2021-2022学年辽宁省沈阳市五校协作体高一下学期期中数学试题一、单选题1．()sin 600tan240-︒+︒=（ ）A ．BC ．12D ．12-【答案】B【分析】根据已知条件，利用诱导公式化简即可求解. 【详解】解：()()()sin 600tan 240sin 2360120tan 18060-︒+︒=-⨯+︒+︒︒+︒sin120tan 60=︒+︒=+=， 故选：B.2．已知平面向量,a b ，满足()25a a b ⋅-=，且2,3a b ==，则向量a 与向量b 的夹角余弦值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．12D ．-12【答案】C【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出．【详解】平面向量,a b ，满足()25a a b ⋅-=，且2,3a b ==， ∴252cos ,a a b a b =-<>，解得25221cos ,232a b -⨯<>==-⨯.故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题.3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，c =，30A =︒，则角C 为（ ） A ．60° B ．60°或120° C ．45° D ．45°或135°【答案】B【分析】利用正弦定理进行转化求解即可．【详解】解：由正弦定理得sin sin a c A C =得212=sin C =c a >，C A ∴>，得60C =︒或120︒， 故选：B ．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理进行求解是解决本题的关键．比较基础．4．要得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度【答案】C【分析】先将函数()f x 的化为正弦型函数，在将函数()f x 的解析式表示为()()sin 23f x x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，并结合ϕ的符号与绝对值确定平移的方向与长度．【详解】由诱导公式可得()cos 2sin 2sin 232343f x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，只需在将函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度，即可得到函数()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】在考查两个三角函数平移的过程中，需注意以下两个问题； ①两个函数的名称一定要一致；②左右平移法则中的“左加右减”指的是在自变量x 上变化了多少．5．已知1sin()33πα-=，则sin(2)6πα-=A ．79B ．79-C ．79±D ．29-【答案】B【分析】由题意，利用诱导公式和二倍角的余弦函数公式，即可计算得到答案．【详解】因为1sin()cos[()]cos()32363ππππααα-=--=+=，∴217sin(2)cos[(2)]cos[2()]2cos ()1216266699πππππαααα-=--=+=+-=⨯-=-，故选B ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中熟记三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式的合理运用是解答的关键，着重考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6．已知)1tan10sin100cos100,cos 44cos 78cos 46cos12,1tan10M N P -︒=︒-︒=︒︒+︒︒=+︒，()()11tan 221tan 232Q =+︒+︒，那么M ，N ，P ，Q 之间的大小顺序是（ ） A ．M N P Q <<< B ．P Q M N <<< C ．N M Q Р<<< D ．Q P N M <<<【答案】B【分析】由辅助角公式可得()10045451M =︒-︒=︒>︒=，逆用两角和的正弦公式可得()4412N M =︒+︒=︒>︒=，逆用两角差的正切公式可得()tan 4510tan35tan 451P =︒-︒=︒<︒=，利用两角和正切公式的变形可得()11tan 22tan 23tan 22tan 2312Q =+︒+︒+︒︒=，从而即可求解. 【详解】解：()sin100cos100sin100cos10010045M =︒-︒=︒-︒=︒-︒⎭55451=︒>︒=，))cos44cos78cos46cos12cos44sin12sin 44cos12N =︒︒+︒︒=︒︒+︒︒ ()4412M =︒+︒=︒>︒=， ()1tan10tan 45tan10tan 4510tan 35tan 4511tan101tan 45tan10P -︒︒-︒===︒-︒=︒<︒=+︒+︒︒，又()tan 22tan tan 11232223tan 22tan 23︒+︒-+︒=︒︒=︒，即tan 22tan 23tan 22tan 231︒+︒+︒︒=，所以()()()111tan 221tan 231tan 22tan 23tan 22tan 23122Q =+︒+︒=+︒+︒+︒︒=， 所以N M Q P >>>， 故选：B.7．若关于x 的方程22sin 210x x m +-=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等实根，则实数m的取值范围是（ ）A ．(B ．[]0,2C ．[)1,2D ．⎡⎣【答案】C【分析】先化简三角函数为2sin 26y x m π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再由x 的范围，得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域，由此得到m 的取值范围.【详解】22sin 3sin 21cos 23sin 22sin 2=06x x m x x m x m π⎛⎫-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，方程22sin 3sin 210x x m -+-=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等实根，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与y m =的图象有两个交点，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2sin 21,26y x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，要使方程22sin 3sin 210x x m -+-=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个不等实根，如下图，即则12m ≤<.故选：C.8．将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到函数()g x 的图象，若1x ,2x 使得()()121f x g x =-，且12x x -的最小值为6π，则ϕ=（ ）． A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 【答案】D【分析】由三角函数平移变换可得()g x ，可确定()()1211f x g x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f xg x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩；在()()1211f xg x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩时，可求得12,x x 的取值，由12min 6x x π-=可构造方程求得ϕ的值. 【详解】()()cos 223g x f x x πϕϕ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，()[]1,1f x ∈-，()[]1,1g x ∈-，∴若1x ,2x 使得()()121f x g x =-，则()()1211f x g x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或()()1211f x g x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，不妨设()11f x =，()21g x =-，则()111223x k k Z ππ-=∈，()2222223x k k Z πϕππ+-=+∈，解得：()1116x k k Z ππ=+∈，()22223x k k Z πϕπ=-+∈， ()()121212,2x x k k k k Z πϕπ∴-=-++-∈，12min 6x x π-=，即()()1212min,26k k k k Z ππϕπ-++-=∈，又02πϕ<<，∴当120k k -=时，226πππϕϕ-+=-=，解得：3πϕ=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数知识的综合应用，解题关键是能够通过函数值域确定12,x x 分别对应()(),f x g x 的最大值和最小值点，从而利用整体对应的方式构造方程确定12x x -的值. 二、多选题9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(A ，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω)的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．(0)3f =B ．在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于5(,0)6π中心对称 D ．将()f x 的图象向左平移12π个单位，所得到的函数是偶函数【答案】ACD【分析】根据函数()f x 的部分图象求出函数解析式，然后根据正弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：由图可知2A =，33273441264T ππππω⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，解得2ω=， 由五点作图法可得206πϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，即3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，对A ：(0)2sin33f π==A 正确；对B ：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，所以22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，而2sin y x =在2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,23上单调递增，所以()2sin(2)3f x x π=+在5,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项B 错误； 对C ：因为55()2sin(2)0663f πππ=⨯+=，所以()f x 的图象关于5(,0)6π中心对称，故选项C 正确；对D ：将()f x 的图象向左平移12π个单位，所得到的函数是2sin 22sin 22cos 21()232x x g x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()()cos 2cos2()g x x x g x -=-==，所以()g x 为偶函数，故选项D 正确.故选：ACD.10．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．α∀∈R ，sin cos 1αα+>-； B ．0α∃∈R ，003sin cos 2αα+=；C ．α∀∈R ，1sin cos 2αα≤； D ．0α∃∈R ，003sin cos 4αα=【答案】CD【解析】求出sin cos αα+、sin cos αα的值域后可得正确的选项.【详解】因为sin cos 2sin 2,24πααα⎛⎫⎡⎤+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，故A ，B 错误. 因为111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，故CD 正确.故选：CD.【点睛】本题考查二倍角的正弦、辅助角公式，注意利用三角变换公式把三角函数式整合成正弦型函数（或余弦型函数）的形式，从而可利用复合函数的方法来研究它们的性质，本题属于基础题.11．如图，在矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，若P 为折线段DEC 上的动点，则AP BP ⋅的可能取值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．12-【答案】AD【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出数量积，再根据二次函数的性质求出AP BP ⋅的取值范围，即可得解；【详解】解：以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示平面直角坐标系：则()0,1A ，()2,1B ，()2,0C ，()1,1E ， 当P 在DE 上时，设(),P a a ，(01)a ， 则(),1AP a a =-，()2,1BP a a =--，所以222(2)(1)2412(1)1AP BP a a a a a a ⋅=-+-=-+=--，因为01a ，所以[]22(1)11,1a --∈-，即[]1,1AP BP ⋅∈-．当P 在EC 上时，设(),2P a a -，(12)a ， 则(),1AP a a =-，()2,1BP a a =--，所以222(2)(1)2412(1)1AP BP a a a a a a ⋅=-+-=-+=--，因为12a ，所以[]22(1)11,1a --∈-，即[]1,1AP BP ⋅∈-． 故选：AD12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知O 为ABC 的外心，8,5b c ==，ABC 的面积S 满足()224,3b c a S AO AB AC λμ+-==+，则下列结论正确的是（）A．S=B．AO=C．392AO BC⋅=D．71120λμ+=【答案】ACD【分析】cos1A A-=，利用两角差的正弦公式可得1sin()62Aπ-=，根据A为三角形的内角可得3Aπ=.再根据三角形的面积公式可求出三角形面积，知A正确；利用余弦定理求出a，再根据正弦定理可求出73 ||3 AO=知B不正确；根据O为三角形的外心可求出AO AB⋅和AO AC⋅，由此可求出AO BC AO AC AO AB ⋅=⋅-⋅392=，知C正确；将=AO AB ACλμ+两边分别同时乘以AB和AC，得到两个方程，解方程组可得2151124λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，知D正确.【详解】由22()b c a+-=得22212sin2b c a bc bc A+-+=，得22212b c aAbc+--，得cos1AA=-cos1A A-=，得1sin()62Aπ-=，因为0Aπ<<，所以5666Aπππ-<-<，所以66Aππ-=，所以3Aπ=，所以11sin8522S bc A==⨯⨯=A正确；由余弦定理得22212cos6425285492a b c bc A=+-=+-⨯⨯⨯=，所以7a=，所以2||sinaAOA==，所以73||3AO=B不正确；因为=AO AB ACλμ+，所以AO AB⋅||||cosAO AB OAB=⋅⋅∠1||2||||||ABAB AOAO=⋅⋅221125||222AB c===，||||cosAO AC AO AC OAC⋅=⋅∠1||2|||||ACAO ACAO=⋅⋅2211||3222AC b===，所以()AO BC AO AC AB AO AC AO AB⋅=⋅-=⋅-⋅25393222=-=，故C正确；又AO AB AB AB AB ACλμ⋅=⋅+⋅，所以251258522λμ=+⨯⨯，即2525202λμ+=，AO AC AB AC AC AC λμ⋅=⋅+⋅，所以13258642λμ=⨯⨯+，所以206432λμ+=，联立2525202206432λμλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2151124λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以211711524120λμ+=+=，故D 正确.故选：ACD 三、填空题13．若1sin cos ,05αααπ+=<<，则sin 2cos2αα+=___________. 【答案】3125-【分析】将1sin cos 5αα+=两边同时平方可得242sin cos 025αα=-<，进而可得sin 0,cos 0αα><，7sin cos 5αα-==，联立方程可得43sin ,cos 55αα==-，从而根据二倍角公式即可求解.【详解】解：因为1sin cos 5αα+=①，所以两边同时平方得221sin 2sin cos cos 25αααα++=，即242sin cos 025αα=-<，因为0απ<<，所以2απ<<π， 所以sin 0,cos 0αα><，所以7sin cos 5αα-==②， 联立①②可得43sin ,cos 55αα==-，所以2231sin 2cos 22sin cos cos sin 25αααααα+=+-=-， 故答案为：3125-. 14．在函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像对称中心中，与原点O 最近的为点M ，定点()1,1P ，则OP 在OM 上投影的数量是___________. 【答案】1-【分析】由正切函数的性质可得函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像对称中心为,0,23k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，进而可得,06M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而利用向量数量积的几何意义即可求解OP 在OM上投影的数量为cos ,OM OM OMOP OP OP ⋅=.【详解】解：由题意，令,32k x k Z ππ-=∈，可得,23k x k Z ππ=+∈， 所以函数tan 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像对称中心为,0,23k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭， 所以与原点O 最近的为点,06M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以,06OM π⎝=⎛⎫- ⎪⎭，()1,1OP =，所以OP 在OM 上投影的数量为1016cos ,16OP OP OP OP OP OM OM OM OMP O O Mππ-⨯+⨯⋅⋅=⋅===-，故答案为：1-.15．设ABC ∆的内角A ∠、B 、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，且满足3cos cos 5a B b A c -=.则tan tan AB=______. 【答案】4【详解】解法1 有题设及余弦定理得2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅= 22235a b c ⇒-=.故222222tan sin cos 2tan sin cos 2c a b a A A B ca b c a B B A b bc +-⋅⋅==+-⋅⋅2222224c a b c b a +-==+-. 解法2 如图4，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D .则cos a B DB =，cos b A AD =.由题设得35DB AD c -=.又DB DA c +=，联立解得15AD c =，45DB c =.故tan 4tan CDA DB AD CD B AD DB===.解法3 由射影定理得cos cos a B b A c +=. 又3cos cos 5a Bb Ac -=，与上式联立解得4cos 5a B c =，1cos 5b A c =.故tan sin cos cos 4tan sin cos cos A A B a B B B A b A⋅===⋅. 16．若函数()()24sin sin cos 21024x f x x x ωπωωω⎛⎫=++->⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有且仅有一个最大值点，则ω的取值范围是___________. 【答案】90,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据降幂公式及二倍角余弦公式化简函数解析式为()2sin (0)f x x ωω=>，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解. 【详解】解：函数21cos 2()4sin sin cos 214sin cos 21242x x f x x x x x πωωπωωωω⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=+- ⎪⎝⎭ 221sin 4sin cos 212sin 2sin 12sin 12sin (0)2xx x x x x x ωωωωωωωω+=+-=++--=>，因为()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有且仅有一个最大值，且33ππ-=，0>ω，所以343T π>，即3243ππω⨯>，解得902ω<<， 所以ω的取值范围是90,2⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：90,2⎛⎫⎪⎝⎭.四、解答题17．已知()()tan ,1,1,2a b θ=-=-，其中θ为锐角，若a b +与a b -夹角为90°， (1)求()()3sin sin 23sin 2sin 2ππθθπθπθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值(2)求1cos 2sin 2cos 2θθθ-+的值【答案】(1)17(2)8【分析】（1）依题意可得()()0a b a b +⋅-=，即可得到a b =，从而求出tan θ，再利用诱导公式将式子化简，最后利用同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】(1)解：因为a b +与a b -夹角为90︒，所以()()0a b a b +⋅-=，即220a b -=，即220a b -=，即a b =，又()tan ,1a θ=-，()1,2b =-，即()()2222tan 112θ+-=+-，所以tan 2θ=±，又θ为锐角，所以tan 2θ=， 所以()()3sin sin 23sin 2sin 2ππθθπθπθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭sin cos 3cos 2sin θθθθ-=+tan 121132tan 3227θθ--===++⨯(2)解：1cos 2sin 2cos 2θθθ-+()222112sin 2sin cos cos sin θθθθθ--=+-2222sin 2sin cos cos sin θθθθθ=+- 222tan 2tan 1tan θθθ=+- 222282212⨯==⨯+- 18．在①222cos sin sin sin cos C B C B A +=+②22cos b a C c =+这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在ABC 中，角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，___________. (1)求角A ﹔(2)若10a =，ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】(1)3π(2)24【分析】（1）如选择①，根据平方关系得到222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，再由正弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得．选择②，由正弦定理将边化角，再利用诱导公式、和差公式即可得出．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc 的值，进而根据余弦定理可求b c +的值，进而可求ABC 的周长．【详解】(1)解：若选择①，由222cos sin sin sin cos C B C B A +=+， 得2221sin sin sin sin 1sin C B C B A -+=+-， 即222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理得222b c a bc +-=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,)A π∈， 所以3A π=．若选择②，因为22cos b a C c =+，由正弦定理可得2sin 2sin cos sin B A C C =+， 又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+，则2sin()2(sin cos cos sin )2sin cos sin A C A C A C A C C +=+=+， 所以2cos sin sin A C C =． 由于(0,)C π∈，sin 0C ≠， 所以1cos 2A =，(0,)A π∈， 故3A π=．(2)因为3A π=，10a =，ABC 的面积为11sin 22bc A bc =⨯， 所以32bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2222100()3()332b c bc b c bc b c =+-=+-=+-⨯， 解得14b c +=，所以ABC 的周长101424a b c ++=+=．19．函数()2cos sin 3f x x x π=+⎫⎪⎭⎛⎝(1)求函数()f x 的单调增区间；(2)若锐角ABC 的三个角为A ，B ，C ，其中12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f A 的取值范围.【答案】(1)5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用两角和的正弦公式及降幂公式化简函数解析式为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解不等式222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即可得答案；（2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得6B π=，进而由ABC 为锐角三角形，可得32A ππ<<，从而利用正弦型函数的图象与性质即可求解()f A 的取值范围. 【详解】(1)解：函数()31332cos sin 2cos sin cos 32222f x x x x x x π⎛⎫=+-=+ ⎛⎫ ⎪⎝-⎪ ⎪⎝⎭⎭13sin 2cos 2sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)解：因为12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，所以02B π<<，所以5336B πππ<+<， 所以32B ππ+=，即6B π=，因为025062A C A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，所以32A ππ<<，所以4233A πππ<+<所以3sin 2023A π⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭， 所以()sin 23f A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的取值范围为3,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 20．如图，在ABC 中，已知1,2,60.CA CB ACB ==∠=(1)求B ；(2)已知点D 是AB 上一点，满足,AD AB λ=点E 是边CB 上一点，满足BE BC λ=，是否存在非零实数λ，使得AE CD ⊥？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)30； (2)存在，23λ=. 【分析】（1）根据给定条件，结合向量数量积求出||AB ，再求出夹角B 作答. （2）假定存在满足条件的实数λ，利用向量的线性运算、数量积运算求解作答.【详解】(1)在ABC 中，AB CB CA =-，·21cos601CB CA =⨯⨯︒=， 则()222222221213AB CB CACB CA CB CA =-=+-⋅=+-⨯=，显然有222||||4||AB AC BC +==，于是得90BAC ∠=，9030B ACB =-∠=， 所以30B =.(2)假设存在非零实数λ，使得AE CD ⊥，由AD AB λ=，得()AD CB CA λ=-， 则()()1CD CA AD CA CB CA CB CA λλλ=+=+-=+-，又BE BC λ=，则()()()1AE AB BE CB CA CB CB CA λλ=+=-+-=--， 于是得()()2221(1)1AE CD CB CB CA CB CA CA λλλλλ⋅=--⋅+-⋅--()()2241(1)1320λλλλλλλ=--+---=-+=，而0λ≠，解得23λ=， 所以存在非零实数23λ=，使得AE CD ⊥. 21．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设COB θ∠=．（1）现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若3COD π∠=，则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC ，CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总长l 最长，并求l 的最大值（单位：百米）． 【答案】（1）当3πθ=时，郁金香种植面积最大；（1）当3πθ=为时，栈道的总长l 最长，l 的最大值为6百米.【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD 关于θ的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值；(2)利用余弦定理求得,BC DA 关于θ的三角函数，相加可求出l 关于θ的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.【详解】解：(1)∵线段AB 长为4百米，所以圆的半径为2百米，即2OA OB OC OD ====, 当3COD π∠=时，由三角形的面积公式得：ABCD BOCCODDOAS S SS=++2221112sin 2sin 2sin 22323⎛⎫=⨯+⨯+⨯-- ⎪⎝⎭πθππθ6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θπ，203θπ∴<<，则5666ππθπ<+<，sin 16πθ⎛⎫∴+≤ ⎪⎝⎭，当62ππθ+=，即3πθ=时取等号，∴当3πθ=时，6⎛⎫+ ⎪⎝⎭πθ ∴当3πθ=时，郁金香种植面积最大；(2)由余弦定理得：4sin 2BC ==θ，4cos DA θ，8sin4cos 022l ⎛⎫∴=+<< ⎪⎝⎭θπθθ， 令sin2t θ=，∵024θπ<<，∴0t <<()2228sin412sin 2284121862l t t t ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭=+-⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭θθ，12t ∴=，即3πθ=时，l 的最大值为6. 故当3πθ=为时，栈道的总长l 最长，l 的最大值为6百米.22．已知向量()()3cos ,cos ,sin ,c s (o )a x x b x x R ωωωωω=-=∈，若函数()12f x a b =⋅+的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. (1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的不等式22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在,84ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2),⎛-∞ ⎝⎦【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式可得()sin 26f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f x 的最小正周期为π，可得1ω=±，又()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而即可求解；（2）令sin 2cos 224t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，(]0,1t ∈，则原不等式在,84x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，可化为()222250a t t a ---≥在(]0,1t ∈上恒成立，即2221t a t -≤+在(]0,1t ∈上恒成立，利用均值不等式求出(]20,2211,ty t t -=+∈的最小值即可得答案. 【详解】(1)解：因为向量()()3cos ,cos ,sin ,c s (o )a x x b x x R ωωωωω=-=∈，所以()2111cos 21cos cos 22222x f x a b x x x x ωωωωω+=⋅+=-+=-+12cos 2sin 226x x x πωωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 因为2|2|T ππω==，所以1ω=±， 当1ω=时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 此时()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 符合题意，当1ω=-时，()sin 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，不符合题意，综上，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)解：由（1）可知sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x +=++=+，222(sin 2cos 2)sin 22sin 2cos 2cos 212sin 2cos 2x x x x x x x x -=-+=-，所以222(sin 2cos 2)12sin 2cos 211(sin 2cos 2)2(sin 2cos 2)x x x x x x x x ⎡⎤+=+=+--=--⎣⎦，令sin 2cos 224t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为,84x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]0,1t ∈，所以不等式22cos 22cos 2501212a fx x f x x a ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-+--≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在,84x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，可化为()222250a t t a ---≥在(]0,1t ∈上恒成立，即2221ta t -≤+在(]0,1t ∈上恒成立， 令(]20,2211,ty t t -=+∈，则221221212t y t t t -==-⋅≥-=++t =所以a ≤所以实数a 的取值范围为,⎛-∞ ⎝⎦.。
