应用回归分析试卷

数学必修三回归分析经典题型1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为93.7319.7ˆ+=x y用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ） A.身高一定是145.83cm B.身高在145.83cm 以上 C.身高在145.83cm 以下 D.身高在145.83cm 左右 【答案】D【解析】解：把x=10代入可以得到预测值为145.83，由于回归模型是针对3-9岁的孩子的，因此这个仅仅是估计值，只能说左右，不能说在上或者下，没有标准。

选D2．对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程$y ＝$a＋b $x ，关于回归系数b $，下面叙述正确的是________．①可以小于0；②大于0；③能等于0；④只能小于0. 【答案】①【解析】由b$和r 的公式可知，当r ＝0时，这两变量不具有线性相关关系，但b 能大于0也能小于0.3．对具有线性相关关系的变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，它们之间的线性回归方程是$y ＝3x ＋20，若101i i x =∑＝18，则101i i y =∑＝________.【答案】254【解析】由101i i x =∑＝18 1.8.因为点在直线$y ＝3x ＋2025.4. 所以101i i y =∑＝25.4×10＝254.4．下表是某厂1～4由散点图可知，用水量其线性回归直线方程是y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于________． 【答案】5.252.53.5，∵回归直线方程过定点， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a. ∴a ＝5.25.5．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到线性回归方程$y ＝b$x ＋$a ，那么下列说法正确的是________．①直线$y ＝b$x ＋$a 必经过点(x ，y )； ②直线$y ＝b$x ＋$a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点； ③直线$y ＝b$x ＋$a 的斜率为1221ni ii nii x ynx y xnx==--∑∑；④直线$y ＝b $x ＋$a 和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的偏差$21()ni i i b a y x =⎡⎤⎣⎦∑$－＋是该坐标平面上的直线与这些点的最小偏差．【答案】①③④【解析】回归直线的斜率为b ，故③正确，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心，故①正确，②不正确．6．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 【答案】185【解析】设父亲身高为173176，b$＝ $a＝－b $ 176－1×173＝3， ∴$y ＝x ＋3，当x ＝182时，$y ＝185.7．下表是关于宿州市服装机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y （万元）的几组统计数据：）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于的线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？【答案】解：（1）0.08 1.23yx =+线性回归方程为 （2）估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元. 【解析】(1)先求然后利用公可求出回归直线y ax b =+方程.(2)把x=10代入回归直线方程可得y 的值，就可得所求的值.解：（1906543222222512=++++=∑=i ixΘ又x y 23.108.0+=∴线性回归方程为 （2）把10=x 代入回归方程得到：38.121023.108.0=⨯+=y∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元.。

应用回归分析证明题及答案n n一 . 证明残差满足地约束条件：0 ，0 ；e ix i e ii 1i 1证明： 由偏导方程即得该结论：nQQ1 ? 0? x ) 2 ( y 0 i 1 i ?i n1?? x )x 2 ( y 0 ii i?1 11 i 1 证毕 .二 . 证明平方与分解式： 证明：nSSTi 1 nSST SSR SSE ；n2y)2y) y ? y ? ( y ( y i ii ii 1 nny ) 2 2( y ? ? y ? )( y? ( y ) 2 ( y y ) y i ii ii i i 1i 1i 1nnne ( ? ? x ) 上式第三项e y ? 22e y i ii i 0 1 i i 1i 1i 1nn? 0?12 ex e 0i i ii 1i 1nny )22即SST( y ?( y ? )y i i i i 1i 1SSR SSE证毕 .三 . 证明三种检验地关系： ? 1?2 L xx?r n 1 2 2SSR/1SSE/(n 1 L xx 2 2（ 1） t=；(2) = F= = = t? 2)r证明： 由于? 1L xy L xx L yyLxx L yySSR, SST2? 1r 2SST,rSSRLxx 2 eiSST n SSR 2?2n 2? 1r L yy n 2 Lxx ?r n 1 2 2所以t;L SSRryy? 2SSR/1 SSE/(n L 1 xx2F.?2)证毕.21 n( x i (x ix)2四．证明： ；Var (e ) 1i 2x)证明 ：由于? 0? x ) y ? ( e y y y i i i i1 i ? ( x y x ) i 1 i n(x x) y 1n iiy iy i( x ix )L xxi 1于为n(x x) y 1n i L xx iVar(e i ) Var y iy i( x ix) i 1n( x x) y 1 i L xx(x i x) y iL xx iVar y i2 Var y iVar( x ix)ni 1n1n n2Cov y i , y i2Cov y i , (x i x)i 1 ( x x) y 1n i i2Covy i , ( x ix)L xx 2i 121 n( x i x)L xx2 1 n2 ( x i x)Lxx2222221 n( x i x)L xx21证毕 .x L xx? , ? ) 2；五．证明：在一元回归中， Cov( 0 1 证明 ：n( x i L xxx) y i( x i L xxx ) y i1n ? , ? ) Cov( Covy x ,0 1 ii 1nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1 i 1 nn1n ( x x ) ( x x ) i L xx iCovx y , y i iL xx i 1i 1 n1 n ( x x ) ( x x )2 iL xx iL xxx i 1xL xx2证毕 .1p ?22地无偏估计；六．证明： 为误差项方差SSE n 121 n( x i( x ix)2证明 ：由于D (e )1i 2x)22而 E( e i)D( i e )E(i e )D(i e )所以n1 p 1 p 1p 2E ( ?2) 2)E ( ESSEe i n 1 p 1p 1 n 1 i n1n2D(e ) (1 h ) iiin 1 i 1n 21 i 1(n p 1)n 1证毕 .E(β?) β；D (β?) 2(X 1七．证明： X ) ；证明 ：E(β?) 1 X1 X (X X ) y (X X ) ε yE E 1X β (X X ) X E (X X ) 1X X β βD(β?) Cov β?, β? (X X ) 1X y ,( X X ) 1 XCov y 1 1(X X ) X Cov y , y X ( X X ) 121(X X ) XIX (X X )21(X X )证毕 .2I 2I 八．证明：在多元线性回归中， 假设 ε N (X β, N (0, ) ，则随机向量 y ) ；n n 2I 九．证明：当 y N ( X β, ) 时，则：n （ 1） β? 证明：2(X 1) ；（ 2） SSE/2N (β, X ) 1) ；(n p β? 1 Xβ? 为 y 地线性变换； （ 1）因为 ( X X ) y ， X 为固定地设计矩阵，因此， 2I2Iβ? 服从正态分布，且 又当 ε N ( 0, N ( X β, ) 时，有随机向量 y ) ，所以 n nE(β?) β, D (β?) β? 2(X X ) 1 ，即有 2N (β, (X X ) 1) ；（ 2）：由于SSE ee ( y - y ?) (y - y ?)(I - H)y y (I - H)y(I - H)y y Ny( X β ε) N ( X β ε) NX 0εN ε2借助于定理：设 X N (0, I n ) ，A 为n n 对称阵，秩为 r ，则当 A 满足：A A ，22r二次型 X A X，只需证明： n p 1 即可；rk ( N ) 因为 N 为幂等阵，所以有 rk ( N ) tr ( N ) ，故1 X1Xrk (N ) tr I X (X X ) n n n n tr X ( X X ) 1tr (X X ) X X p 1证毕 .β? 与残差向量 十．证明：在多元线性回归中，最小二乘估计e 不相关，即 Cov(β?,e ) 证明：0；Cov(β?, e ) 1 X (X X ) y ,( I H )y Cov 1(X (X (X 0X ) X X ) X X ) X Cov y , y (I H ) 12 I ( I I ( I H )X (X 1 21X ) X )证毕 .ne t e t 1t 2 ?) ，其中 ?十一．证明： DW2(1 ； nn2 2etet 1t 2t 2证明： 由于nnnn222 (e t ne t 1 )etet n2e t e t 11t 2t 2t 2t 2 DW2 2 etett 2t 2ne t e t1n n2 2 t 2n如果认为?，所以，则有 etet 12 t 2t 2ett 2ne t e t 1t 2n?) .2 12(1 DW2 ett 2证毕 .十 二 . 试 证 明 ： 在 二 元 线 性 回 归 模 型 y i 1xi x 2i12 i中，当 x 1 与 x 2 相互独立时，对回归系数与 2 地 OLS 估计值，等于 y i 分别对1x 1 与 x 2 做简单线性回归时回归系数地 OLS 估计值；。

一 选择题1、对于一元线性回归01+(1,2,,)i i i y x i n ββε=+=K ,()0i E ε=,2var()i εσ=,cov(,)0(i j)i j εε=≠,下列说法错误的（ B C ）(A) 01ββ，的最小二乘估计01ˆˆββ，都是无偏估计； (B) 01ββ，的最小二乘估计01ˆˆββ，对12,,n y y y K ，是线性的； (C) 01ββ，的最小二乘估计01ˆˆββ，之间是相关的； (D) 若误差服从正态分布，01ββ，的最小二乘估计和极大似然估计是不一样的.2、下列说法错误的是 （ B ） (A)强影响点不一定是异常值； (B)在多元回归中，回归系数显著性的t 检验与回归方程显著性的F 检验是等价的；(C)一般情况下，一个定性变量有k 类可能的取值时，需要引入k-1个0-1型自变量；(D)异常值的识别与特定的模型有关.3、在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释; ②收集数据{(x ,y )},i=1,2,,n i i L ； ③求线性回归方程; ④求未知参数; ⑤根据所搜集的数据绘制散点图。

如果根据可行性要求能够作出变量, x,y 具有线性相关结论，则在下列操作中正确的是（ D ）A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③① 4、下列说法中正确的是（B ）A.任何两个变量都具有相关关系 ；B.人的知识与其年龄具有相关关系 ；C ．散点图中的各点是分散的没有规律 ；D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的。

5、下面的各图中，散点图与相关系数r 不符合的是（ B ）6、下面给出了4个残差图，哪个图形表示误差序列是自相关的（B ）7、下列哪个岭迹图表示在某一具体实例中最小二乘估计是适用的（D ）8、在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的 ( B ) (A) 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上； (B) 解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上；(C) 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上； (D) 可以选择两个变量中任意一个变量；9、一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为ˆ7.1973.93yx =+，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ D ）A ．身高一定是145.83cmB ．身高超过146.00cmC ．身高低于145.00cmD ．身高在145.83cm 左右10、炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( B )A.确定性关系B.相关关系C.函数关系D.无任何关系 11、对相关性的描述正确的是（ C ）A ．相关性是一种因果关系B ．相关性是一种函数关系C ．相关性是变量与变量之间带有随机性的关系D ．以上都不正确 12、∑=ni i i y x 1等于( D )A.121)(y x x x n +++ΛB.121)(x y y y n +++ΛC.Λ++2211y x y xD.n n y x y x y x +++Λ2211 13、设有一个回归方程为x y 5.22-=，则变量x 增加一个单位时（ C ）A ．y 平均增加2.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少2.5个单位 D.y 平均减少2个单位 14、x 与y 之间的线性回归方程a bx y +=必定过( D )A.(0,0)点B.(0,x )点C.(0,y )D.(y x ,)15、 某化工厂为预测某产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系,现取了8对观测值,计算得5281=∑=i ix,22881=∑=i iy,478812=∑=i ix,184981=∑=ii i yx ,则y 与x 的回归方程是( A )A.x y 62.247.11+=B.x y 62.247.11+-=C.62.247.11+=x yD.x y 62.247.11-=16、线性回归方程a bx y +=有一组独立的观测数据),(11y x ,),(,),,(22n n y x y x Λ,则系数b 的值为( C )A.∑∑==---ni ini i iy yy y x x121)())(( B.∑∑==--ni ini i ixy y x x121))((C.∑∑==---ni i ni i ix x y y x x121)())(( D.∑∑==--n i ini iy y x x1212)()(17、已知x 、y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程a bx y +=必过点（ D ）A ．（2，2） B.(1.5, 0) C. (1, 2) D.(1.5, 4) 18、对于相关系数r ,叙述正确的是( C )A.r r ),,0(+∞∈越大,相关程度越大,反之,相关程度越小B.r r ),,(+∞-∞∈越大,相关程度越大,反之,相关程度越小C.1≤r ,且r 越接近于1,相关程度越大,r 越接近于0,相关程度越小D.以上说法都不对19、由一组样本数据),(11y x ,),(,),,(22n n y x y x Λ得到的回归直线方程a bx y +=，那么下面说法不正确的是（ B ）A ．直线a bx y +=必经过点),(y xB ．直线a bx y +=至少经过点),(11y x ,),(,),,(22n n y x y x Λ中的一个点C ．直线a bx y +=的斜率为∑∑==--ni ini ii x n xyx n yx 1221D.直线a bx y +=和各点),(11y x ,),(,),,(22n n y x y x Λ的偏差[]∑=+-ni i i a bx y 12)(是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 20、下列说法中错误的是( B )A.如果变量x 与y 之间具有线性相关关系,则我们根据试验数据得到的点(i i y x ,)(=i 1,2,n ,Λ)将散布在某一条直线附近B. 如果变量x 与y 之间不具有线性相关关系,则我们根据试验数据得到的点(i i y x ,)(=i 1,2,n ,Λ)不能写出一个线性方程C. 设x 、y 是具有线性相关关系的两个变量,且y 关于x 的线性回归方程为a bx y +=,b 叫做回归方程的系数D. 为使求出的线性回归方程有意义,可先用画出散点图的方法来判断变量x 与y 之间是否具有线性相关关系 二 填空题6. 在下列各量与量的关系中，既不是相关关系，也不是函数关系的为 （3）和（5） .（只填序号）(1)正方体的体积与棱长间的关系; (2)一块农田的水稻产量与浇水量之间的关系; (3)人的身高与血型; (4)家庭的支出与收入; (5)A 、B 两户家庭各自的用电量. 7. 设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系.它们的相关系数是r ,y 关于x 的回归直线的斜率是b ,纵截距是a ,那么必有b 、r 符号相同 (填符号关系)因为∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx b 1221，∑∑∑===---=ni ni i ini ii y y x xyx n yx r 112221)()(8. 假设y 与x 之间具有如下的双曲线相关关系:x b a y +=1,作变换u =1y ,=v 1x,则模型可转化为线性回归模型:bv a u +=. 9. 已知具有线性相关关系的变量x 和y ,测得一组数据如下表:若已求得它们的线性回归方程中的系数为 6.5,则这条线性回归方程为5.25.6-=x y由题可知30 ,5==y x ,又已知5.6=b5.2 -=-=x b y a 所以, 所以 5.25.6-=x y10. 人的身高x (单位:cm)与体重y (单位:kg)满足线性回归方程712.85849.0-=x y ,若要找到体重为41.638kg 的人 不一定 是在身高150cm 的人中(填“一定”，“不一定”).根据线性回归直线方程，只能求出相应于x 的估计值y .因此填“不一定”. 11. 有下列关系:(1)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系;(2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系;(3)苹果的产量与气候之间的关系;(4)森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;(5)学生与他(她)的学号之间的关系.其中有相关关系的是 (1)、（3）、（4） .判断两个变量间是否具有相关性,就是判断它们之间有没有科学的,真实的某种关系.易知(1)(3)(4)是具有相关性的,(2)是函数关系,(5)不具有相关性,因为学生与学号之间没有必然联系.12. 若施化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为2505+=x y ,当施化肥量为80kg 时,预计的水稻产量为 650kg .13. 已知线性回归方程{}),19,13,7,5,1(455.1∈+=x x y 则=y 58.5 . 14. 对于线性回归方程25775.4+=x y ,当28=x 时,y 的估计值是 390 。

数093 刘海婷 200911503025 第一题1.输入变量、数据后，运用spss 软件分析得表得y 关于x1,x2,x3的相关系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000.1547.0398.0547.0000.1113.0398.0113.0000.1x 2. y 关于x1,x2,x3的三元线性回归方程可根据下表得y=-384.280+3.754x1+7.101x2+12.447x33.对所求方程做拟合优度检验R^2=0.806 比较接近1，拟合优度较好4. 对回归方程做显著性检验根据表F（3，6）=4.76＜8.283，回归方程效果显著，拒绝假设。

05.01.178,t(6)=1.943＜2.46505.0故x3未通过显著性检验6.由上题知x3未通过显著性检验，剔除x3重新建立回归方程，再做回归F=11.117＞4.76 故回归方程显著t-检验值都大于t=1.943 故回归系数显著.005常量的置信水平为95%的置信区间（-780.060 , 83.500）X1的置信水平为95%的置信区间（-0.977 , 8.485 ）X2的置信水平为95%的置信区间(0.053 , 14.149 )X3的置信水平为95%的置信区间(-13.415 , 38.310 )8.求标准化回归方程把各变量转化为标准变量后重新建立回归方程，再做回归方程分析得回归方程y=-4.837E-16+0.385x1+0.53x2+0.277x39.当95%，计算其置信区间。

预测值为270.08966置信水平为95%的置信区间为（206.05895，334.12038）10 做异常值检验。

则异常值为220.00 68.0045.001.50和 -1.220390.50110.第二题1 用普通最小二乘法建立y 对x 的回归方程由表回归方程为y=-1.435+0.176x查表：L d =1.2；U d =1.41 又D-W 值为0.663＜L d =1.2由D-W 值和残差图可知序列为正相关。