奇妙的组合之奎伯的宠物

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奇妙的组合之奎伯的宠物
a.又是奎伯教授。
奎伯教授:我给你再出一个难题。假如在我所有的宠物中,
除了两只以外都是狗,除了两只以外都是猫,除了两只以外
都是鹦鹉,那我有多少宠物。
b.你算出来了吗?
c.奎伯教授恰好有3只宠物:一条狗,一只猫和一只鹦鹉。
“全部”即是一
这个混淆的小问题可以用心算来解决,只要你认识到“全
部”这个词也可以只是一个动物,最简单的情况——一条
狗、一只猫、一只鹦鹉——就给出了答案。但是,这是把问
题用代数式解决的一个很好的练习。
用x,y和z代表狗、猫和鹦鹉的数量,n表示全部动物的数
量,我们可以写出四个联立方程式:
n=x+2
n=y+2
n=z+2
n=x+y+z
这些方程可用任何标准解法来解,从前三个方程中得到
x=y=z,从n=x+2和n=3x(从第四个方程中得到)我们可以写
出x+2=3x,它给出x的值是1,从x的值随后就可以得到全
部的答案。
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由于动物的数量是正整数,我们可以把奎伯的宠物问题认为
是对所谓丢番图问题的简单检验,这是一个必须用整数求解
的代数方程问题。丢番图问题可以无解、一个解、有限解和
无限解。这是一个难度较小的丢番图问题,涉及三种不同动
物的联立方程式。
1头奶牛值10美元,1头猪值3美元,1头羊值50美分。一
个农夫要买100头牲畜,每种至少买1头,总共花100美元,
每种牲畜各买多少?
用x表示奶牛数,y表示猪数,z表示羊数,我们可以写两
个方程:
10x+3y+z/2=100
x+y+z=100
在第一个方程中各项都乘以2消去分式,然后再减去第二个
方程,这就消去了z,得到:
19x+5y=100
x和y应是什么整数值?求解的途径是安排方程左边的最小系
数:5y=100-19x两边用5除:y=(100-19x)/5现把100和19x
用5除,把5的余项放后边形成未尾的分式,结果是:
y=20-3x-4x/5

显然,表达式4x/5一定是整数,这意味着x必须是5的倍
数,5的最小倍数是5自身,这给出y的值是1(代回两个原
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方程式),得z的值为94,如x取大于5的倍数,y就是负
值,所以这个问题只有一个解:5头奶牛,一头猪和94头羊。

只要在这个问题中改变动物的价格,你就能发现许多基本的
丢番图分析。例如,奶牛4美元,猪2美元,羊1/2美元,
如果这个农夫用100美元买100头牲畜,每种牲畜至少一头,
各买多少头?这种情况下有三个解。如果奶牛5美元,猪2
美元,羊50美分呢?此时无解。

丢番图分析是数论的一个重要分支,有无限应用前景,一个
著名丢番图问题——费马最后定理,对于方程xn+yn=zn是
否有整数解,这里n是大于2的正整数,(如果n=2,称为毕
达哥拉斯三角形,从32+42=52。开始有无限解),这是数论
中最著名的没有解决的问题,没有人找列一个解或证明其无
解。