天津市高二上学期期末数学试卷

天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程干脆计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定干脆写出结果即可推断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算实力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有微小值，无极大值B. 无微小值有极大值C. 既有微小值，又有极大值D. 既无微小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可推断函数的极值状况。

100 36 离
A．6
B．10
C．12
D．14
2．抛物线 y2 6x 的焦点坐标为（ ）
A． (3, 0)
பைடு நூலகம்
B．
3 2
,
0
C． (0,3)
3．双曲线 C : 9x2 16 y2 144 的实半轴长为（ ）
D．
0,
3 2
A．16
B．8
C．4
D．3
4．已知递增等比数列an ， a1 0 ， a2a4 64 ， a1 a5 34 ，则 a6 （ ）
天津市河东区 2023-2024 学年高二上学期期末质量检测数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．如果椭圆 x2 y2 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离为 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距
.
14．已知数列an 的首项 a1 3，且数列log3 an 是以 2 为公差的等差数列，则
a3
．
15．已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的左、右焦点分别为
F1, F2
．点 A
在C
上，点 B
在
y
轴上，
F1 A
F1B,F2 A
2 3
F2 B
，则 C
的离心率为
．
三、解答题
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的一个顶点为
A(0,1) ，焦距为 2
3．
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)过点 P(2,1) 作斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 B，C，直线 AB，AC 分别与

一、单选题1．已知向量，，若，则k 的值为（ ）()1,2,3a =- ()2,,6m k =-- //a mA ．B ．C ．D ．44-14-14【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解.【详解】因为，所以解得， //a m 12326k -==--4k =故选:D.2．抛物线 的焦点坐标是（ ） 24y x =A ． B ． ()1,0()0,1C ．D ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【详解】抛物线 的方程化为标准方程为： ， 24y x =214x y =故 ，则焦点坐标为 ，18p =1(0,)16故选：D.3．数列中，若，，则（ ） {}n a 11a =111(1)n n a n a -=+>4a =A ．B ．C ．2D ．325314【答案】B【分析】,先求出,再由求,由求即可. 1111,1(1)n n a a n a -==+>2a 2a 3a 3a 4a 【详解】, 1111,1(1)n n a a n a -==+> ，，，21121a ∴=+=313122a =+=4151332a =+=故选：B.4．圆与恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） ()()2214x a y---=221x y +=A ．B ．C ．D ．±±【答案】D【分析】根据公切线的条数判断两圆的位置关系，进而列出等式求解. 【详解】因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，，解得， 21=+a =±故选:D.5．椭圆与曲线的（ ） 221259x y +=()22:19925x y C k k k -=<--A ．焦距相等 B ．离心率相等 C ．焦点相同 D ．曲线是双曲线C 【答案】A【分析】根据椭圆的几何性质，曲线，化简为()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--，即可解决.【详解】对于椭圆可得焦点在轴上，，221259x y +=x 5,3,4a b c ===所以焦距为8，离心率为，焦点为，45()4,0±曲线，化简为，()22:19925x y C k k k -=<--()22:19925x y C k k k+=<--因为，9k <所以，且， 90,250k k ->->259k k ->-所以曲线表示焦点在轴上椭圆， C y所以，4a b c ====焦距为8，()0,4±故选：A6．如图，在平行六面体中， AC 与BD 的交点为M .设，1111ABCD A B C D -11111,,,===A B a A D b A A c 则下列向量中与相等的向量是（ ）1B MA ．B ．1122a b c --+ 1122a b c -++C ．D ．1122a b c -+ 1122a b c ++ 【答案】B【分析】根据代入计算化简即可.1112=+=+B M B B BM c BD u u u u r u u u r u u u r r u u u r【详解】 ()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c u u u u r u u u r u u u r r u u u r r u u r u u u r r r r 故选：B.7．已知等比数列{an }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{bn }是等差数列，其前n 项和为Sn ，且b 7＝a 7，则S 13＝（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B【解析】由等比数列的性质可得，再由等差数列的求和公式和性质，可得答案． 74a =【详解】等比数列中，，{}n a 31174a a a =可得，解得，2774a a =74a =等差数列中，{}n b 774b a ==则． 131137113()13134522S b b b =⨯+==⨯=故选：．B 【点睛】本题考查等比数列的性质以及等差数列的性质与求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8．若直线与圆C ：相切，则①；②数列340()x y n n N *-+=∈()()22220n n x a y a -=+>165a ={}n a 为等差数列；③圆C 可能经过坐标原点；④数列的前10项和为23.以上结论正确的个数为{}n a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】利用距离公式可求，从而可判断①②的正误，由可判断③的正误，计算65n n a +=42a =出后可判断④的正误.10S 【详解】因为直线与圆 相切，340()x y n n N *-+=∈222:(2)(0)n n C x y a a -+=>所以圆C 的圆心(2，0)到直线的距离 ，n d a ==故 ，则 ，故①错误； 65n n a +=175a =数列是首项为公差为的等差数列，故②正确; {}n a 7515当时，，圆C 经过坐标原点，故③正确； 4n =42a =因为 ，所以的前10项和为 ，故④正确.65n n a +={}n a ()1071612352⨯+⨯=故选：C.9．如图第1个图案的总点数记为，第2个图案的总点数记为，第3个图案的总点数记为1a 2a 3a ，…依此类推，第n 个图案的总点数记为，则（ ） n a 423520223342029999a aa a a a a a ++++=A ．B ．C ．D ．20212022202220212023202220222023【答案】A【分析】由题意可得时，从而可得，再利2n ≥33n a n =-()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--用裂项相消求和法可求得答案.【详解】由题意，，当，时，， 11a =1n >*n ∈N 33n a n =-又当，时，， 1n >*n ∈N ()()19911133311n n a a n n n n n n+===--⨯--∴ 233445202220239999a a a a a a a a+++⋅⋅⋅+=()()()()1111111112233420212022-+-+-+⋅⋅⋅+-． 12021120222022=-=故选：A10．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线P 22221(0,0)x y a b a b-=>>2222x y a b +=+1F 2F 的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（ ）． 21tan 3PFF ∠=AB CD【答案】B【分析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=1||3PF a =2||PF a =再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果. 1290F PF ∠=︒【详解】解：根据双曲线定义：，， 12||||2PF PF a -=21tan 3PF F ∠=∴，12||3||PF PF =∴，，， 1||3PF a =2||PF a=r c ∴是圆的直径，12F F ∴，在中，，得．1290F PF ∠=︒12Rt F PF △222(3)(2)a a c +=e 故选．B 【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.二、填空题11．直线与直线垂直，则实数的值为__________. 10x y +-=220x my +-=m 【答案】2-【分析】直接利用两直线垂直，求出.m 【详解】直线与直线垂直, 10x y +-=220x my +-=所以，解得： 20m +=2m =-故答案为：2-12．已知双曲线C :，则双曲线C 的实轴长为221(0)2x y a a a -=>___________.【答案】4【分析】先求出渐近线方程，再利用点到直线距离公式求出进而可求解. 2a =【详解】由题，双曲线的一条渐近线方程为，y x ==右焦点的距离为，解得，)d ===2a =所以双曲线的实轴长为， 4=故答案为:.413．已知圆，则过点的最短弦所在的直线方程是_________. 22460x y x y +--=()1,1M 【答案】230x y +-=【分析】由题知，弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直，进而求解直线方程即可. M l 【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点的连线与直线垂直, M l 因为圆，即，圆心为：，22460x y x y +--=()()222313x y -+-=()2,3O所以，所以， 31221OM k -==-112l OM k k -==-所以所求直线方程为：. 230x y +-=故答案为：.230x y +-=14．在直三棱柱中， ，，分别是，的中点，111ABC A B C -90BCA ∠=︒D F 11A B 11A C ，则与所成角的余弦值是_____________.1BC CA CC ==BD AF【分析】已知是直三棱柱，取的中点，连接，，可得和所成111ABC A B C -BC O ,AO FO DF AF FO 角即为与所成角．求出边长，利用余弦定理求解角的大小． BD AF 【详解】，分别是，的中点， D F 11A B 11A C 取的中点，连接，，BC O ,AO FO FD 则且，所以为平行四边形，, //BC FD 12FD BC BO ==BDFO //BD FO 那么和所成角即为与所成角．AF FO BD AF 设，，是直三棱柱，12BC CA CC ===90BCA ∠=︒111ABC A B C -AO ∴=AF =FO BD ==222cos 2AF FO AO AFO AF FO +-∠=⋅三、双空题15．抛物线的焦点到准线的距离是___________；若点在抛物线上且与焦点的距离2:8C y x =A C 为6，则点的坐标为___________. A【答案】 4 或(4,(4,-【分析】根据抛物线几何意义，抛物线定义即可解决. 【详解】由题知，抛物线，开口向右，， 2:8C y x =4p =焦点为，准线为， (2,0)2x =-所以焦点到准线的距离是4，因为点在抛物线上且与焦点的距离为6， A C 所以点到准线的距离为6， A 所以，即，26A x +=4A x =所以，解得232A y =A y =±所以点的坐标为或 A (4,(4,-故答案为：4；或(4,(4,-16．数列的前n 项和为，，数列的前n 项和为，则__________；{}n a n S 2n n S a =-{}2n a n T n a =nT =___________.【答案】112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】通过，得到，求出的值，则，则求出，利1n n n a S S -=-112n n a a -=1a 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭1214n na -⎛⎫= ⎪⎝⎭用等比数列求和公式即可得到.41134n n T ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】,2n n S a =- 时，,化为：，2n ≥()1122n n n n n a S S a a --=-=---112n n a a -=时,,解得.1n =1112a S a ==-11a =数列是等比数列,首项为1,公比为,∴{}n a 12,112n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,1122,1124n n n nS a --⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-故答案为：；. 112n -⎛⎫⎪⎝⎭41134nnT ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题17．圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. C (4,0)x (1)求圆的标准方程；C (2)已知直线l ：与圆相交于两点，求弦长的值； 3410x y +-=C ,A B AB (3)过点引圆的切线，求切线的方程. (4,4)P C 【答案】(1)()2224x y -+=(2)(3)和 4x =3440x y -+=【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长.（3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方d r =程.【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2， ()2,0则圆的方程为； C ()2224x y -+=（2）由（1）可知：圆的半径，C 2r =设圆心到的距离为，则， C ()2,0:3410l x y +-=d 6115d -==所以.AB ==（3）当斜率不存在时，为过点的圆C 的切线.4x =P 当斜率存在时，设切线方程为，即4(4)y k x -=-440kx y k -+-=，解得 2d r = 34k =3440x y ∴-+=综上所述：切线的方程为和.4x =3440x y -+=18．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． {}n a 10,1d a >=123,1,6a a a ++(1)求数列的通项公式；{}n a (2)记 ，求数列的前项和．2n an b n =⋅{}n b n n T 【答案】(1)an =n(2)1(1)22n n T n +=-+【分析】（1）由已知条件可得（d +2）2=2d +7，从而可求出公差，进而可求得数列的通项公d {}n a 式，（2）由（1）得，然后利用错位相减法求2nn b n =⋅n T 【详解】（1）因为a 1，a 2+1，a 3+6成等比数列，所以 2213(1)(6)a a a +=+又a 1=1，所以（d +2）2=2d +7，所以d =1或d = （舍）， 3-所以an =n ；（2）因为，所以，2nn b n =⋅23121222322n n n T b b b n =+++=⨯+⨯+⨯++⨯ 所以，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ 所以2311122222222n n n n n T n n +++-=++++-⨯=--⨯ 所以1(1)22n n T n +=-+19．如图，四棱锥中，平面，底面四边形满足，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥， 是的中点. 422PA AD DC AB ====，，E PD(1)求直线到平面距离；AE PBC (2)求平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC 【答案】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线到平面距离.AE PBC （2）求出平面与平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的余弦值. PDC PBC PDC PBC 【详解】（1）在四棱锥中，平面，， P ABCD -PA ⊥ABCD AB AD ⊥DC AD ⊥分别以为轴建立空间直角坐标系.,,AB AD AP ,,x y z,是的中点4,22PA AD DC AB ====E PD(0,0,0),(0,2,0),(0,0,4),(0,1,2),(1,0,0),(2,2,0)A D P E B C ∴(0,1,2),(1,0,4),(2,2,4),(0,0,4)AE PB PC PA ==-=-=-设平面的法向量为PBC (,,)n x y z =则取，40,2240n PB x z n PC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 4x =(4,2,1)n =- 平面0,AE n AE ⋅=⊄PBC 平面//AE ∴PBC直线到平面距离为 AEPBC PA n d n⋅=== （2）平面的法向量，，PBC (4,2,1)n =- (0,2,4)PD =- 设平面的法向量PDC (,,)m a b c = 则取 240,2240m PD b c m PC a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩2,(0,2,1),b m == 设平面与平面夹角为PDC PBC θ则cos n m n mθ⋅== 20．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C 的离心率为，且经过点． x 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存(2,1)P 1l C A B 2PA PB PM ⋅= 在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 1l 【答案】（1）（2）存在直线满足条件，其方程为 22143x y +=1l 12y x =【分析】（1）先设椭圆的标准方程，将点代入得到一个方程，根据离心率得到一个关系式，再M 由可得到，，的值，进而得到椭圆的方程．222a b c =+a b c （2）假设存在直线满足条件，设直线方程为，然后与椭圆方程联立消去得到一元二(2)1y k x =-+y 次方程，且方程一定有两根，故应得到的范围，进而可得到两根之和、两根之积的表达0∆>k 式，再由，可确定的值，从而得解． 2PA PB PM ⋅=k 【详解】（1）设椭圆的方程为， C 22221(0)x y a b a b+=>>，且经过点， 12c e a == 3(1,2M ， ∴2213144c c+=解得，，，21c =24a =23b =故椭圆的方程为． C 22143x y +=（2）若存在直线满足条件，由题意直线存在斜率，设直线的方程为， l l l (2)1y k x =-+由，得． 22143(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=因为直线与椭圆相交于不同的两点，，l C A B设，两点的坐标分别为，，，，A B 1(x 1)y 2(x 2)y 所以．222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理得．32(63)0k +>解得， 12k >-又， 21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++因为，即， 2PA PB PM ⋅= 12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=所以． 22125(2)(2)(1)||4x x k PM --+==即． 212125[2()4](1)4x x x x k -+++=所以，解得． 222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++12k =±因为，所以． 12k >-12k =于是存在直线满足条件，其方程为． 1l 12y x =【点睛】直线与圆锥曲线相交于两点时，一般都设，直线方程为，l ,A B 1122(,),(,)A x y B x y y kx b =+把直线方程代入圆锥曲线方程得的一元二次方程，由韦达定理得，再把其他与有x 1212,x x x x +,A B 关的条件用表示出来，把刚才的代入，化简整理就可得到要求的结论．这是解析几12,x x 1212,x x x x +何中常用的“设而不求”方法，可减少大量的计算，简化推理过程．。

一、单选题1．已知等差数列，，则公差d 等于（ ） {}n a 132,5a a ==A ． B ．C ．3D ．-32332【答案】B【分析】根据题意，利用公式，即可求解. n ma a d n m-=-【详解】由题意，等差数列，， {}n a 132,5a a ==可得等差数列的公差. {}n a 315233122a a d --===-故选：B.2．双曲线的焦点坐标是（ ） 221x y -=A ．B ． (0,(C ．D ．(0,2),(0,2)-(2,0),(2,0)-【答案】B【分析】根据双曲线的方程，求得. c =【详解】由题意，双曲线，可得，所以 221x y -=221,1a b ==c =且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. x (故选：B.3．直线的倾斜角及在轴上的截距分别为（ ） )21y x -=+yA ．B ．C ．D ．602︒，602︒，120,2︒1202︒,【答案】B【解析】由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角，再令，得到直线在轴上的截距. 0x =y【详解】解： )21y x -=+2y ∴=斜率， k =tan α=0180α︒︒≤< 60α︒∴=令，则，故直线在 0x =2y =+y 2故选：B 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，截距的理解，属于基础题.4．抛物线的焦点坐标为（ ） 28x y =A ． B ． C ． D ．()4,0()0,4()2,0()0,2【答案】D【解析】抛物线交点坐标为，算出即可.(0,)2pp 【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为. 282x y px ==4p =28x y =()0,2故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.5．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c === 1D B（ ）A ．B ．C ．D ．a b c +- a b c ++ a b c -+ a b c -- 【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.【详解】由题意，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -1,,DA a DC b DD c ===可得.1111()D B AB AD DC DD DA DA DC DD a b c =-=--=+-=+-故选：A.6．已知直线与平行，则与的距离为（ ）1:10l x ay +-=2:210l x y -+=1l 2lA ．B C ．D 1535【答案】D【分析】先由两直线平行，求出，得到，再由两平行线间的距离公式，即可12a =-1:220l x y +-=求出结果.【详解】因为直线与平行，1:10l x ay +-=2:210l x y -+=所以，解得，1(1)20⨯--=a 12a =-所以，即， 11:102l x y --=1:220--=l x y因此与的距离为1l 2l d 故选D【点睛】本题主要考查两平行线间的距离，熟记距离公式，以及直线平行的判定条件即可，属于常考题型.7．已知直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，若，，则直线l 与平an (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = 面α（ ） A ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．位置关系无法确定【答案】A【分析】根据题意得出可判断.//a n【详解】，，即，， (1,0,1)a =-- (1,0,1)n = a n =- //a n ∴故直线l 与平面α垂直. 故选：A.8．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有（ ） 22420x y x +-+=x y A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】先求得圆的圆心和半径，然后分直线在轴､轴上的截距为0和不为0，两种情况根据 x y 直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 22420x y x +-+=【详解】圆的方程，可化为：， 22420x y x +-+=()2222x y -+=所以其圆心是，()2,0当直线在轴､轴上的截距为0时，设直线方程为：， x y y kx =因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以d =解得，1k =±当直线在轴､轴上的截距不为0时，设直线方程为：， x y x y a +=因为直线与圆相切， 22420x y x +-+=所以圆心到直线的距离等于半径，所以，d 解得或（舍去）4a =0a =所以在轴､轴上截距相等的直线共有3条， x y 故选：C9．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过xOy C 12,F F x 1F 的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为 l ,A B 2ABF △C A ．B ．22184x y +=221164x y +=C ．D ．221816x y +=221168x y +=【答案】D【解析】结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆2ABF ∆4a a c 可求得，进而得到椭圆方程.222b a c =-2b 【详解】设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>由椭圆定义知： 的周长为 12122AF AF BF BF a +=+=2ABF ∴∆4a 即，解得： 416a =4a =c e a =c ∴=2221688b a c ∴=-=-=椭圆的方程为∴C 221168x y +=故选：D 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.二、填空题10．经过点，且与直线平行的直线方程是__________. ()0,2P 1:31l y x =-【答案】32y x =+【解析】设直线方程为，代入求得，从而得到结果.3y x b =+()0,2b 【详解】设与直线平行的直线方程为，代入得： ， 1:31l y x =-3y x b =+()0,2P 2b =32y x ∴=+故答案为： .32y x =+11．在数列中，是它的第_______项． 32511,,,,,,4382n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅712【答案】6【分析】根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案． 12n n a n +=12n n +712n 【详解】根据题意，数列…中，其通项公式，32511,,,,,4382n n +⋅⋅⋅12n n a n +=令＝，解得，即是数列的第6项. 12n n +7126n =712故答案为：6【点睛】本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．三、双空题12．已知双曲线__________，渐近线方程是__________.2221(0)x y a a -=>=a 【答案】##0.5122y x =±【分析】由双曲线的离心率公式可求得a 的值，进而求得渐近线方程. 【详解】由题意知，，21b =所以c e a ====又因为， 0a >所以， 12a =所以双曲线方程为， 2241x y -=所以渐近线方程为. 2by x x a=±=±故答案为：，.122y x =±四、填空题13．已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面α()2,2,1n =--()1,3,0A --α()2,1,4P -α的距离为__________. 【答案】23【分析】运用空间中点到面的距离公式计算即可.【详解】由题意知，，则，，(1,4,4)AP =- 2842AP n ⋅=-+=-||3n == 所以点P 到平面的距离为. α||23||AP n d n ⋅==故答案为：.2314．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2-6x -8y +m =0外切，则实数m 的值为___________. 【答案】9【分析】由圆心距等于半径之和求解．【详解】解析：圆C 2的标准方程为(x 3)2+（y 4）2=25-m .圆C 1：x 2+y 2=1，∴|C 1C 2|=5. --又∵两圆外切，∴m =9.故答案为：9．五、双空题15．等差数列满足，则__________，__________ {}n a 123412,4a a a a +=+=56a a +=10S =【答案】 -4 -20【分析】运用等差数列通项公式及其前n 项和公式的基本量计算即可. 【详解】因为为等差数列，设公差为，{}n a d 所以，解得：，121341212254a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩172a d =⎧⎨=-⎩所以，. 5612914184a a a d +=+=-=-101109107090202S a d ⨯=+=-=-故答案为：，.4-20-六、解答题16．已知抛物线经过点. 22(0)y px p =>()1,2(1)求抛物线的方程及其准线方程；C (2)过拋物线的焦点的直线交于两点，设为原点.当直线的斜率为1时，求的C F l C ,A B O l AOB A面积；【答案】(1)抛物线C 的方程为，准线方程为 24y x ==1x -(2)【分析】（1）根据已知条件求得p 的值，进而求得结果.（2）联立直线与抛物线方程得，，代入12y y +12y y 1|2AOB S OF =△果.【详解】（1）由题意知，，解得：， 222p =2p =所以抛物线C 的方程为，准线方程为.24y x ==1x -（2）由（1）知，，则直线l 方程为，设，，(1,0)F 1y x =-11(,)A x y 22(,)B x y ， 2214404y x y y y x=-⎧⇒--=⎨=⎩则，， 124y y +=124y y =-所以， 1212111||(||||)||||||222AOB AOF BOF S S S OF y y OF y y OF =+=+=⨯-==△△△故△AOB 的面积为17．已知圆：，若直线：与圆相交于两点，且C 222(0)x y r r +=>1l 20x y -+=C A B ，AB =．(1)求圆的方程；C (2)求过点且与圆相切的直线的方程． ()23P -，C 2l 【答案】(1) 224x y +=(2)或 512260x y ++=2x =【分析】（1）根据圆的弦长公式，得到，即可求得圆的方程； d =24r =C （2）当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意；直线斜率存在时，设的方程为2l 2l 2x =2l 2l ，利用圆心到直线的距离等于半径，求得的值，即可求解.()32y k x +=-2l k【详解】（1）解：设圆心到直线的距离为，则，即，1l d 222()2AB r d -=222d r =-又， d ==24r =故圆的方程为．C 224x y +=（2）解：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意； 2l 2l 2x =直线斜率存在时，设的方程为，即， 2l 2l ()32y k x +=-230kx y k ---=则圆心到直线，解得， 2l 2512k =-此时直线的方程为，即， 2l ()53212y x +=--512260x y ++=综上，直线的方程为或．2l 512260x y ++=2x =18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -E 1BB（1）求的长；1D E （2）求异面直线与所成的角的余弦值； AE 1BC （3）求直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E【答案】（1）；（23）.313【分析】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，结AD AB 1AAx y z 合向量的坐标运算，即可求解；（2）由（1）中的坐标系，得到，，结合向量的夹角公式，即可求解；()0,2,1AE =()12,0,2BC = （3）由（1）中的坐标系，求得和平面的一个法向量，结合向量的()0,2,0AB = 1AD E 11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭夹角公式，即可求解.【详解】（1）以，，的正方向分别为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，AD AB 1AAx y z则，，()12,0,2D ()0,2,1E 3=所以的长为.1D E 3（2）由（1）的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()0,2,1E ()0,2,0B ()12,2,2C 所以，， ()0,2,1AE =()12,0,2BC = 设异面直线与所成的角为，AE 1BC θ所以cos cos ,AEθ= 即异面直线与AE 1BC （3）由（1）中的坐标系，可得，，，，()0,0,0A ()12,0,2D ()0,2,1E ()0,2,0B 则，， ()12,0,2AD =()0,2,1AE = 设平面的法向量为，1AD E (),,n x y z =由，得，令，得，100n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 22020x z y z +=⎧⎨+=⎩1x =11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 又由，()0,2,0AB =设直线与平面所成的角为，可得. AB 1AD E θ1sin cos ,3AB n AB n AB n θ⋅===即直线与平面所成的角的正弦值.AB 1AD E 13【点睛】求解直线与平面所成角的方法：1、定义法：根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；2、向量法：分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个向量方法向量的夹角（或补角）；3、法向量法：求出斜线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角，取其余角即为斜线与平面所成的角.19．已知椭圆的离心率.22221(0)x y a b a b +=>>e =()0,1B （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有，A l B C A BA AC ⊥求直线方程.l 【答案】（1）；（2）.2214x y +=516y x =-+【解析】（1）由已知建立关于的方程组，解之可得椭圆的标准方程；a b c ，，（2）解法一：验证当直线斜率不存在时，不满足设直线，与椭圆的方程联立l BA AC ⊥l 1y kx =+整理得，求得C 点的坐标，由两直线垂直的条件可求得所求直线的斜率，从而()221480k x kx ++=得出方程；解法二：由两直线垂直的条件求得直线AC 的斜率得出直线与椭圆的方程2AC k ,=()22AC :y x =-联立，可求得点C 的坐标，从而求得直线l 的方程.，【详解】解：（1）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率.x e =0,1B（）所以 22212,b ca c a abc =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆的标准方程；2214x y +=（2）解法一：当直线斜率不存在时，，又椭圆右顶点为 l ()0,1C -()2,0A 此时，不满足.11122AB AC AB AC k ,k ,k k =-=⋅≠-BA AC ⊥因此设直线，，联立， l 1y kx =+()00,C x y ()22221148044y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩因为，所以， 0,1B （）2228141414k k C ,k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭因为，所以BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=即整理得 22142828AC k k ,k k-==---2121650k k ,++=解得：或者（与重合，舍）56k ,=-12k =-C A所以直线：； l 516y x =-+解法二：因为，所以因此设直线， BA AC ⊥12AB k ,=-2AC k ,=()22AC :y x =-联立， ()22222176460044y x x x x y ⎧=-⇒-+=⎨+=⎩设，又椭圆右顶点为，()00,C x y ()2,0A 所以，，即，所以 00603021717x x =⇒=0817y =-3081717C ,⎛⎫- ⎪⎝⎭56BC k ,=-因此直线：. l 516y x =-+【点睛】易错点点睛：在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，常常需设出直线的方程，此时，需考虑直线的斜率是否存在，容易遗漏直线不存在的情况.20．已知为等差数列的前项和，已知.n S {}n a n 122320,47a a S S +=-+=-(1)求数列的通项公式；{}n a (2)令.求12..n n A a a a =++⋯+n A (3)令，前项和为，求(1)n n n b a =-n n T 2n T 【答案】(1)；213n a n =-(2)； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩(3).2n T n =【分析】（1）设公差为d ，后由题目条件结合等差数列通项公式及等差数列前n 项和公式可得{}n a 答案；（2）由（1）可得，后分，两种情况求和即可得答案；n a 16n ≤≤7n ≥（3）注意到，据此可得答案.2122212n n n n b b a a --+=-=【详解】（1）设公差为d ，因，{}n a 122320,47a a S S +=-+=-则，则； 1112201154472a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩()11213n a a n d n =+-=-（2）由（1）可得. 212,n S n n =-132,16213,7n n na n n a a n n -=-≤≤⎧=⎨=-≥⎩则当时，； 16n ≤≤21212n n n A a a a S n n =----=-=- 当时，.7n ≥2678621272n n n A S a a a S S n n =-+++=-=-+ 故； 2212,161272,7n n n n A n n n ⎧-≤≤=⎨-+≥⎩（3）由（1）可得，. ()()1213n n b n =-⋅-2122212n n n n b b a a --+=-=则 12322212n n n n T a a a a a a --=-+-++-+ ()()()21432212n n a a a a a a n -=-+-++-=。