
+
U2
j M I 1
–
–

§13－5 耦合电感与理想变压器的关系
我们介绍了耦合电感和理想变压器两种电路元件，其 电压电流关系如下所示，一个是双口动态元件，另一个是 电阻双口元件，它们都是从具有互感耦合的线圈抽象出的 理想电路元件，为什么要提出两种电路元件？它们之间的
关系如何？
di1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
I 2
i1 ( t ) 2 2 cos(103 t 53.1 )A
i2 ( t ) 2 2 cos(103 t 3.69 )A
图13－21
根据最大功率传输定理，当负载为
Z L Z o (0.5 j1.8)
时可获得最大功率
2 U oc 5 W 2.5W 4 Ro 4 0.5
di1 di2 u1 di1 u1 L1 L1 L2 dt dt L1 dt 1 u1dt i1 L1
L2 di2 L1 dt
L2 L1 i2 0 i2 i1 ni1 L1 L2
u1 nu2 i2 ni1
以上讨论表明：用导线绕制的磁耦合线圈，在忽略导 线和磁心(或铁心)损耗的条件下，可以用一个耦合电感或 两个电感和一个变压器的组合作为它的电路模型。
图13－21
Zi (3 j4)
再计算出电流
(2 j1)V U oc
Zo (0.5 j1.8)
j1 2 36.9 A I 1 j1 1 j1
U 10 0 S I A 2 53 . 1 1 Zi 3 j4
(a)
(b)
k=1
N1 n N2 Lm L1 LS 0

M
di2di2 dt
相量形式：
U 1 jωL1 I1 jωMI2
U 2 jωMI1 jωL2 I2
•
I1
+
•
I2
+
j L1
•
U1
+
•
jω M I 2
–
–
j L2
•
+
U2
•
jω M I 1
–
–
6. 2 含耦合电感的正弦稳态电路的分析
计算含有耦合电感的电路通常有两种方法： （1）直接列写方程法； （2）去耦等效分析法，等效成无互感的电路；
U S 2
_
方法2：回路电流法
( R1 jL1 R3 jL3 )Ia ( R3 jL3 )Ib jMIb U S1 (R2 jL2 R3 jL3 )Ib (R3 jL3 )Ia jMIa U S 2
注意互感电压的表示式及正负号。
例 已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求其戴维南等效电路。
M
di1 dt
u1和i2的方 向对同名
端相反
u2和i1的方 向对同名
端一致
u2、i2非关联
在线圈绕向和相对位置无法辨认的情况下，可以用实验的方 法来判断同名端。
1 i1 M +
2 ++
开关闭合时，di1/dt>0 若1和2为同名端，则
E
u_1 L1
L2 u_2 V
u2=Mdi1/dt>0
-
若1和2’为同名端，则
磁场相互消弱
磁场增强还是消弱取决于线圈的绕向和电流的方向
实际线圈往往是封闭的，看不出线圈的绕向。

第6章 互感耦合电路与变压器本章从复习互感的物理现象开始，首先阐述了互感系数与耦合系数的概念。

又从两个具有互感的线圈中的研究中，引出了同名端的概念：无论通过两线圈中的电流如何变化，在两线圈中引起的感应电压的极性始终保持一致的端子称为同名端。

在此基础上，向读者介绍了互感的串联、并联及其T 型等效电路，其中在互感线圈的T 型等效电路中详细介绍了互感消去法，从而大大简化了具有互感电路的分析计算。

本章的学习重点：● 互感线圈中的电压、电流关系；● 互感线圈的串、并联及其T 型等效电路；● 理想变压器、空心变压器与全耦合变压器的特点及其电路分析； ● 具有互感的正弦交流电路的分析与计算。

6．1 互感的概念1、学习指导 （1）互感现象当一个线圈中的电流发生变化时，在相邻线圈中引起电磁感应的现象称为互感。

（2）互感电压互感电压是通过磁路耦合而产生的，互感电压的大小取决于两个耦合线圈的互感系数M ，对两个相互之间具有互感的线圈来讲，它们互感系数的大小是相同的，即：2212111212i M i M M ψψ====，即互感M 的大小只与两个线圈的几何尺寸、线圈的匝数、相互位置及线圈所处位置媒质的导磁率有关。

（3）耦合系数和同名端两个互感线圈磁路耦合的松紧程度用耦合系数K 表示，当K=1时为全耦合，即线圈电流的磁场不仅穿过本身，也全部穿过互感线圈。

当漏磁通越多时，耦合的越差，K 值就越小。

利用互感原理工作的电气设备，总是希望耦合情况越接近1越好。

同名端的概念可以有如下两种解释：① 具有磁耦合联系的两个线圈中通过的电流，如果它们产生的磁场相互增强，则两线圈的电流流入（或流出）端即为一对同名端。

②具有磁耦合关系的两个线圈，当任何一个线圈中通过的电流发生变化时，在两线圈上引起的感应电动势的极性始终保持一致的端子称为同名端。

2、学习检验结果解析（1）写出图6.1和图6.2中线圈2两端的互感电压u 2。

解析：对图6.1，线圈2两端的互感电压dt di M u 12M = 对图6.2，线圈2两端的互感电压dtdiM u 12M -=图6.1中互感电压u M2的表达式前面之所以取“＋”号，是因为两电流产生的磁链方向一致，其磁场相互增强；而图6.2中互感电压u M2的表达式前面之所以取“－”号，是因为两电流产生的磁链方向相反，其磁场相互削弱的缘故。

或
Φ
l
S

Fm
称为磁路的欧姆定律
Rm

l S
称为磁阻，是表示磁路对磁通起阻碍作用 的物理量，单位为：H-1（亨）。
磁路欧姆定律也可以由安培环路定理导出：
对由某种材料组成的均匀磁路 Φ BS HS

H dl
l

Hl
IN
Fm
Φ BS HS IN S IN Fm
，B的铁变磁化材总料是的滞这后一于B性H质的，变a 用化b如。图所示
的磁滞回线来表示，图中-Hc称为矫顽力
；Br称为剩磁。
O
H
选 取 不 同 的 Hm 值 ， 对 铁 磁 材 料 进
行多次交变磁化，可得到一系列磁滞回
B
Br
－Hc
O
Hc H
线（请参见教材P182图7.2.3），将这一 系列关滞回线的顶点与原点O连成的曲 线Oa1a2a3…称为铁磁材料的标准磁化曲 线，用以表征材料的磁化性能，它是分
注意：教材中 该图上方H的的 倍数应为103， 而不是10。
析计算磁路的依据。
教材图7.2.4给出了几种常用铁磁材料的标准磁化曲线。 跳转到第二页
例7.2.1 试根据图7.2.4所示曲线，计算硅钢片在B为0.8 T及1.4 T 时的相对磁导率。
解: 本例题在电子设计中经常用到，其目的是告诉我们怎样使 用标准磁化曲线。
跳转到第二页
§7.2 铁磁材料
磁介质分类：非铁磁材料、铁磁材料。
铁磁材料具有以下特点：
1. 高导磁性：磁导率可达102~104，由铁磁材料组成的磁路磁 阻很小，在线圈中通入较小的电流即可获得较大的磁通。
2. 磁饱和性：B不会随H的增强而无限增强，H增大到一定值

i2 u2
2、耦合电感的同名端
i1
•
• i2
i1 •
i2
u1
u2 u1
u2
•
同名端规定：
当电流i1 、i2分别从两个线圈对应的端纽流入时，磁通相互加强，则这两个端纽称作为同名端。
意 义：若电流i1由N1的“ • ”端流入，则在N2中产生的互感电压u21的正极在N2的“• ”端。
同名端判断：
1、已知线圈绕向判断
dt
U 1 U 2
jL1 I1 jL2 I2
jMI2 jMI1
耦合电感伏安关系中正负号的确定 请记下
1）自感电压的正负：
u与i是否关联，关联为正，否则为负; 2）互感电压的正负：
将同名端•重合，若i2与u1 （或i1 与u2 ）参考方向关联， 则互感为正，否则为负。
例11-1 试写出如图所示各耦合电感的伏安关系。
耦合系数k 154页
M
M
k
，它反映了两线圈耦合松紧的程度
M max
L1 L2
讨论： 0 k 1 :
k=1
全耦合
k=0
无耦合
k>0.5 紧耦合
k<0.5 松耦合
含互感M的两线圈L1 和L2，其储能为：
w
1 2
L1 i1 2
1 2
L2 i2 2
Mi1i2
当互感磁通与自感磁通方向一致时取正，否则取负
1、互感电压
i1
u11
d11
dt
L1
di1 dt
u1
u21
d 21
dt
M 21
di1 dt
M21: 互感系数
u22
d 22
dt

I1

U1 Z11 Z1 f
再由公式（7-17）求次级电流 I2
图7-16 一次等效电路
I2

ZM Z 22
I1
例7-6 如图7-17a所示电路，已知L1=3.185H,L2=0.1H， M=0.465H，R1=20Ω ，R2=1Ω ，RL=42 Ω ，电压u1=115sin314tV，求 I1 及 I2
Z1 f

2M 2 R22 jX 22
2 M 2 R22 R22 2 X 22 2

j 2 M 2 X 22 R22 2 X 22 2
R1 f

jX1 f
7.3 空心变压器
从电源两端看进去的输入阻抗为
Zi
Z11 Z1 f

Z11

ZM 2 Z 22
由此我们可画出初级等效电路如图7-16所示， 很容易便可求其初级电流为

nU 2 I2

n2
U 2 I2
n
Zi n2ZL
U1 U 2
n
I1 I2

1 n
7.4 理想变压器
例7-8 已知理想变压器如图7-22a所示，US=2V，RS=2Ω ，R=8Ω ，电压比n=1∶2，求二次绕组 电流I2。
图7-21 理想变压器的一次等效电路
7.4 理想变压器
磁耦合。
7.1.2 互感电压
1.互感系数与耦合系数
11 L1i1 21 M 21i1
22 L2i2 12 M12i2
7.1 互感现象与互感电压
2.自感电压与互感电压
由于自身电流的变化而在线圈两端感应的电压叫
自感电压，或者说自感电压是由于自感磁通的变