向量分为6个部分:(1)向量的概念（2）向量的运算（3）向量的定理（4）平行于垂直（5）夹角问题（6）距离问题 一：向量的概念
1：空间向量：在空间中研究既有大小又有方向的量 表示法→
→
AB a ,表示以A 为向量的起点，B 表示向量的终点。 2：自由向量：向量与向量的起点无关 3：向量的长度也叫向量的模：→
→a AB ,
4：向量的夹角：过空间任一点作向量→
→b a ,的相等向量→
→
OB OA ,,则角
AOB ∠叫做向量→
→b a ,的夹角，记做→
→b
a ,，规定1,0≤≤→
→b a
当2
,π
=→
→b a 时，向量→→b a ,垂直，记做→
→
⊥b a
当0,=→→b a 或π时，向量→→b a ,平行，记做→
→b a 5：方向向量及法向量
与l 平行的向量叫做方向向量；与l 垂直的向量叫做法向量
6：单位向量：对于任意一个非零向量→
a ，把
→
→
a
a 叫做向量→
a 的单位向
量
二：向量的运算
1：加减法：平行四边形法则 （1）结合律（a+b ）+c=a+(b+c) （2）交换律 a+b=b+a
2:数乘：（1）→
→=a a λλ当λ>0时同向，当λ<0是反向
)())(4(;)(,)()3(;)2(→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=++=+=a a a a a b a b a a a μλλμμλμλλλλλλ
定理：空间两个向量→→b a ,共线的充要条件是存在实数λ，使得→
→=b a λ 3：数量积：空间两个向量→→b a ,的数量积是一个数，等于→
→→→b a b a ,cos 记做→
→⋅b a
空间向量依然满足（1）交换律→
→→
→⋅=⋅a b b a （2）分配律：→
→→→→→→
⋅+⋅=⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅c a b a c b a
（3）→
→→→=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅b a b a )(λλ
→
→
→
→→
→→→→→→→→
⋅⋅=
=⋅⇔⊥⋅=b
a b
a b a b a b a a a a ,cos ;0;（→
→→→≠≠0,0b a ）
三：空间向量的标准正交分解与坐标表示
1：→
→
→
→
++=k z j y i x a （其中→
→→k j i ,,分别是x ，y ，z 轴正方向是的单位长度）
→→→→
++=k z j y i x a 叫做向量a 的标准正交分解，→
→→k j i ,,叫做标准正交基
空间向量→
a 的坐标表示为),,(z y x
向量→
a 在向量→
b 上的投影为：→→→→→=⋅00,cos b a a b a 其中→
0b 为单位向量: 2：空间向量基本定理：如果向量→
→→321,,e e e 是空间三个不公面的向量，→
a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数321,,λλλ使得
→→→→
++=332211e e e a λλλ其中→
→→321,,e e e 叫做这个空间的一个基底
3：空间向量的运算
(1)加减),,(212121z z y y x x b a +++=+→
→
；),,(212121z z y y x x b a ---=-→
→
(2)数乘：),,(111z y x a λλλλ=→
(3)数量积：212121z z y y x x b a ++=⋅→
→ (4)空间向量长度及夹角的表示
22
22
22
21
21
21
21212121
212
1,cos ;z
y x z y x z z y y x x b a z y x a a a ++⋅++++=
++=⋅=→
→→
→→
四：垂直于平行
1：线面垂直的判定定理：若一条直线垂直一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直
2：面面平行的判定定理：若平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
3：三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直
五：空间两点的距离公式：221221212)()()(z z y y x x d -+-+-=
六：（1）利用法向量求点到面的距离定理：设→
n 是平面α的法向量，
AB 是平面α的一条射线，其中，α∈A ，则点B 到平面α的距离为
→
→
→
⋅n
n
AB
（2）利用法向量求二面角的平面角定理
