高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题.doc
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与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值 1）
问题探究 8 实验成果 动态课件
已知椭圆 x 2 y 2 1 ， F1 为椭圆之左焦点，过点 F1 的直线交
椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为
常数 4 3 椭圆于 ， 两点，是否存在实常数 ，使 uuur uuur uuur 恒 1 1 2 A B AB FA ?FB |AF1| |BF1| ep
成立 . 并由此求∣ AB∣的最小值 . （借用柯西不等式） 备用课件
9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和
为常数 性质（定值 2） 1 1 2
| AF1 | | BF1 | ep 实验成果 动态课件
椭| 1 1 2 圆互相垂直的焦点| 弦倒数之和为常数
|AF1| |BF1| ep
1 1 2 e2
备用课件 2ep |AB| |CD |
备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和 为常数
1 1 2
| AF | | BF | ep 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常
数 备用课件 | 2 e2 | 1 1
|AB| |CD | 2ep
备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常 数
问题探究 9 1 1 2 e2 |AB| |CD | 2ep 已知椭圆 x2 y2 1 ， F1 为椭圆之左焦点，过点 F1 的直线
4 3 备用课件
l1, l2 分别交椭圆于 A，B 两点和 C，D两点，且 l1 l 2 ，是否存
uuur uuur uuur uuur 恒成立 . 并由此求四边形 在实常数 ，使 AB CD AB ?CD 面积的最小值和最
ABCD 大值 .
10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3）
实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦 AB的中垂线交长轴
于点 D，则∣ DF∣与∣ AB∣之比为 离心率的一半（ F 为焦点）
备用课件
设双曲线焦点弦 AB的中垂线交焦 点所在直线于点 D，则∣ DF∣与∣ AB∣之比为离心率的一半 （ F 为焦
点）
备用课件 设抛物线焦点弦 AB的中垂线与对 问题探究 10 称轴交于点 D，则∣ DF∣与
已知椭圆 x2 y2
∣ AB∣之比为离心率的一半 （ F 为
1， F1 为椭圆之左焦点，过点 F1 的直线交椭 焦点）
4 3
圆于 A， B 两点， AB 中垂线交 x 轴于点 D，是否存在实常数 ， 备用课件
uuuruuuur
使 AB F1D 恒成立？
11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 1 （中点共线）
实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的端点在相应准线上 的投影与端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段． 备用课件
双曲线的焦点弦的端点在相应准线 上投影与端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段． 备用课件 问题探究 11 已知椭圆 x2 y2 1 ， F1 为椭圆之左焦点， 过点 F1 的直线 l1 交
4 3
椭圆于 A，B 两点，直线 l 2 ： x 4 交 x 轴于点 G，点 A, B
在直
抛物线的焦点弦的端点在相应准线 上投影与端点的交叉连线与对称轴 的交点平分焦点与准线与对称轴的 交点线段． 备用课件
线 l2 上的射影分别是 N,M ，设直线 AM , BN 的交点为 D，是否存在实常数 ，使
uuur uuuur GD DF1 恒成立 .
12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质 2（三点共线）
实验成果 动态课件 椭圆焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、M，则 N、 C、 B三点共线， M、 C、 A三点共线
备用课件
双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、M，则
N、C、B 三点共线， M、C、A三点共
线
备用课件 抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 问题探究 12 D 连线与相应准线的交点 N、M，则
x2 y2 N、C、B 三点共线， M、C、A三点共
线（抛物线的 点在无穷远处） . 已知椭圆 1 ，F1 为椭圆之左焦点， 过点 F1 的 D 4 3
直线 l1 交椭圆于 A， B 两点， C , D 分别为椭圆的左、
备用课件
uuur uuur uuur uuur
右顶点，动点 P 满足 PA AD,PC CB ,
试探究
点 P的轨迹 . 13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点
弦性质 3（对焦点直张角） 实验成果 动态课件 椭圆焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、 M，则
NF1 MF
1
备用课件
双曲线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 D 连线与相应准线的交点 N、M，则
NF1 MF
1
备用课件 抛物线焦点弦端点 A、B 与另一顶点 问题探究 13 D 连线与相应准线的交点 N、M，则
已知双曲线 x 2 y 2 NF MF （抛物线的 D点在无穷
1， F1 为双曲线之左焦点，过
3 1 远处）
点 F1 的直线 l1 交双曲线于 A，B 两点， C , D 分别为双 曲线的左、右顶点，动点 P 满 足 备用课件 uuur uuur uuur uuur
点 Q PA 1 AD, PC
1CB,
动 满 足
uuur uuur uuur uuur
QA 2 AC,QB
2
BD,
试探究 PF1Q 是否为定
值.
14．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系
实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交点的轨 迹是准线
备用课件 本性质还可解释圆也有准线（在无穷远处） ， 因为当焦点逐步向中心靠拢时准线逐步外移
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线交点的 轨迹是准线
备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线交点的 问题探究 14 轨迹是准线
已知椭圆 x2 y2 1 ， F1 为椭圆之左焦点，过点 F1 的直线 备用课件
4 3
l1, l2 分别交椭圆于 A， B两点和 C，D两点，直线 l 2 ：
x 4
，
直线 AD交直线 l2 于点 P，试判断点 P、 C、 B 是否三点共线，
并证明之 .
15．椭圆、双曲线、抛物线的相交焦点弦与准线关系（角平 分线） 实验成果 动态课件 椭圆的任意两焦点弦端点所在直线交 点必在准线上且交点与焦点的连线平
分 AF2C
备用课件
双曲线的任意两焦点弦端点所在直线 交点必在准线上且交点和焦点的连线
平分 AF1C
备用课件 抛物线的任意两焦点弦端点所在直线 交点必在准线上且交点和焦点的连线 问题探究 15 平分 AF D
已知椭圆 x2 y2 1 ， F1 为椭圆之左焦点， 过点 F1 的直线 l1 ,l2 分别
4 3
交椭圆于 A， B 两点和 C，D两点，直线 l3 ： x 备用课件 4 ，直线 AD交直线
l3 于点 P，试证明
PF1APF1D
.
16．椭圆、双曲线、抛物线的相交弦与准线关系推广 实验成果 动态课件 过椭圆长轴上任意一点 N（ t,0）的两 条弦端点的直线的交点的轨迹是一定
直线 x a 2 t 备用课件
过双曲线实轴上任意一点 N（ t,0 ）的 两条弦端点的直线的交点的轨迹是一
定直线 x 备用课件
a 2
t
