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8函数模型及其应用

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8 函数模型及其应用 1．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( ) A．y＝100 x B．y＝50x2－50x＋100 2．某学校开展研究性学习活动，一名同学获得了下面的一组试验数据： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )

A．y＝2x－2 B．y＝12x C．y＝log2x D．y＝12(x2－1) 3．某商场的某款手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低14，则现在价格为2 560元的该款手机，两年后价格可降为( ) A．1 440元 B．900元 C．1 040元 D．810元 4．已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂去年产量的月平均增长率是________． 5．如果本金为a，每期利率为r，按复利计算，本利和为y，则存x期后，y与x之间的函数关系是____________________________． 6．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，n年后这批设备的价值为________万元． 7．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，则该气体通过半径为r的管道时，其流量速度R的解析式为________． 8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3

超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为________m3. 9．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点． (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x的范围． 10.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)?

11．为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)

满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k的值及f(x)的表达式． 12．小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：

x/月 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11.00 21.30 … 小明选择了模型y＝x12，他的同学却认为模型y＝2x3更合适． (1)你认为谁选择的模型较好？并简单说明理由． (2)试用你认为较好的函数模型来分析，大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元？ (参考数据lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 13．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2017年的湖水量为m，从2017年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )

A．y＝0.9x50 B．y＝(1－0.1x50)m C．y＝0.9x50m D．y＝(1－0.150x)m 14．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)

＝cx，x＜A，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( ) A．75，25 B．75，16 C．60，25 D．60，16 15．有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后五年内，木材年增长率为20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长率为10%，现有两种砍伐方案： 甲方案，栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐； 乙方案，栽植五年后砍伐重栽，过五年再砍伐一次． 则十年后，________方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本，只按成材的树木计算)． 16．某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)． (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式[注：收益＝实际电量×(实际电价－成本价)]； (2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 17．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg I10－12给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)平时常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级； (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少； (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？ 18．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，

药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

参考答案 1． 解析：将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应． 答案：C 2． 解析：代入点(2，1.5)，(5，12)检验知选D. 答案：D 3．

解析：两年后的价格为2 560×

1－

1

4

4

＝810(元)．

答案：D 4． 解析：设1月份的产量为a，则12月份的产量为7a，

所以a·(1＋x)11＝7a，解得x＝117－1.

答案：117－1 5． 解析：1期后y＝a＋ar＝a(1＋r)； 2期后y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； …… 归纳可得x期后y＝a(1＋r)x

.

答案：y＝a(1＋r)x 6． 解析：1年后价值为：a－ab%＝a(1－b%)，2年后价值为：a(1－b%)－a(1－b%)·b%＝a(1－b%)2， 所以n年后价值为：a(1－b%)n

.

答案：a(1－b%)n 7． 解析：由题意可设R＝kr4(k＞0)，

由r＝3，R＝400，可得k＝Rr＝40081， 则流量速率R的解析式为： R＝40081r4. 答案：R＝40081r4 8． 解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则

y＝

3x，0

36＋（x－12）×6，1236＋36＋（x－18）×9，x＞18，

即y＝3x，018. 所以48＝6x－36.所以x＝14. 答案：14 9． 解：(1)y＝120×m·[1＋(2x)%]×(8%－x%)＝－0.024m(x2＋42x－

400)(0(2)由题可知，－0.024m(x2＋42x－400)≥120×m·8%×78%， 即x2＋42x－88≤0，(x＋44)(x－2)≤0， 解得－44≤x≤2.又因为010.

解：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5，2.5)，点C的坐标为(10，0)， 所以设抛物线的解析式为y＝a(x－5)2＋2.5.① 把(10，0)代入①得0＝a(10－5)2＋2.5， 解得a＝－110，y＝－110(x－5)2＋2.5. 当y＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x－5)2＋2.5， 即(x－5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2. 显然，x2＝2不符合题意，舍去，所以x＝8. OC－x＝10－8＝2. 故汽车应离开右壁至少2 m才不至于碰到隧道顶部． 11． 解：设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝k3x＋5，

再由C(0)＝8得k＝40， 因此C(x)＝403x＋5，而建造费为6x，

故f(x)＝20×C(x)＋6x＝8003x＋5＋6x(0≤x≤10)． 12． 解：(1)根据表格提供的数据，画出散点图，并画出函数y＝x12及y＝2x3的图

象，如图所示．观察发现，这些点基本上落在函数y＝2x3的图象上或附近，因此用函数模型y＝2x3较好．

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函数模型及其应用

函数模型及其应用

函数模型及其应用‖知识梳理‖1．几种常见的函数模型| 微点提醒|1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×)(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√)(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.(×)‖自主测评‖1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A.一次函数模型 C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >1005．(教材改编题)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元) 答案：1 024…………考点一 函数模型的选择…………………|自主练透型|……………|典题练全|1．下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计表.投入资金x (万元) 1 2 3 4 5 6 收益y (万元)0.40.81.63.16.212.3A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ·b xC ．y ＝ax 2＋bx ＋cD ．y ＝b log a x ＋c解析：选B 画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.2．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x (岁)与身高y (米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )A ．y ＝ax ＋bB ．y ＝a ＋log b xC ．y ＝a ·b xD ．y ＝ax 2＋b解析：选B 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y ＝a ＋log b x ，故选B.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )的影响。

函数模型及其应用(1)_韦余玲

函数模型及其应用(1)_韦余玲

3.4.2函数模型及其应用（1）教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C (万元)、单位成本P (万元)、销售收入R (元)以及利润L (万元)关于总产量x 台的函数关系式．例2 大气温度y (℃)随着离开地面的高度x (km)增大而降低，到上空11 km 为止，大约每上升1 km ，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y 与x 的函数关系式；（2）x ＝3.5 km 以及x ＝12km 处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度． 四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数是C (x )＝200＋10x ＋0.5x 2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．2．有m 部同样的机器一起工作，需要m 小时完成一项任务．设由x 部机 器（x 为不大于m 的正整数）完成同一任务，求所需时间y (小时)与机器的 部数x 的函数关系式．3．A ，B 两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A 到B ，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A ，则汽车离开A 地的距离x 与时间t的函数关系式为．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P100－练习1，2，3．。

函数模型及其应用

函数模型及其应用

函数模型及其应用教学目标：了解指数函数、对数函数、幂函数、简单分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用；2010年考试说明B.基础训练：1.已知函数b ax x f +=)(，且7)3(=f ，1)5(-=f ，则)0(f =________，)1(f =__________2.直线a x =和函数12+=x y 的图像的公共点可能________个3.若函数262+-=x mx y 的图像与x 轴只有一个公共点，则m =______4.若方程03)3(42=-+-k x x 没有实数根，则k 的取值范围____________5.用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积S )(2cm 表示为矩形一边长)(cm x 的函数解析式为______________6. 画出下列函数的图像。

（1）2||1x x y ++= ； （2）||2x x y -=； （3）|3|)(+=x x f典型例题：某市出租汽车收费标准如下：在3km 以内（含3km ）路程按起步价7元收费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费，试写出收费额关于路程的函数解析式。

某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可买出100个，若这种商品的销售价每个上涨一元，则销售量就减少10个（1）求销售价为13元时每天的销售利润；（2）如果销售利润为360元，那么销售价上涨了几元？课堂检测：1.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价为120元/m 2和80元/m 2 ,求造价y(元)关于地面一边长x(m)的函数解析式，并指出函数的定义域。

2.销售甲、乙两种商品所得的利润分别是P （万元）和Q （万元），它们与投入资金t （万元）的关系有经验公式P=51t ，Q=53t 。

今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x （万元），试建立总利润y （万元）关于x 的函数表达式。

第7讲 函数模型及其应用

第7讲 函数模型及其应用

普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座7）—函数模型及其应用一．课标要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二．命题走向函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2007年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

三．要点精讲1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.这些步骤用框图表示：2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。