5.3.2 极值与最值(精讲)(解析版)

5.3.2 极值与最值考点一求极值及极值点【例3】（2020·安徽滁州·高二期末（理））已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,(1))f 处的切线方程为4120x y --=.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）2()12ln 101f x x x x =+-+;（2）见解析. 【解析】（1）()1'2f x a x b x=⋅++，切线为4120x y --=，即斜率()'14f =，纵坐标()18f =- 即()'124f a b =++=，()1118f b =++=-，解得10b =-，12a = 解析式()212ln 101f x x x x =+-+（2）()12'210f x x x =+- 221012x x x-+= ()()232x x x --=，定义域为()0,+∞ 得到()f x 在()0,2单增，在()2,3单减，在()3,+∞单增 极大值()12ln215f x =-，极小值()312ln320f =-. 【一隅三反】1．（2020·重庆高二期末）函数3()12f x x x =-的极小值点为___________．【答案】2【解析】因为3()12f x x x =-，所以()()2'()312322f x x x x =-=+-，令'()0f x =，得122,2x x ==-，所以当(),2x ∈-∞-时，()'0f x >，()f x 在(),2-∞-上单调递增；当()2,2x ∈-时，()'0fx <，()f x 在()2,2-上单调递减；当()2,x ∈+∞时，()'0fx >，()f x 在()2,+∞上单调递增；所以()f x 在2x =时取得极小值， 故填：2.2．（2020·广东云浮·高二期末）函数()22xf x x e -=⋅的极大值为__________．【答案】1e【解析】依题意得()()22224212xx x f x e xe e x ---'=-=-.所以当1,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．所以，函数()y f x =的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.所以当12x =时，函数()y f x =有极大值1e ． 故答案为：1e.3．（2020·四川内江·高二期末（文））已知函数()321312322f x x x x =-++. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线2y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值.【答案】（1）单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2，极大值为43，极小值为76；（2）12b =或4b =-. 【解析】（1）()321312322f x x x x =-++，定义域为R ，()232f x x x '=-+.令()0f x '>，解得1x <或2x >；令()0f x '<，解得12x <<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞和()2,+∞，单调递减区间为()1,2， 函数()y f x =的极大值为()413f =，极小值为726f ； （2）令()2322f x x x '=-+=，解得0x =或3x =，()102f =，()32f =， 所以，切点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭或()3,2，则有12b =或232b ⨯+=，解得12b =或4b =-.考点二 求最值点最值【例2】．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知函数f （x ）=x 2（x -1）． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）求f （x ）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．【答案】(1) ()f x 的递增区间为2(,0),(,)3-∞+∞，递减区间为2(0,)3． (2) ()f x 最大值()24f ==，()f x 最小值()12f =-=-．【解析】（1）∵()()2321f x x x x x =-=-，∴()232f x x x '=-．由()2320f x x x '=->，解得0x <或23x >； 由()2320f x x x '=-<，解得203x <<， 所以()f x 的递增区间为()2,0,,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭，递减区间为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）由（1）知0x =是()f x 的极大值点，23x =是()f x 的极小值点， 所以()f x 极大值()00f ==，()f x 极小值24327f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 又()12f -=-，()24f =，所以()f x 最大值()24f ==，()f x 最小值()12f =-=-． 【一隅三反】1．（2020·四川射洪中学高二期中（文））已知函数()325f x x ax bx ＝＋＋＋，曲线()y f x ＝在点()()11P f ，处的切线方程为31y x ＝＋. （1）求a b ，的值；（2）求()y f x ＝在[]3,1－上的最大值． 【答案】（1）2a ＝，4b ＝－；（2）13 【解析】(1)依题意可知点()()P 1f 1，为切点，代入切线方程y 31x ＝＋可得，()f 13114⨯＝＋＝， 所以()f 1154a b ＝＋＋＋＝，即b 2a ＋＝－， 又由()32f x 5x ax bx ＝＋＋＋，则()2f'x 32x b x a ＝＋＋， 而由切线y 31x ＝＋的斜率可知()f'13＝，∴32b 3a ++＝，即2b 0a +＝，由220a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=-⎩，∴a 2＝，b 4＝－．(2)由(1)知()32f x x 2x 4x 5＝－++，则()()()2f x 3x 4x 43x 2x 2+'+＝－＝－，令()f'x 0＝，得2x 3=或x 2＝－， 当x 变化时，()f x ，()f'x 的变化情况如下表：∴()f x 的极大值为()f 213－＝，极小值为295f 327⎛⎫=⎪⎝⎭， 又()f 38－＝，()f 14＝，所以函数()f x 在[]3,1－上的最大值为13． 2．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数32()3f x x ax x =--(a R ∈).（1）若(3)0f '=，求()f x 在[1,4]上的最小值和最大值； （2）若()f x 在[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最小值是18-，最大值是6-；（2）(,0]-∞.【解析】（1）2()323f x x ax '=--，由(3)0f '=得27630a --=，解得4a =，∴2()383f x x x '=--，令()0f x '=，即2383(31)(3)0x x x x --=+-=，解得13x =-或3x =，∴()f x 在[1,4]上的最小值是(3)18f =-，最大值是(1)6f =-；（2）由题意得：2()3230f x x ax =--≥'在区间[1,)+∞上恒成立，∴31()2a x x≤-，又当1≥x 时，31()()2g x x x=-是增函数，其最小值为(1)0g =，∴0a ≤，即实数a 的取值范围是(,0]-∞.3．（2020·山东中区·济南外国语学校高二月考）设函数()344f x ax x =-+过点()3,1P（1）求函数() f x 的单调区间和极值；（2）求函数() f x 在[1,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）增区间(,2)-∞-，(2,)+∞，减区间(2,2)-，极大值28(2)3f -=，极小值4(2)3f =-．（2）最大值233，最小值43-．【解析】（1）∵点()3,1P 在函数()f x 的图象上,∴()3271242781f a a =-+=-=,解得13a =,∴()31443f x x x =-+,∴()()()2'422f x x x x =-=+-,当2x <-或2x >时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当22x -<<时, 0f x,()f x 单调递减.∴当2x =-时, ()f x 有极大值,且极大值为()()128288433f -=⨯-++=,当2x =时, ()f x 有极小值,且极小值为()14288433f =⨯-+=- （2）由1可得:函数()f x 在区间[)1,2-上单调递减,在区间[]2,3上单调递增.∴()min f x ()423f ==-,又()12314433f -=-++=,()391241f =-+=,∴()max f x ()2313f =-= 考点三 已知极值及最值求参数【例3-1】（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（文））已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ． C ．(0,1) D ．(0，＋∞)【答案】B【解析】函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ），则f′（x ）=lnx ﹣ax+x （﹣a ）=lnx ﹣2ax+1， 令f′（x ）=lnx ﹣2ax+1=0得lnx=2ax ﹣1，函数f （x ）=x （lnx ﹣ax ）有两个极值点，等价于f′（x ）=lnx ﹣2ax+1有两个零点， 等价于函数y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图） 当a=时，直线y=2ax ﹣1与y=lnx 的图象相切，由图可知，当0＜a ＜时，y=lnx 与y=2ax ﹣1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是（0，）． 故选B ．【例3-2】（2020·山东高三月考）已知函数()x f x ae x =-．（1）求()f x 的极值；（2）求()f x 在[]0,1上的最大值． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ，()1x f x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在R 上是减函数，无极值； 当0a >时，令()0f x '>，解得ln x a >-，则()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， 所以当ln x a =-时，()f x 有极小值，()ln 1ln f a a -=+，无极大值，综上，当0a ≤时，()f x 无极值，当0a >时，()f x 有极小值1ln a +，无极大值； （2）①当0a ≤时，由（1）知()f x 在R 上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =；②当0a >时，由（1）知()f x 在(),ln a -∞-上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数， （i ）当ln 0a -≤，即1a ≥时，()f x 在[]0,1上是增函数， 所以当1x =时，()f x 有最大值()11f ae =-； （ii ）当0ln 1a <-<即11a e<<时，()f x 在[)0,ln a -上是减兩数，在[]ln ,1a -上是增函数. 若()()01f f ≥，即111a e e <≤-时，()f x 有最大值a ； 若()()01f f <，即111a e <<-时，()f x 有最大值1ae -； （ⅲ）当ln 1a -≥即10a e<≤时，()f x 在[]0,1上是减函数， 所以当0x =时，()f x 有最大值()0f a =， 综上所述，当11a e ≤-时，()f x 有最大值a ； 当11a e >-时，()f x 有最大值1ae -. 【一隅三反】1．（2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末）已知函数()ln f x x ax =-在2x =处取得极值，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．-2【答案】C【解析】()'1fx a x =-，依题意()'20f =，即110,22a a -==. 此时()()'112022x f x x x x-=-=>，所以()f x 在区间()0,2上递增，在区间()2,+∞上递减，所以()f x 在2x =处取得极大值，符合题意. 所以12a =. 故选：C2．（2020·山西应县一中高二期中（理））已知函数32()23f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在（-1，0）与（0，1）内，则2a -b 的取值范围是（ ） A ．()3,12-B ．33(,)22-C ．13(,)22-D ．3(1,)2【答案】B【解析】由函数f （x ）＝x 3+2ax 2+3bx +c ，求导f ′（x ）＝3x 2+4ax +3b ， f （x ）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内， 由3x 2+4ax +3b ＝0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即()()()'00'10'10f f f ⎧⎪-⎨⎪⎩＜＞＞，令z ＝2a ﹣b ， ∴转化为在约束条件为3034303430b a b a b ⎧⎪-+⎨⎪++⎩＜＞＞时，求z ＝2a ﹣b 的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z ＝2a ﹣b ，由图可知，z 在A （34，0）处取得最大值32，在（34-，0）处取得最小值32-， 因为可行域不包含边界，∴z ＝2a ﹣b 的取值范围（32-，32）．故选B ．3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））若函数()(1)ln 2(1)1xf x e m x m x =-+++-恰有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2(),e e -- B ．(,)2e-∞-C ．1(,)2-∞-D ．(,1)e -∞--【答案】D【解析】由题可得：()()1'21xm f x e m x+=-++，0x > 因为函数()()()1ln 211xf x e m x m x =-+++-恰有两个极值点，所以函数()()()1'210xm f x e m x x+=-++>有两个不同的零点.令()1210xm e m x +-++=，等价转化成()1012xxe m x x=+>-有两个不同的实数根， 记：()12xxe h x x =-，所以()()()()()()()()22'1212'211'1212x x x xe x xe x e x x h x x x ---+-==---， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，此时函数()h x 在此区间上递增， 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0h x >，此时函数()h x 在此区间上递增， 当()1,x ∈+∞时，()'0h x <，此时函数()h x 在此区间上递减，作出()12xxe h x x=-的简图如下：要使得112xxe m x=+-有两个不同的实数根，则()11h m >+，即：1e m ->+，整理得：1m e <--. 故选D4．（2020·江苏溧水·高二期中）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值．【答案】（Ⅰ）(0，12)，(1，＋∞) （Ⅱ）min 221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥【解析】（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x a x =-+，定义域为(0,)+∞．21231(21)(1)()23-+--'=-+==x x x x f x x x x x ．令()0f x '=，得1x =或12x =．列表如下所以函数()f x 的单调增区间为1(0,)2和(1,)+∞．（Ⅱ）22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x -++--=-++=='．令()0f x '=，得xa =或12x =．当1a ≤时，不论12a <还是112a <≤，在区间[1,]e 上，()f x 均为增函数．所以min [()](1)2f x f a ==-；当1a e <<时，所以min [()]()(ln 1)f x f a a a a ==--；当a e ≥时，所以min [()]()f x f e ==2(21)e a e a -++．综上，min 221[()]{(ln 1)1(21)a a f x a a a a e e a e a a e-≤=--<<-++≥．.5．（2020·邢台市第二中学高二期末）设函数()3xf x e ax =-+（a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上的最小值是4，求a 的值.【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）1e -【解析】（1）()xf x e a '=-. 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增；无极值当0a >时，()0f x '>，解得ln x a >，由()0f x '<，解得ln x a <.函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 的极小值为()ln ln 3f a a a a =-+，无极大值综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上无极值；当0a >时，()f x 的极小值为ln 3a a a -+，无极大值.（2）由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=，即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（1）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点.①当ln 1a ≤即0a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件.②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾. ③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增， 则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34a f a e a a =-+=，即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()ln 0h a a '=-<，∴()h a 在()2,e e 上单调递减，而()1h e =-，∴()h a 在()2,e e 上没有零点，即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解.综上，实数a 的值为1e -.。