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x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
第八节 多元函数的极值及其求法
一、选择题
1. 点(0, 0)是函数f (x , y ) = x 2 - y 2的
( ) A . 驻点但不是极值点; B . 极小值点; C . 极大值点; D . 非驻点. 2. 函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的驻点为
( ) A . (1，-1) B . (-1，-1) C . (-1，1) D . (1，1) 3. 设函数f (x , y ) =22y x +, 则点(0, 0)是f (x , y )的
( ) A . 驻点; B . 极小值点; C . 极大值点; D . 非极值点.
4. 设f 'x (x 0, y 0) = 0, f ’y (x 0, y 0) = 0, 则在点(x 0, y 0)处函数f (x , y ) ( )
A . 连续;
B . 一定取得极值;
C . 可能取得极值;
D . 的全微分为零.
二、解答题
1. 求1)(444+--+=y x y x z 的极值.
2. 求函数z = xy 在适合附加条件x + y = 1下的最大值.
3. 在xOy 上求一点, 使它到x = 0, y = 0及x + 2y - 16 = 0三直线的距离平方之和为最小.
4. 欲造一无盖的长方形容器, 已知底部造价为每平方米3元, 侧面造价为每平方米1元, 现想用36元造一容积为最大的容器, 求它的尺寸.
5. 某厂要用铁板做成一个体积为43m 的无盖长方体水箱, 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时， 才能使用料最省.。
§8.8 多元函数极值及其求法一、多元函数的极值1、多元函数极值定义设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00的某个邻域内有定义,对该邻域内异于(,)x y 00的点(,)x y ,如果都适合不等式f x y f x y (,)(,)<00则称函数在点(,)x y 00取极大值；如果都适合不等式f x y f x y (,)(,)>00则称函数在点(,)x y 00取极小值。
极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点称为极值点。
注:二元函数的极值是一个局部概念,这一概念很容易推广至元函数。
【例1】讨论下述函数在原点(,)00是否取得极值。
(1)、z x y =+22(2)、z x y =-+22 (3)、z x y =⋅解:由它们的几何图形可知:z x y =+22是开口向上的旋转抛物面,在(,)00取得极小值；z x y =-+22是开口向下的锥面,在(,)00取得极大值； z x y =⋅是马鞍面, 在(,)00不取得极值。
2、函数取得极值的必要条件 【定理一】设函数zf x y =(,)在点(,)x y 00具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即f x y f x y x y (,)(,)00000==【证明】不妨设zf x y =(,)在点(,)x y 00处有极大值。
依极值定义,点(,)x y 00的某一邻域内的一切点(,)x y 适合不等式f x y f x y (,)(,)<00特殊地,在该邻域内取y y =0,而x x ≠0的点,也应有不等式f x y f x y (,)(,)000<这表明:一元函数z f x y =(,)0在 x x =0处取得极大值,因而必有f x y x (,)000=同理可证f x y y (,)000=【注一】当f x y f x y x y (,)(,)00000==(,)x y 00时, 曲面在点处有切平面z z f x y x x f x y y y x y -=-+-=00000000(,)()(,)()此切平面平行于水平面xoy 面。
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
