高中数学必修四第一章第4节正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式(2)单位圆与周期性

三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。

正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。

下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。

1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。

当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。

因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。

当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。

因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。

接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。

设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。

根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。

根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。

sin x, k ? Z ；
终边相同的角的余弦值相等，
cos x, k ? Z .
上述两个等式说明：对于任意一个角x，每增加 2 p
的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变.所以，正
弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的. 我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期 函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2kp (k 喂Z , k 0) 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， - 4p , - 2p , 2p , 4p 等都是它们的周期.其中 2p
斜边 对边

对边 斜边
邻边
sin a = _____;cos a = _____;
邻边 斜边
锐角三角函数坐标化
y
P(u,v) r 设锐角 的顶点与原点O 重合,始边与 x 轴的非 负半轴重合.在 的终边上任取一 点 P(u, v) ,它与原点的距离 r u 2 v2 x
MP v sin OP r OM u cos OP r
P(u,v)
α x O M x(1,0)
任意角的三角函数定义
如图，设α是一个任意角，
它的终边与单位圆交于点 P(u,v)，那么：
y
P(u,v)
O
α
x(1,0) x
1.v叫作α的正弦函数， 记作sinα，即sinα=v；
2.u叫作α的余弦函数， 记作cosα，即cosα=u;
设α 是一个任意的象限角，那么当α 在第一、
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与 诱导公式
4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.2 单位圆与周期性
1. 掌握正弦函数、余弦函数的定义. 2.利用单位圆理解正弦函数与余弦函数都是周期函数, 并知道它们的周期. 3. 知道周期函数的定义.

12 2
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z
z k
2x k
3
x k
62
对称中心为 ( k ,0) ,k Z
62
练习5
▪ 为函数 y sin(2x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
A.x 4
3
B.x
2
C.x
12
D.x 0
1
3 5
2
2 3
练习3.求下列函数取最值时自变量x的集合，并求出最值。
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值.
（1）使函数 y cos x 1, x R取得最大值的x的集合，就是 使函数y cos x, x R 取得最大值的x的集合
2
1
2
3 2
2
5 3 x
2
上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 增大到 。
当 在区间
上时，
曲线逐渐降落，cosα的值由 减小到 。
探究：余弦函数的单调性
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2余弦函数的周期性知： 在每个闭区间
都是增函数，
其值从－1增大到1 ；
而在每个闭区间
上都是减函数，
(
3 2
,1)
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
余弦函数 y 图像特征： 1 -
y cos x x [0, 2 ]
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3

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解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
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第二页，共十二页。
基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
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知识点三 化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
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基础知识点对点
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