2019年中考数学全真模拟试卷（三）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25个小题，满分150分，考试时间120分钟．2．答第Ⅰ卷前，请你务必将自己的姓名，准考证号，•考试科目准确填涂在答题卡上，请注意答题卡的横竖格式．3．第Ⅰ卷选择题共12个小题，•选出答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不要答在试卷上．4．第Ⅱ卷共13个小题，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答题前将密封线内的项目填写清楚．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．－23的倒数等于（）A．23B．－23C．32D．－322．下列各式中，计算正确的是（）A．5a2－2a2=3 B．2a+3b=5ab C．（2xy2）2=4x2y4D．6mn÷3n=3m 3．下列四个几何体的三视图是同一个图形的是（）4．据报道“5·12”汶川大地震使得李白纪念馆刹那间墙倾屋摧，满目疮痍．经过抢救，包括71件顶级国宝在内的4 000余件馆藏文物（价值约2 010 000 000元）•全部从危房中救出，并被安全转移．将数字2 010 000 000用科学记数法可表示为（）A．2.01×107B．2.01×108C．2.01×109D．2×1095．下列图形中，为中心对称图形的是（）6．如图1，在△ABC中，延长边AB，CA构成∠1，∠2，若∠C=55°，则∠1+∠2等于（）A．125°B．235°C．250°D．305°图1 图2 图3 图47．如图2，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O，下列结论：①BC•平分∠ABD；②ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形，其中正确的结论是（•）A．①③B．②④C．①②D．③④8．某市2008年高级中等教育学校招生统一考试文化笔试科目的满分值为：若把表中各笔试科目满分值按比例绘成扇形统计图，•则表示数学学科的扇形的圆心角为（结果保留3个有效数字）A．85.7°B．86°C．42.7°D．43°9．若实数m，n满足2m+3n=0和4m+n－10=0，则过点P（m，n）的反比例函数的解析式为（）A．y=16xB．y=－16xC．y=6xD．y=－6x10．如图3，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，•△BCD 的面积分别为S1，S2，则S1：S2等于（）A．2：1 B 1 C．3：2 D．211．如图4，在正方形ABCD中，DE=2AE，DF=CF，则sin∠BEF等于（）A B C D．1 312．抛物线y=23x2+2bx与x轴的两个不同交点分别是O和A，顶点B在直线y=kx上，若△OAB是等边三角形，则b等于（）A．B．±3 C．±3D．±13第Ⅱ卷（非选择题，共114分）二、填空题（每小题4分，共24分）13．│－2│=_______．14=a－1，则实数a的取值范围是______．15．如图5，⊙O的弦AB，CD互相平行，•E，•F•分别是圆周上两点，•则∠BEC+•∠AFD=______度．图5 图616．“5·12”汶川大地震使不少建筑物受损．某地一水塔地震时发生了严重沉陷（未倾斜）．如图6，已知地震前，在距该水塔30米的A处测得塔顶B的仰角为60°；地震后，在A处测得塔顶B的仰角为45°，则该水塔沉陷了______米．（精确到0.01•1，）17．抛两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），•骰子朝上的面的数字分别为a ，b ，则a+b=6的概率为______．18．连结抛物线y=ax 2（a≠0）上任意四点所组成的四边形可能是________（填写所有正确选项的序号）．①菱形；②有三条边相等的四边形；③梯形；④平行四边形． 三、解答题（共90分） 19．（每小题8分，共16分）（1）计算：（π－3）0÷（－12）2－（13）－1+（（2）化简：221111()()111a a a a a+÷--+--．20．（12分）已知反比例函数y=5mx的图象有一支在第一象限．（1）求常数m的取值范围；（2）若它的图象与函数y=x的图象的一个交点的纵坐标为2，求当－2<x<－1时，反比例函数值y的取值范围．21．（12分）某图书馆为了了解读者的需求情况，某天对读者借阅的所有图书进行了分类统计，结果如下：（1）补全上表，并求当天共借阅了多少本图书？（2）若用一个统计图描述当天借阅的各类图书所占比例的情况，你认为最好选用什么统计图？作出你所选用的统计图；（3）试根据调查结果，给该图书馆的采购部提一条合理的建议．22．（12分）某商品预测某品牌衬衫能畅销市场，先用了8万元购入这种衬衫，面市后果然供不应求，于是商场又用了17.6万元购入第二批这种衬衫，所购数量是第一批购入量的2倍，但单价贵了4元．商场销售这种衬衫时每件定价都是58元，•最后剩下的150件按定价的八折销售，很快售完，试求：（1）第一次购买这种衬衫的单价是多少？（2）在这两笔生意中，商场共赢利多少元？23．（12分）如图，在ABCD中，已知A，D两点的坐标分别为A，D（0），将ABDO得到四边形A′B′D′O′，抛物线C经过点A′，B′，D′．（1）在图中作出四边形A′B′D′O′，并写出它的四个顶点坐标；（2）在抛物线C上是否存在点P，使△ABP的面积恰好为四边形A′B′D′O•′的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．24．（12分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连结AO并延长交⊙O于C，交PB的延长线于D．（1）找出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（不再添加辅助线）；（2）若PA=2+，∠P=45°，求图中阴影图形的面积．25．（14分）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC，斜边AB为边向外作正方形BCEF和ABMN，如图1，连结MF，延长CB交MF于点D．（1）试观测DF与DM的长度关系，你会发现________．（2）如果将△ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图2，这时D•点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断；（3）如果将△ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图3，则应在图中过B点作△ABC的________线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论，请证明在你的作法下结论的正确性．参考答案一、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A 9．D 10．A 11．C 12．A 二、13．2 14．a≥1 15．180 16．21.96 17．53618．②③三、19．（1）原式=1÷14－3+（=4－3． （2）原式=222211(1)211(1)1(1)a a a a a a a a a a a ++--+-÷=÷----=－2a 2． 20．（1）∵反比例函数的图象有一支在第一象限． ∴m －5>0，即m>5，因此m 的取值范围为m>5． （2）由题意可知，反比例函数y=5m x-的图象经过点（2，2），∴2×2=m －5，得m=9，• ∴反比例函数的解析式为y=4x． 当x=－2时，y=－2；当x=－1时，y=－4．故根据反比例函数图象知，当－2<x<－1时，y 的取值范围是－4<x<－2． 21．（1）20÷10%=200（本），所以这天共借了200本．（2）最好选用扇形统计图，统计图如下：（3）建议：可多采购文艺类书籍． 22．（1）设第一批购入的衬衫单价为x 元/件，则由题意得80000x ×2=4x +，解得x=40，所以第一批购入衬衫的单价为40元． （2）由（1）知，第一批购入了80 000÷40=2 000件． 在这两笔生意中，商场共赢利为2000×（58－40）+（2000×2－150）×（58－44）+150×（58×0.8－44）=90 260（元）．所以在这两笔生意中商场共赢利90 260元．23．（1）作出平移后的四边形A′B′D′O′如图．顶点坐标分别为A′（0，B′（2，D′0），O′0）．（2）由题意可设抛物线C 的解析式为y=ax 2则22(23)233,0(3)33,a b a b =++=++⎪⎩，解得a=3，b=－2．∴抛物线C 的解析式为2－ ∵四边形A′B′D′O′是平行四边形， ∴SA`B`C`D` ．假设存在点P ，则S △ABP =3．设△ABP 的高为h ，则S △ABP =12×AB×h=12×h=3，得P •到AB P 点的纵坐标为0或∴当P 的纵坐标为0时，有x 2－x 1=x 2当P 的纵坐标为有2－解得x 1x 2 所以存在满足条件的点P ，它的坐标为0），，，．24．（1）△OBD ∽△PAD ．∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP=∠OBD=90°．又∵∠D=∠D ，∴△OBD ∽△PAD ．（2）∵∠P=45°，∴∠DOB=45°，∴△OBD ，△PAD 均是等腰直角三角形，∴，．又∵PA=PB ，∴BD=OB=PD －－PA=1）PA=1）（∴S 阴影=S △OBD －S 扇形OBC =1245360π×2=1－4π． 25．（1）DF=DM ．（2）仍具有（1）的结论，即DF=DM ．如图1，延长CD ，过M 作MP ⊥CD 交CD 的延长线于P ，P 为垂足． ∵∠MBP+∠ABC=90°，∠BAC+∠ABC=90°．∴∠MBP=∠BAC ．又∵∠ACB=∠MPB=90°，AB=BM ，∴△ABC ≌△BMP ，∴BC=MP ．∵BC=BF ，∴BF=MP ．又∵∠PDM=∠BDF，∠DPM=∠DBF．∴△DBF≌△DPM，∴DF=DM．（3）高如图2，延长GD，过M，F作GD的垂线，垂足分别为P，Q．∵∠MBP+∠BMP=90°，∠ABG+∠MBP=90°，∴∠BMP=∠ABG．又∵∠MPB=∠AGB=90°，AB=BM，∴△ABG≌△BMP，∴MP=BG．同理△FQB≌△BGC，∴FQ=BG，∴MP=FQ．∵∠FDQ=∠MDP，∠FQD=∠MPD=90°，∴△FDQ≌△MDP，∴DF=DM．。
四川省绵阳市2019年初中学业考试暨高中阶段学校招生考试数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共6页，答题卡共6页。
满分140分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨迹的签字笔填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号、考点、考场号。
2．选择答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题的答案用0.5毫米黑色墨迹的签字笔填写在答题卡上对应的框内，超出答题区域的答案无效，写在草稿纸、试题卷上的答案无效。
3.考试结束后将答题卡和试题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．a2，则a的值为（）1．若A．﹣4B．4C．﹣2D．22．据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为（）A．0.2×10﹣3B．0.2×10﹣4C．2×10﹣3D．2×10﹣43．对如图的对称性表述，正确的是（）A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形4．下列几何体中，主视图是三角形的是（）A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（）A ．（2，3）B ．（3，2）C ．（3，3）D ．（3，3）6．已知x 是整数，当|x 30-|取最小值时，x 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（ ） A ．极差是6 B ．众数是7C ．中位数是5D ．方差是88．已知4m＝a ，8n＝b ，其中m ，n 为正整数，则22m +6n＝（ ）A ．ab 2B ．a +b 2C ．a 2b 3D ．a 2+b 39．红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种10．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sin θ﹣cos θ）2＝（ ） A ．51B ．55 C ．553 D ．59 11．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②2a ﹣c ＞0；③a +2b +4c ＞0；④abb a +4<- 4，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若BG 23=，∠FEG ＝45°，则HK ＝（ ）A ．322 B ．625 C ．223 D ．6213第10题图 第11题图 第12题图二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13．因式分解：m 2n +2mn 2+n 3＝ ．14．如图，AB ∥CD ，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点E ，则∠1+∠2＝ ． 15．单项式x﹣|a ﹣1|y 与12 b xy 是同类项，则a b＝ ．16．一艘轮船在静水中的最大航速为30km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为 km /h ．17．（3分）在△ABC 中，若∠B ＝45°，AB ＝102，AC ＝55，则△ABC 的面积是 ． 18．如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′＝ ．第14题图 第18题图三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．（16分）（1）计算：232+|（-21）﹣1|﹣22tan30°﹣（π﹣2019）0；（2）先化简，再求值：ab bb a b a a -++--)1(22，其中a=2，b ＝2-2．20．（11分）胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D 对应的圆心角度数；（2）成绩在D 区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．21．（11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元． （1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？22．（11分）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y=xmm 32 （m ≠0且m ≠3）的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知A （4，1），CE ＝4CD ．（1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值．23．（11分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ． （1）求证：△BFG ≌△CDG ； （2）若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．24．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），OA ＝1，经过点A 的一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，△ABD 的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE 53P A 的最小值．25．（14分）如图，在以点O 为中心的正方形ABCD 中，AD ＝4，连接AC ，动点E 从点O 出发沿O →C 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C 停止．在运动过程中，△ADE 的外接圆交AB 于点F ，连接DF 交AC 于点G ，连接EF ，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFH ．（1）求证：△DEF 是等腰直角三角形；（2）当点H 恰好落在线段BC 上时，求EH 的长；（3）设点E 运动的时间为t 秒，△EFG 的面积为S ，求S 关于时间t 的关系式．2019年四川省绵阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．1．（3分）若a=2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．a【分析】根据算术平方根的概念可得．【解答】解：若a=2，则a＝4，故选：B．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．2．（3分）据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为（）A．0.2×10﹣3B．0.2×10﹣4C．2×10﹣3D．2×10﹣4【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将数0.0002用科学记数法表示为2×10﹣4，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）对如图的对称性表述，正确的是（）A．轴对称图形B．中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案．【解答】解：如图所示：是中心对称图形．故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中． 【解答】解：A 、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； B 、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误； C 、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D 、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误； 故选：C ．【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置． 5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O （0，0），A （4，0），∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为（ ） A ．（2，3） B ．（a ，2） C ．（a ，3） D ．（3，a ）【分析】过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，由直角三角形的性质求出EF 长和OF 长即可．【解答】解：过点E 作EF ⊥x 轴于点F ， ∵四边形OABC 为菱形，∠AOC ＝60°， ∴=∠=∠AOC AOE 2130°，∠F AE ＝60°， ∵A （4，0），∴OA ＝4，∴=⨯==42121AO AE 2， ∴121==AE AF ，EF 3122222=-=-=AF AE ，∴OF ＝AO ﹣AF ＝4﹣1＝3，∴)3 3(，E ． 故选：D ．【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．6．（3分）已知x 是整数，当|x 30-|取最小值时，x 的值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据绝对值的意义，由与30最接近的整数是5，可得结论．【解答】解：∵363025<<，∴5<30<6，且与30最接近的整数是5，∴当|x 30-|取最小值时，x 的值是5， 故选：A ．【点评】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键． 7．（3分）帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（ ） A ．极差是6 B ．众数是7C ．中位数是5D ．方差是8【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断． 【解答】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9． A ．极差＝11﹣3＝8，结论错误，故A 不符合题意； B ．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B 不符合题意；C ．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C 不符合题意；D ．平均数是（5+7+11+3+9）÷5＝7， 方差S251=[（5﹣7）2+（7﹣7）2+（11﹣7）2+（3﹣7）2+（9﹣7）2]＝8． 结论正确，故D 符合题意； 故选：D ．【点评】本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．8．（3分）已知4m＝a ，8n＝b ，其中m ，n 为正整数，则22m +6n＝（ ）A ．ab 2B ．a +b 2C ．a 2b 3D ．a 2+b 3【分析】将已知等式代入22m +6n＝22m×26n＝（22）m•（23）2n＝4m•82n ＝4m •（8n ）2可得．【解答】解：∵4m＝a ，8n＝b ， ∴22m +6n＝22m ×26n ＝（22）m •（23）2n ＝4m •82n ＝4m •（8n ）2＝ab 2，故选：A ．【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则． 9．（3分）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【分析】设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（50﹣x ）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x 的不等式组，解之求得整数x 的值即可得出答案．【解答】解：设该店购进甲种商品x 件，则购进乙种商品（50﹣x ）件， 根据题意，得：⎩⎨⎧>-+≤-+750)50(20104200)50(10060x x x x ，解得：20≤x ＜25， ∵x 为整数，∴x ＝20、21、22、23、24， ∴该店进货方案有5种， 故选：C ．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．10．（3分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sin θ﹣cos θ）2＝（ ） A ．51B ．55 C ．553 D ．59 【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【解答】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25， ∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5， ∴55cos θ﹣55sin θ＝5，∴cos θ﹣sin θ=55， ∴（sin θ﹣cos θ）251=．故选：A ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中． 11．（3分）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②2a ﹣c ＞0；③a +2b +4c ＞0；④44-<+abb a ，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小． 当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异） ③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a ＞0， 而抛物线对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0， 又∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，所以①正确；②∵图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1，∴2122202+<-<+a b ，∴2321<-<a b ，当232<-a b 时，b ＞﹣3a ，∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0， ∴b ＝﹣2a c 21-， ∴﹣2a c 21-＞﹣3a ， ∴2a ﹣c ＞0，故②正确； ③∵12<-ab，∴2a +b ＞0，∵c ＞0，4c ＞0， ∴a +2b +4c ＞0， 故③正确； ④∵12<-ab，∴2a +b ＞0， ∴（2a +b ）2＞0，4a 2+b 2+4ab ＞0， ∴4a 2+b 2＞﹣4ab ， ∵a ＞0，b ＜0， ∴ab ＜0，∴4422-<+abb a ， 即44-<+abb a ， 故④正确． 故选：D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 12．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若BG=23，∠FEG ＝45°，则HK ＝（ ） A ．322 B ．625 C ．223 D ．6213 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC ＝32，根据相似三角形的性质得到72==KG EK AK CK ，求得CK 322=，过E 作EM ⊥AB 于M ，则四边形ADEM 是矩形，得到EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2，由勾股定理得到EG 25322=+=MG EM ，求得EK 35=，根据相似三角形的性质得到53351==HK HE ，设HE ＝3x ，HK 5=x ，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵∠ADC ＝90°，CD ＝AD ＝3，∴AC ＝32， ∵AB ＝5，BG=23，∴AG=27， ∵AB ∥DC ，∴△CEK ∽△AGK ，∴KGEK AK CK AG CE ==，∴KG EKAK CK ==271， ∴72==KG EK AK CK ， ∵CK +AK ＝32，∴CK 322=， 过E 作EM ⊥AB 于M ，则四边形ADEM 是矩形， ∴EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2， ∴MG 23=， ∴EG 25322=+=MG EM ， ∵72=KG EK ， ∴EK 35=， ∵∠HEK ＝∠KCE ＝45°，∠EHK ＝∠CHE ， ∴△HEK ∽△HCE ， ∴53351==HK HE ， ∴设HE ＝3x ，HK 5=x ，∵△HEK ∽△HCE ， ∴EHHKHC EH =，∴x xx x 3532253=+， 解得：x=610， ∴HK=625， 故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上． 13．（3分）因式分解：m 2n +2mn 2+n 3＝ n （m +n ）2．【分析】首先提取公因式n ，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：m 2n +2mn 2+n 3＝n （m 2+2mn +n 2）＝n （m +n ）2． 故答案为：n （m +n ）2．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 14．（3分）如图，AB ∥CD ，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点E ，则∠1+∠2＝ 90 ． 【分析】根据平行线的性质可得∠ABD +∠CDB ＝180°，再根据角平分线的定义可得∠1=21∠ABD ，∠2=21∠CDB ，进而可得结论． 【解答】解：∵AB ∥CD ， ∴∠ABD +∠CDB ＝180°， ∵BE 是∠ABD 的平分线， ∴∠1=21∠ABD ， ∵BE 是∠BDC 的平分线， ∴∠2=21∠CDB ， ∴∠1+∠2＝90°， 故答案为：90°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．15．（3分）单项式x﹣|a ﹣1|y 与2x1-b y 是同类项，则a b＝ 1 ．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，结合二次根式的性质可求出a ，b 的值，再代入代数式计算即可． 【解答】解：由题意知﹣|a ﹣1|≥-=1b 0，∴a ＝1，b ＝1，则a b＝（1）1＝1， 故答案为：1．【点评】此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义． 16．（3分）一艘轮船在静水中的最大航速为30km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为 10 km /h ．【分析】直接利用顺水速＝静水速+水速，逆水速＝静水速﹣水速，进而得出等式求出答案． 【解答】解：设江水的流速为xkm /h ，根据题意可得：xx -=+306030120， 解得：x ＝10，经检验得：x ＝10是原方程的根， 答：江水的流速为10km /h ． 故答案为：10．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．17．（3分）在△ABC 中，若∠B ＝45°，AB ＝102，AC ＝55，则△ABC 的面积是 75或25 ． 【分析】过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC 的面积． 【解答】解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，如图所示． 在Rt △ABD 中，AD ＝AB •sin B ＝10，BD ＝AB •cos B ＝10； 在Rt △ACD 中，AD ＝10，AC ＝55，∴CD=22AD AC -=5，∴BC ＝BD +CD ＝15或BC ＝BD ﹣CD ＝5， ∴S △ABC =21BC •AD ＝75或25． 故答案为：75或25．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．18．（3分）如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′+【分析】如图，连接CE ′，根据等腰三角形的性质得到AB ＝BC ＝22，BD ＝BE ＝2，根据性质的性质得到D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′，由全等三角形的性质得到∠D ′＝∠CE ′B ＝45°，过B 作BH ⊥CE ′于H ，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，连接CE ′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝22，∴AB ＝BC ＝22，BD ＝BE ＝2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，∴D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′， ∴∠ABD ′＝∠CBE ′，∴△ABD ′≌△CBE ′（SAS ）， ∴∠D ′＝∠CE ′B ＝45°， 过B 作BH ⊥CE ′于H ， 在Rt △BHE ′中，BH ＝E ′H 22=BE ′=2， 在Rt △BCH 中，CH 622=-=BH BC ，∴CE ′=62+， 故答案为：62+．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．（16分）（1）计算：232+|（21-）﹣1|﹣22tan30°﹣（π﹣2019）0； （2）先化简，再求值：ab bb a b a a -++--)1(22，其中a=2，b ＝2-2． 【分析】（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：（1）232+|（21-）﹣1|﹣22tan30°﹣（π﹣2019）0＝133222362-⨯-+ ＝13622362--+ ＝1；（2）原式=b ab b a b a b b a b a a -⋅+--⋅-+1))((=)()()(b a b bb a b a b b a b a +=+--+-=ba +-1， 当a=2，b ＝2-2时，原式=212221-=-+-．【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则、实数的混合运算法则是解题的关键．20．（11分）胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D 对应的圆心角度数；（2）成绩在D 区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．【分析】（1）由B 组百分比求得其人数，据此可得80～85的频数，再根据各组频数之和等于总人数可得最后一组频数，从而补全图形，再用360°乘以对应比例可得答案；（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）80～90的频数为36×50%＝18， 则80～85的频数为18﹣11＝7， 95～100的频数为36﹣（4+18+9）＝5， 补全图形如下：扇形统计图中扇形D 对应的圆心角度数为360°365=50°； （2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12， 所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为532012=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 21．（11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元． （1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到m 关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答． 【解答】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元， 根据题意，得：⎩⎨⎧=+=+5000101085002015y x y x ，解得⎩⎨⎧==200300y x ，答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）设当每间房间定价为x 元， m ＝x （20 -220200⨯-x ）﹣80×20=2400)200(1012+--x ， ∴当x ＝200时，m 取得最大值，此时m ＝2400，答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2400元． 【点评】本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22．（11分）如图，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y=xmm 32-（m ≠0且m ≠3）的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知A （4，1），CE ＝4CD ．（1）求m 的值和反比例函数的解析式；（2）若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值．【分析】（1）将点A （4，1）代入y=xm m 32-，即可求出m 的值，进一步可求出反比例函数解析式；（2）先证△CDB ∽△CEA ，由CE ＝4CD 可求出BD 的长度，可进一步求出点B 的坐标，以及直线AC 的解析式，直线AC 与坐标轴交点的坐标，可证直线AC 与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM 长度的最小值．【解答】解：（1）将点A （4，1）代入y=xmm 32-，得m 2﹣3m ＝4，解得，m 1＝4，m 2＝﹣1，∴m 的值为4或﹣1；反比例函数解析式为：y=x4； （2）∵BD ⊥y 轴，AE ⊥y 轴，∴∠CDB ＝∠CEA ＝90°， ∴△CDB ∽△CEA ， ∴AEBDCE CD =，∵CE ＝4CD ，∴AE ＝4BD ， 又∵A （4，1），∴AE ＝4， ∴BD ＝1，∴x B ＝1， ∴y B=x4=4， ∴B （1，4），将A （4，1），B （1，4）代入y ＝kx +b ，得，⎩⎨⎧=+=+414b k b k ，解得，k ＝﹣1，b ＝5， ∴y AB ＝﹣x +5，设直线AB 与x 轴交点为F ， 当x ＝0时，y ＝5；当y ＝0时x ＝5， ∴C （0，5），F （5，0）， 则OC ＝OF ＝5，∴△OCF 为等腰直角三角形， ∴CF=2OC ＝52，则当OM 垂直CF 于M 时，由垂线段最知可知，OM 有最小值， 即OM 21=CF=225．【点评】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质． 23．（11分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF ． （1）求证：△BFG ≌△CDG ； （2）若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．【分析】（1）根据AAS 证明：△BFG ≌△CDG ；（2）解法一：连接OF ，设⊙O 的半径为r ，由CF ＝BD 列出关于r 的勾股方程就能求解； 解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt △AHC ≌Rt △AEC （HL ），得AE ＝AH ，再证明Rt △CDH ≌Rt △CBE （HL ），得DH ＝BE ＝2，计算AE 和AB 的长，证明△BEC ∽△BCA ，列比例式可得BC 的长，就是BF 的长．解法三：连接OC ，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH ＝1，证明△COE ≌△BOH ，并利用勾股定理可得结论． 【解答】证明：（1）∵C 是的中点，∴=，∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ， ∴=， ∴=，∴CD ＝BF ，在△BFG 和△CDG 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD BF DGC FGB CDG F ， ∴△BFG ≌△CDG （AAS ）；（2）解法一：如图，连接OF ，设⊙O 的半径为r ， Rt △ADB 中，BD 2＝AB 2﹣AD 2，即BD 2＝（2r ）2﹣22， Rt △OEF 中，OF 2＝OE 2+EF 2，即EF 2＝r 2﹣（r ﹣2）2， ∵==，∴=，∴BD ＝CF ，∴BD 2＝CF 2＝（2EF ）2＝4EF 2， 即（2r ）2﹣22＝4[r 2﹣（r ﹣2）2]， 解得：r ＝1（舍）或3，∴BF 2＝EF 2+BE 2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12， ∴BF ＝23；解法二：如图，过C 作CH ⊥AD 于H ，连接AC 、BC ， ∵=，∴∠HAC ＝∠BAC ， ∵CE ⊥AB ， ∴CH ＝CE ， ∵AC ＝AC ，∴Rt △AHC ≌Rt △AEC （HL ）， ∴AE ＝AH ，∵CH ＝CE ，CD ＝CB ， ∴Rt △CDH ≌Rt △CBE （HL ）， ∴DH ＝BE ＝2， ∴AE ＝AH ＝2+2＝4， ∴AB ＝4+2＝6， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠BEC ＝90°， ∵∠EBC ＝∠ABC ， ∴△BEC ∽△BCA ， ∴BCBEAB BC =， ∴BC 2＝AB •BE ＝6×2＝12， ∴BF ＝BC ＝23．解法三：如图，连接OC ，交BD 于H ， ∵C 是的中点，∴OC ⊥BD ， ∴DH ＝BH ， ∵OA ＝OB ， ∴OH=21AD ＝1， ∵OC ＝OB ，∠COE ＝∠BOH ，∠OHB ＝∠OEC ＝90°， ∴△COE ≌△BOH （AAS ）， ∴OH ＝OE ＝1，∴CE ＝EF=221322=-， ∴BF=32)22(22222=+=+EF BE ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 24．（12分）在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），OA ＝1，经过点A 的一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，△ABD 的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；（3）若点P 为x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE 53+P A 的最小值． 【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A （﹣1，0），可求得a 的值，由△ABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，则∠BAE ＝∠HAP ＝∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得EP 53+AP ＝FP +HP ，此时FH 最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y ＝ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣2， ∵OA ＝1，∴点A 的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a ﹣2＝0， ∴21=a ， ∴抛物线的解析式为y 21212--=）（x ，即y 23212--=x x ． 令y ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴B （3，0）， ∴AB ＝OA +OB ＝4， ∵△ABD 的面积为5， ∴D ABD y AB S ⋅=∆21=5， ∴y D 25=，代入抛物线解析式得，2321252--=x x ，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，∴D （4，25）， 设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0254b k b k ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121b k ， ∴直线AD 的解析式为y 2121+=x ． （2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E （a ，23212--a a ），则M （a ，2121+a ）， ∴223212321212122++-=++-+=a a a a a EM ， ∴S △ACE ＝S △AME ﹣S △CME )43(411)22321(2112122---=⨯+-=⋅⨯=a a a a EM ，162523412+--=）（a ， ∴当a=23时，△ACE 的面积有最大值，最大值是1625，此时E 点坐标为（23，815-）． （3）作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交轴于点P ，∵E （23，815-），OA ＝1， ∴AG ＝12523=+，EG=815， ∴3481525==EG AG ， ∵∠AGE ＝∠AHP ＝90°∴sin 53===∠AE EG AP PH EAG ， ∴AP PH 53=， ∵E 、F 关于x 轴对称，∴PE ＝PF ，∴PE 53+AP ＝FP +HP ＝FH ，此时FH 最小，。
四川省绵阳市2019年中考数学试卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）（2019•绵阳）的相反数是（）A．B．C．﹣D ．﹣考点：实数的性质分析：由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．解答：解：的相反数为：﹣．故选C．点评：此题主要考查了求无理数的相反数，无理数的相反数和有理数的相反数的意义相同，无理数的相反数是各地中考的重点．2．（3分）（2019•绵阳）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形分析：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．解答：解：A、有一条对称轴，故本选项正确；B、没有对称轴，故本选项错误；C、有三条对称轴，故本选项错误；D、有两条对称轴，故本选项错误；故选A．点评：本题考查了轴对称图形，解答本题的关键是掌握轴对称图及对称轴的定义，属于基础题．3．（3分）（2019•绵阳）2019年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A．1.2×10﹣9米B．1.2×10﹣8米C．12×10﹣8米D．1.2×10﹣7米考点：科学记数法—表示较小的数分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.00000012=1.2×10﹣7．故选D．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）（2019•绵阳）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■考点：不等式的性质；等式的性质分析：设▲、●、■的质量为a、b、c，根据图形，可得a+c＞2a，a+b=3b，由此可将质量从大到小排列．解答：解：设▲、●、■的质量为a、b、c，由图形可得：，由①得：c＞a，由②得：a=2b，故可得c＞a＞b．故选C．点评：本题考查了不等式的性质及等式的性质，解答本题关键是根据图形列出不等式和等式，难度一般．5．（3分）（2019•绵阳）把如图中的三棱柱展开，所得到的展开图是（）A．B．C．D．考点：几何体的展开图分析：根据三棱柱的概念和定义以及展开图解题．解答：解：根据两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱．把图中的三棱柱展开，所得到的展开图是B．故选B．点评：此题主要考查了几何体的展开图，根据三棱柱三个侧面和上下两个底面组成，两个底面分别在侧面的两侧进而得出是解题关键．6．（3分）（2019•绵阳）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定分析：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，对角线相等的梯形是等腰梯形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项错误；B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了对菱形、矩形、平行四边形、等腰梯形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．7．（3分）（2019•绵阳）如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．mm B．12mm C．mm D．mm考点：正多边形和圆分析：根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．解答：解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB=∠BOC=60°，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB=6cm，∠AOB=60°，∴cos∠BAC=，∴AM=6×=3，∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，∴AM=MC=AC，∴AC=2AM=6（cm）．故选：C．点评：本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，熟练运用锐角三角函数进行求解．8．（3分）（2019•绵阳）朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还少3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（）A．4个B．5个C．10个D．12个考点：一元一次方程的应用分析：设有x个小朋友，根据苹果数量一定，可得出方程，解出即可．解答：解：设有x个小朋友，由题意得，3x﹣3=2x+2，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据苹果的分配情况得出方程．9．（3分）（2019•绵阳）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A．20米B．米C．米D．米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．解答：解：∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB=2EG=30米，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，则BC=ABtan∠BAC=30×=10米．如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，AF=BC=10米，则FD=AF•tanβ=10×=10米，综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故选A．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．10．（3分）（2019•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB 于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．cm B．cmC．cmD．cm考点：菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．分析：先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选B．点评：本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．11．（3分）（2019•绵阳）“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法专题：图表型．分析：画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．解答：解：根据题意画出树状图如下：一共有20种情况，恰好是一男一女的有12种情况，所以，P（恰好是一男一女）==．故选D．点评：本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．（3分）（2019•绵阳）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式A M=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2019=（）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：先计算出2019是第几个数，然后判断第1007个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2019是第=1007个数，设2019在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1007，即≥1007，解得：n≥31.7，当n=31时，1+3+5+7+…+61=961；当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第1007个数在第32组，第1024个数为：2×1024﹣1=2047，第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2019是（+1）=46个数．故A2019=（32，46）．故选C．点评：此题考查了数的规律变化，需要熟练掌握其中的方法与技巧，在规律不好发现的时候可以用试一试的办法找其规律．二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案填写在答题卡相应的横线上．13．（4分）（2019•绵阳）因式分解：x2y4﹣x4y2=x2y2（y﹣x）（y+x）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式x2y2，再利用平方差进行二次分解即可．解答：解：原式=x2y2（y2﹣x2）=x2y2（y﹣x）（y+x）．故答案为：x2y2（y﹣x）（y+x）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．14．（4分）（2019•绵阳）如图，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB=35°，则∠AOD=75°．考点：平行线的性质；等腰三角形的性质分析：根据AB=BC，可得出∠BAC=∠ACB=35°，根据AB∥CD，可得∠D=∠ABD，继而利用三角形的外角的知识可求出∠AOD的度数．解答：解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=35°，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD=40°，∴∠AOD=∠ABD+∠BAC=75°．故答案为：75°．点评：本题考查了平行线的性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，及等腰三角形的性质．15．（4分）（2019•绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）．考点：坐标与图形变化-平移．分析：先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．解答：解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），∴右眼的坐标为（0，3），向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）．点评：本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．16．（4分）（2019•绵阳）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为14．考点：七巧板分析：分别得到“飞机”中的每个板的面积，再相加即可得到“飞机”的面积．解答：解：由“飞机”的图形可知，“飞机”由2个面积为1的三角形，2个面积为4的三角形，1个面积为2的平行四边形，1个面积为2的正方形组成，故“飞机”的面积为：1×2+4×2+2+2=14．故答案为：14．点评：本题考查了七巧板．七巧板中的每个板的面积都可以利用正方形的性质求出来的．17．（4分）（2019•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系专题：计算题．分析：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．解答：解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，解得k≥，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2，∴△ABC的周长为6或12或10．故答案为：6或12或10．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．18．（4分）（2019•绵阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是①③④（写出你认为正确的所有结论序号）．考点：二次函数图象与系数的关系分析：分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴2a＜0，对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故选项①正确；∵﹣b＜2a，∴b＞﹣2a＞0＞a，令抛物线解析式为y=﹣x2+bx﹣，此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，则=﹣，解得：b=，∴抛物线y=﹣x2+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间，对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能），故②选项错误；∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2，∴抛物线对称轴为：x=﹣＞1，＞2，m+n，故选项③正确；当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，∵a＜0，b＞0，c＜0，∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确．故答案为：①③④．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．19．（16分）（2019•绵阳）（1）计算：；（2）解方程：．考点：解分式方程；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值分析：（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=﹣+2（﹣1）×（+1）=﹣+2=1；（2）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，去括号得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，原分式方程无解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（12分）（2019•绵阳）为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：甲、乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲7 740乙77.5 5.4 1甲、乙射击成绩折线图（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？考点：折线统计图；统计表；算术平均数；中位数；方差专题：计算题．分析：（1）根据折线统计图列举出乙的成绩，计算出甲的中位数，方差，以及乙平均数，中位数及方差，补全即可；（2）计算出甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；（3）希望甲胜出，规则改为9环与10环的总数大的胜出，因为甲9环与10环的总数为4环．解答：解：（1）根据折线统计图得：乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，则平均数为=7（环），中位数为7.5（环），方差为[（2﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=5.4；甲的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，？，8，9，平均数为7（环），则甲第八环成绩为70﹣（9+6+7+6+2+7+7+8+9）=9（环），所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，2，7，7，9，8，9．中位数为7（环），方差为[（9﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（2﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2]=4．补全表格如下：甲、乙射击成绩统计表平均数中位数方差命中10环的次数甲7 7 4 0乙7 7.5 5.4 1甲、乙射击成绩折线图（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，乙的射击成绩越来越好．点评：此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解本题的关键．21．（12分）（2019•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．考点：切线的判定；扇形面积的计算专题：计算题．分析：（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．解答：解：（1）CD与圆O相切．理由如下：∵AC为∠DAB的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，则CD与圆O相切；（2）连接EB，由AB为直径，得到∠AEB=90°，∴EB∥CD，F为EB的中点，∴OF为△ABE的中位线，∴OF=AE=，即CF=DE=，在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=，则S阴影=S△DEC=××=．点评：此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．22．（12分）（2019•绵阳）如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F．（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值．考点：反比例函数综合题专题：综合题．分析：（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点E坐标为（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．解答：解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，∴点E的坐标为（2，2），将点E的坐标代入y=，可得k=4，即反比例函数解析式为：y=，∵点F的横坐标为4，∴点F的纵坐标==1，故点F的坐标为（4，1）．（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，∴∠CDF=∠GED，又∵∠EGD=∠DCF=90°，∴△EGD∽△DCF，结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，在Rt△CDF中，CD===，∵=，即=，∴=1，解得：k=3．点评：本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质，难度较大．23．（12分）（2019•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2019年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？考点：一元二次方程的应用；一次函数的应用分析：（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．解答：解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2=100解得：x=0.25=25%或x=﹣2.25四月份的销量为：100（1+25%）=125辆，答：四月份的销量为125辆．（2）设购进A型车x辆，则购进B型车辆，根据题意得：2×≤x≤2.8×解得：30≤x≤35．利润W=（700﹣500）x+（1300﹣1000）=900+50x．∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．当x=35时，不是整数，故不符合题意，∴x=34，此时=13．答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．点评：本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．24．（12分）（2019•绵阳）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O 为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题分析：（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y 轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标；（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2；∵y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣2．当y=0时，2x2﹣2=0，解得x=±1，∴点B的坐标为（1，0）；（2）设P（m，n）．∵∠PDB=∠BOC=90°，∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△OCB∽△DBP，则=，即=，解得n=．由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，∴此时点P坐标为（m，）或（m，）；②若△OCB∽△DPB，则=，即=，解得n=2m﹣2．由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）．（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x2﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点Q作QE⊥l于点E．∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，∴∠DBP=∠QPE．在△DBP与△EPQ中，，∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ．分两种情况：①当P（m，）时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），∴，解得，（均不合题意舍去）；②当P（m，2（m﹣1））时，∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x2﹣2），∴，解得，（均不合题意舍去）；综上所述，不存在满足条件的点Q．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．25．（14分）（2019•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．考点：相似形综合题；三角形的重心分析：（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．解答：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点．∴DE是中位线，∴DE∥AC，且DE=AC．∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE，∴=2，∵AD=AO+OD，∴．（2）答：点O是△ABC的重心．证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，=，而，∴点Q与点O重合（是同一个点），∴点O是△ABC的重心．（3）解：如答图3所示，连接DG．设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS．∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．设OH=k•OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS，∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S．∴==①如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE．∵OF∥BC，∴，∴OF=CD=BC；∵GE∥BC，∴，∴GE=；∴=，∴．∵OF∥GE，∴，∴=，∴k=，代入①式得：===﹣x2+x+1=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，有最大值，最大值为．点评：本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点．试题的难点在于第（3）问，如何求出的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不同的解法，同学们可以深入探究．\。
精品文档，欢迎下载！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！2019年四川省绵阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若√a=2，则a的值为（）A. −4B. 4C. −2D. √22.据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为（）A. 0.2×10−3B. 0.2×10−4C. 2×10−3D. 2×10−43.对如图的对称性表述，正确的是（）A. 轴对称图形B. 中心对称图形C. 既是轴对称图形又是中心对称图形D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形4.下列几何体中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（）A. (2,√3)B. (√3,2)C. (√3,3)D. (3,√3)6.已知x是整数，当|x-√30|取最小值时，x的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 87. 帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是（ ）A. 极差是6B. 众数是7C. 中位数是5D. 方差是88. 已知4m =a ，8n =b ，其中m ，n 为正整数，则22m +6n =（ ）A. aa 2B. a +a 2C. a 2a 3D. a 2+a 39. 红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种10. 公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ-cosθ）2=（ ） A. 15 B. √55 C. 3√55 D. 95 11. 如图，二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象与x 轴交于两点（x 1，0），（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②2a -c ＞0；③a +2b +4c ＞0；④4a a +aa ＜-4，正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4精品文档，欢迎下载！ 12. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC =90°，AB =5，CD =AD =3，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG于点H 、K ．若BG =32，∠FEG =45°，则HK =（ ）A. 2√23B. 5√26C. 3√22D. 13√26二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 因式分解：m 2n +2mn 2+n 3=______．14. 如图，AB ∥CD ，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点E ，则∠1+∠2=______．15. 单项式x -|a -1|y 与2x √a −1y 是同类项，则a b =______．16. 一艘轮船在静水中的最大航速为30km /h ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km 所用时间相同，则江水的流速为______km /h ．17. 在△ABC 中，若∠B =45°，AB =10√2，AC =5√5，则△ABC 的面积是______．18. 如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA =BC ，BD =BE ，AC =4，DE =2√2．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′=______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19. （1）计算：2√23+|（-12）-1|-2√2tan30°-（π-2019）0； （2）先化简，再求值：（a a 2−a 2-1a +a ）÷aa −a ，其中a =√2，b =2-√2．20.胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行“校园电视台主待人“选拔赛，现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中扇形D对应的圆心角度数；（2）成绩在D区域的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．21.辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．（1）求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？（2）度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？精品文档，欢迎下载！22.如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函（m≠0且m≠3）的图象在第一象限交于数y=a2−3aa点A、B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为E、D．已知A（4，1），CE=4CD．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）若点M为一次函数图象上的动点，求OM长度的最小值．⏜的中点，CF为⊙O的弦，23.如图，AB是⊙O的直径，点C为aa且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：△BFG≌△CDG；（2）若AD=BE=2，求BF的长．24.在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；PA的最小值．（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+3525.如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．精品文档，欢迎下载！答案和解析1.【答案】B【解析】解：若=2，则a=4，故选：B．根据算术平方根的概念可得．本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．2.【答案】D【解析】解：将数0.0002用科学记数法表示为2×10-4，故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：如图所示：是中心对称图形．故选：B．直接利用中心对称图形的性质得出答案．此题主要考查了中心对称图形的性质，正确把握定义是解题关键．4.【答案】C【解析】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；故选：C．主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．5.【答案】D【解析】解：过点E作EF⊥x轴于点F，∵四边形OABC为菱形，∠AOC=60°，∴=30°，∠FAE=60°，∵A（4，0），∴OA=4，∴=2，∴，EF===，∴OF=AO-AF=4-1=3，∴．故选：D．过点E作EF⊥x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵，∴5＜，且与最接近的整数是5，∴当|x-|取最小值时，x的值是5，故选：A．根据绝对值的意义，由与最接近的整数是5，可得结论．本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．7.【答案】D【解析】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，9．A．极差=11-3=8，结论错误，故A不符合题意；B．众数为5，7，11，3，9，结论错误，故B不符合题意；C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，9，11，中位数为7，结论错误，故C 不符合题意；D．平均数是（5+7+11+3+9）÷5=7，方差S2=[（5-7）2+（7-7）2+（11-7）2+（3-7）2+（9-7）2]=8．结论正确，故D符合题意；故选：D．根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．精品文档，欢迎下载！本题考查了折线统计图，主要利用了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵4m=a，8n=b，∴22m+6n=22m×26n=（22）m•（23）2n=4m•82n=4m•（8n）2=ab2，故选：A．将已知等式代入22m+6n=22m×26n=（22）m•（23）2n=4m•82n=4m•（8n）2可得．本题主要考查幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则．9.【答案】C【解析】解：设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据题意，得：，解得：20≤x＜25，∵x为整数，∴x=20、21、22、23、24，∴该店进货方案有5种，故选：C．设该店购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“购进甲乙商品不超过4200元的资金、两种商品均售完所获利润大于750元”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值即可得出答案．本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式组．10.【答案】A【解析】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，∴5cosθ-5sinθ=5，∴cosθ-sinθ=，∴（sinθ-cosθ）2=．故选：A．根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，正方形的面积，难度适中．11.【答案】D【解析】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴＜-＜，∴1＜-＜，当-＜时，b＞-3a，∵当x=2时，y=4a+2b+c=0，∴b=-2a-c，∴-2a-c＞-3a，∴2a-c＞0，故②正确；③∵-，∴2a+b＞0，∵c＞0，4c＞0，∴a+2b+4c＞0，故③正确；④∵-，∴2a+b＞0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞-4ab，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，dengx∴，即，精品文档，欢迎下载！故④正确．故选：D．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵∠ADC=90°，CD=AD=3，∴AC=3，∵AB=5，BG=，∴AG=，∵AB∥DC，∴△CEK∽△AGK，∴==，∴==，∴==，∵CK+AK=3，∴CK=，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，∴EM=AD=3，AM=DE=2，∴MG=，∴EG==，∵=，∴EK=，∵∠HEK=∠KCE=45°，∠EHK=∠CHE，∴△HEK∽△HCE，∴==，∴设HE=3x，HK=x，∵△HEK∽△HCE，∴=，∴=，解得：x=，∴HK=，故选：B．根据等腰直角三角形的性质得到AC=3，根据相似三角形的性质得到==，求得CK=，过E作EM⊥AB于M，则四边形ADEM是矩形，得到EM=AD=3，AM=DE=2，由勾股定理得到EG==，求得EK=，根据相似三角形的性质得到==，设HE=3x，HK=x，再由相似三角形的性质列方程即可得到结论．本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．13.【答案】n（m+n）2【解析】解：m2n+2mn2+n3=n（m2+2mn+n2）=n（m+n）2．故答案为：n（m+n）2．首先提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.【答案】90°【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD，∵BE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°．精品文档，欢迎下载！根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB=180°，再根据角平分线的定义可得∠1=∠ABD，∠2=∠CDB，进而可得结论．此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．15.【答案】1【解析】解：由题意知-|a-1|=≥0，∴a=1，b=1，则a b=（1）1=1，故答案为：1．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，结合二次根式的性质可求出a，b的值，再代入代数式计算即可．此题考查了同类项的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．16.【答案】10【解析】解：设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：=，解得：x=10，经检验得：x=10是原方程的根，答：江水的流速为10km/h．故答案为：10．直接利用顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速，进而得出等式求出答案．此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．17.【答案】75或25【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．在Rt△ABD中，AD=AB•sinB=10，BD=AB•cosB=10；在Rt△ACD中，AD=10，AC=5，∴CD==5，∴BC=BD+CD=15或BC=BD-CD=5，∴S△ABC=BC•AD=75或25．故答案为：75或25．过点A作AD⊥BC，垂足为D，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD，BD，CD的长，进而可得出BC的长，再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积．本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键． 18.【答案】√2+√6 【解析】解：如图，连接CE′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA=BC ，BD=BE ，AC=4，DE=2， ∴AB=BC=2，BD=BE=2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD′E′， ∴D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90′，∠D′BD=∠ABE′， ∴∠ABD′=∠CBE′， ∴△ABD′≌△CBE′（SAS ）， ∴∠D′=∠CE′B=45°， 过B 作BH ⊥CE′于H ， 在Rt △BHE′中，BH=E′H=BE′=， 在Rt △BCH 中，CH==，∴CE′=+，故答案为：．如图，连接CE′，根据等腰三角形的性质得到AB=BC=2，BD=BE=2，根据性质的性质得到D′B=BE′=BD=2，∠D′BE′=90′，∠D′BD=∠ABE′，由全等三角形的性质得到∠D′=∠CE′B=45°，过B 作BH ⊥CE′于H ，解直角三角形即可得到结论． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．19.【答案】解：（1）2√23+|（-12）-1|-2√2tan30°-（π-2019）=2√63+2-2√2×√33-1 =2√63+2-2√63-1 =1；（2）原式=a (a +a )(a −a )×a −a a -1a +a ×a −a a=-a a (a +a )-a −aa (a +a ) =-aa (a +a ) =-1a +a ，当a =√2，b =2-√2时，原式=-√2+2−√2=-12． 【解析】精品文档，欢迎下载！（1）根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、分式的通分、约分法则、实数的混合运算法则是解题的关键． 20.【答案】解：（1）80～90的频数为36×50%=18， 则80～85的频数为18-11=7， 95～100的频数为36-（4+18+9）=5， 补全图形如下：扇形统计图中扇形D 对应的圆心角度数为360°×536=50°；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数为12， 所以抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的概率为1220=35． 【解析】（1）由B 组百分比求得其人数，据此可得80～85的频数，再根据各组频数之和等于总人数可得最后一组频数，从而补全图形，再用360°乘以对应比例可得答案； （2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽取的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．21.【答案】解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元， 根据题意，得：{10a +10a =500015a +20a =8500， 解得{a =200a =300，答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）设当每间房间定价为x 元，m =x （20-a −20020×2）-80×20=−110(a −200)2+2400，∴当x =200时，m 取得最大值，此时m =2400，答：当每间房间定价为200元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2400元． 【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到m 关于乙种房价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．本题考查二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．22.【答案】解：（1）将点A （4，1）代入y =a 2−3aa， 得，m 2-3m =4， 解得，m 1=4，m 2=-1，∴m 的值为4或-1；反比例函数解析式为：y =4a ；（2）∵BD ⊥y 轴，AE ⊥y 轴， ∴∠CDB =∠CEA =90°， ∴△CDB ∽△CEA ， ∴aaaa =aaaa ， ∵CE =4CD ， ∴AE =4BD ， ∵A （4，1）， ∴AE =4， ∴BD =1， ∴x B =1， ∴y B =4a =4， ∴B （1，4），将A （4，1），B （1，4）代入y =kx +b ， 得，{a +a =44a +a =1， 解得，k =-1，b =5，精品文档，欢迎下载！∴y AB =-x +5，设直线AB 与x 轴交点为F ， 当x =0时，y =5；当y =0时x =5， ∴C （0，5），F （5，0）， 则OC =OF =5，∴△OCF 为等腰直角三角形， ∴CF =√2OC =5√2，则当OM 垂直CF 于M 时，由垂线段最知可知，OM 有最小值， 即OM =12CF =5√22． 【解析】（1）将点A （4，1）代入y=，即可求出m 的值，进一步可求出反比例函数解析式；（2）先证△CDB ∽△CEA ，由CE=4CD 可求出BD 的长度，可进一步求出点B 的坐标，以及直线AC 的解析式，直线AC 与坐标轴交点的坐标，可证直线AC 与坐标轴所围成和三角形为等腰直角三角形，利用垂线段最短可求出OM 长度的最小值．本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质，垂线段最短等定理，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角形的性质． 23.【答案】证明：（1）∵C 是aa ⏜的中点， ∴aa⏜=aa ⏜， ∵AB 是⊙O 的直径，且CF ⊥AB ， ∴aa⏜=aa ⏜， ∴aa ⏜=aa ⏜， ∴CD =BF ，在△BFG 和△CDG 中，∵{∠a =∠aaa∠aaa =∠aaa aa =aa， ∴△BFG ≌△CDG （AAS ）；（2）如图，过C 作CH ⊥AD 于H ，连接AC 、BC ，∵aa⏜=aa ⏜， ∴∠HAC =∠BAC ，∵CE ⊥AB ， ∴CH =CE ， ∵AC =AC ，∴Rt △AHC ≌Rt △AEC （HL ）， ∴AE =AH ， ∵CH =CE ，CD =CB ，∴Rt △CDH ≌Rt △CBE （HL ）， ∴DH =BE =2， ∴AE =AH =2+2=4， ∴AB =4+2=6， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°， ∴∠ACB =∠BEC =90°， ∵∠EBC =∠ABC ， ∴△BEC ∽△BCA ， ∴aa aa =aaaa ，∴BC 2=AB •BE =6×2=12， ∴BF =BC =2√3． 【解析】（1）根据AAS 证明：△BFG ≌△CDG ；（2）如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明Rt △AHC ≌Rt △AEC （HL ），得AE=AH ，再证明Rt △CDH ≌Rt △CBE （HL ），得DH=BE=2，计算AE 和AB 的长，证明△BEC ∽△BCA ，列比例式可得BC 的长，就是BF 的长．此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．24.【答案】解：（1）将二次函数y =ax 2（a ＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y =a （x -1）2-2， ∵OA =1，∴点A 的坐标为（-1，0），代入抛物线的解析式得，4a -2=0， ∴a =12，∴抛物线的解析式为y =12(a −1)2−2，即y =12a 2−a −32． 令y =0，解得x 1=-1，x 2=3， ∴B （3，0）， ∴AB =OA +OB =4， ∵△ABD 的面积为5， ∴a △aaa =12aa ⋅a a =5，精品文档，欢迎下载！∴y D =52，代入抛物线解析式得，52=12a 2−a −32， 解得x 1=-2，x 2=4， ∴D （4，52），设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴{4a +a =52−a +a =0，解得：{a =12a =12，∴直线AD 的解析式为y =12a +12．（2）过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E （a ，12a 2−a −32），则M （a ，12a +12），∴aa =12a +12−12a 2+a +32=−12a 2+32a +2，∴S △ACE =S △AME -S △CME =12×aa ⋅1=12(−12a 2+32a +2)×1=−14(a 2−3a −4)， =−14(a −32)2+2516，∴当a =32时，△ACE 的面积有最大值，最大值是2516，此时E 点坐标为（32，−158）． （3）作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交轴于点P ，∵E （32，−158），OA =1，∴AG =1+32=52，EG =158，∴aa aa=52158=43，∵∠AGE =∠AHP =90°∴sin ∠aaa =aaaa =aaaa =35， ∴aa =35aa ， ∵E 、F 关于x 轴对称， ∴PE =PF ，∴PE +35AP =FP +HP =FH ，此时FH 最小， ∵EF =158×2=154，∠AEG =∠HEF ，∴aaa∠aaa =aaa∠aaa =aa aa =aaaa =45， ∴aa =45×154=3．∴PE +35PA 的最小值是3． 【解析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A （-1，0），可求得a 的值，由△ABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A 、D 的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S △ACE =S △AME -S △CME 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交轴于点P ，则∠BAE=∠HAP=∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP=FP+HP ，此时FH 最小，求出最小值即可． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠DAC =∠CAB =45°，∴∠FDE =∠CAB ，∠DFE =∠DAC ，∴∠FDE =∠DFE =45°，精品文档，欢迎下载！ ∴∠DEF =90°，∴△DEF 是等腰直角三角形；（2）设OE =t ，连接OD ， ∴∠DOE =∠DAF =90°，∵∠OED =∠DFA ，∴△DOE ∽△DAF ，∴aa aa =aa aa =√22，∴aa =√2t ， 又∵∠AEF =∠ADG ，∠EAF =∠DAG ，∴△AEF ∽△ADG ，∴aa aa =aaaa ，∴aa ⋅aa =aa ⋅aa =4√2a ， 又∵AE =OA +OE =2√2+t ，∴aa =√2a，∴EG =AE -AG =222a ，当点H 恰好落在线段BC 上∠DFH =∠DFE +∠HFE =45°+45°=90°，∴△ADF ∽△BFH ，∴aa aa =aa aa =4−√2a4，∵AF ∥CD ，∴aa aa =aa aa =√2a4，∴aa aa =√2a，∴4−√2a 4=√2a42a ，解得：t 1=√10−√2，t 2=√10+√2（舍去）， ∴EG =EH =222a =(√10−√2222102=3√10−5√2；（3）过点F 作FK ⊥AC 于点K ，由（2）得EG =2，∵DE =EF ，∠DEF =90°，∴∠DEO =∠EFK ，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△aaa=12aa⋅aa=3+8a2√2+a．【解析】（1）由正方形的性质可得∠DAC=∠CAB=45°，根据圆周角定理得∠FDE=∠DFE=45°，则结论得证；（2）设OE=t，连接OD，证明△DOE∽△DAF可得AF=，证明△AEF∽△ADG可得AG=，可表示EG的长，由AF∥CD得比例线段，求出t的值，代入EG 的表达式可求EH的值；（3）由（2）知EG=，过点F作FK⊥AC于点K，根据即可求解．本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。
