2014年辽宁省高考数学试卷(理科)

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。

2010年辽宁省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知A 、B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，（∁U B ）∩A ＝{9}，则A 等于（ ）A ．{1，3}B ．{3，7，9}C ．{3，5，9}D ．{3，9}2．（5分）设a ，b 为实数，若复数，则（ ）A ．B ．a ＝3，b ＝1C ．D ．a ＝1，b ＝33．（5分）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（5分）如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的p 等于（ ）A ．∁n m ﹣1B ．A n m ﹣1C ．∁n mD ．A n m5．（5分）设ω＞0，函数y＝sin（ωx）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A．B．C．D．36．（5分）设{a n}是有正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ）A．B．C．D．7．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（ ）A．B．8C．D．168．（5分）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）A．B．C．D．9．（5分）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知点P在曲线y上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（ ）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）11．（5分）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是（ ）A．B．C．D．12．（5分）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）A．（0，）B．（1，）C．（，）D．（0，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）的展开式中的常数项为 ．14．（5分）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z＝2x﹣3y的取值范围是 ．（答案用区间表示）15．（5分）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ．16．（5分）已知数列{a n}满足a1＝33，a n+1﹣a n＝2n，则的最小值为 ．三、解答题（共8小题，满分90分）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sin B+sin C的最大值．18．（12分）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）频数30 40 20 10表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）频数10 25 20 30 15（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物A a＝b＝注射药物B c＝d＝合计n＝附：K2．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥ABC，AB⊥AC，P A＝AC AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．20．（12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|，求椭圆C的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．22．（10分）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S AD•AE，求∠BAC的大小．23．（10分）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．24．（10分）已知a，b，c均为正数，证明：6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．。

2014年安徽省高考理科数学试卷及参考答案(word版)2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若i z +=1，则=⋅+z iz 1（ ） A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i（2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A ．34 B ．55 C ．78 D ．89 （4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A ．14B ．142C ．2D ．22（5）x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．21或-1B ．2或21C ．2或1D ．2或-1（6）设函数)(x f （R x ∈）满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A ．21 B ．23C ．0D ．21- （7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）．A ．21+3B ．18+3C ．21D ．18 （8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ）对．A ．24B ．30C ．48D ．60 （9）若函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为（ ） A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8（10）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量,1==b a ,0=⋅，点Q 满足)(2+=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a P C丨，区域Rr R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．若Ω⋂C 为两段分离的曲线，则（ ）A ．31<<<R rB ．R r ≤<<31C ．31<<≤R rD ．R r <<<31 第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．第（13）题图OA 1A 212134y x（12）数列{}na 是等差数列，若11+a，33+a，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． （13）设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a++++ 22210．若点),(iia i A （2,1,0=i ）的位置如图所示，则a = ． （14）设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x （10<<b ）的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，若xAF BF AF⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ． (15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个和3个排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，minS 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列正确的命题的是 （写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值； ②若⊥b ，则minS 与a无关；③若∥，则minS 与b无关；④若b>a4，则minS >0； ⑤若b=a4,minS =28a ，则与的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． （I ）求a 的值：（II ）求)4sin(π+A 的值．（17）（本小题满分12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立．（I ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （II ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．（18）（本小题满分12分） 设函数32)1(1)(x xx a x f --++=，其中0>a ．（I ）讨论)(x f 在其定义域上的单调性；（II ）当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．第（20）题图αQ D A D 1C 1B 1如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=（01>p（02>p ），过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 于1B ,2B 两点．（I ）证明：2211B A B A ∥；（II ）过O 作直线l （异于1l ,2l ）与1E ,2E 交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △值．（20）（本小题满分13分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，且AD BC2=．过DC A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q．（I ）证明：Q 为1BB 的中点；（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（III ）若41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；（II ）数列{}na 满足p nn n pa pc a p p a c a-++-=>11111,，证明：pn nca a11>>+．数学（理科）试题参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）D （6）A （7）A （8）C （9）D （10）A二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分25分．（11）83π（12）1 （13）3 （14）12322=+y x（15）②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分） 解：（I ）∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==． 由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a．（II ） 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ．∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．（17）（本小题满分12分）解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”，则32)(=k A P ，31)(=k B P ，5,4,3,2,1=k ．（I ）)()()()(432132121A AB A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A PB P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛（II ）X 的可能取值为2,3,4,5． 95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ，92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P∴X 的分布列为X 23 45P95 928110 818818158149392=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．（18）（本小题满分12分）解：（I ）)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x<++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x<<时，0)(>'x f ．∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增．（II ）∵0>a ，∴0,021><x x．①当4≥a 时，12≥x．由（I ）知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x．由（I ）知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412axx ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．（19）（本小题满分13分）（I ）证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==（0,21≠kk ），则由⎩⎨⎧==xp y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==xp y x k y 2212，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222222,2kp k p B ．∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ．故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥．（II ）解：由（I ）知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴2221121=B A B A S S ．又由（I ）中的222111B A p pB A =212211P P B A B A =．∴222121P P S S =．（20）（本小题满分13分）（I ）证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1．∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即数学（理科）试题 第11页第（20）题图1αEQD AB A 1D 1C 1B 1CDA QC 1∥．∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △ADA 1．∴2111===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 为1BB 的中点．（II ）解：如第（20）题图1，连接QA ,QD ．设hAA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a VADA Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a VABCDQ 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCDQ AD A Q 1271=+=--下．又ahd VABCDD C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V VABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上VV．（III ）解法1如第（20）题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1．又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1．∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCAAD CS S△△2=．数学（理科）试题 第12页θ第（20）题图2αQD AB A 1D 1C 1B 1Cx zy又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADCS△，4=AE ．∴1tan 11==∠AEAA AEA ，41π=∠AEA ．故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第（20）题图2，以D 为原点，1,DD 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设θ=∠CDA ∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0,sin 41θA ，∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ．设平面DC A 1的法向量)1,,(y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=， ∴22,cos =⋅>=<mn m n ，∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．数学（理科）试题 第13页（21）（本小题满分13分） （I ）证：用数学归纳法证明①当2=p 时，xx x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ②假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kxx k +>+1)1( 成立．当1+=k p 时，xk kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式pxx p +>+1)1(均成立．（II ）证法1：先用数学归纳法证明pnca1>．①当1=n 时，由题设pca11>知，pnca1>成立． ②假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk ca 1>成立．由pn n n a pc a p p a-++-=111易知*,0N n an∈>．当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k kk a cp a p c p p a a ．由01>>pkc a得0)1(111<-<-<-pka c pp ．由（I ）中的结论得p k p k pp k pk k a ca c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111．因此cap k >+1，即pk ca11>+．③∴1+=k n 时，不等式pkca1>也成数学（理科）试题 第14页立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pkca 1>均成立．再由)1(111-+=+p nnn a cp aa 可得11<+nn aa ，即nn a a<+1．综上所述，*11,N n c a apn n∈>>+．证法2：设pp c x x pcx p p x f 111)(≥+-=-，，则cxp≥，并且pp p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc上单调递增．因而，当pc x 1>时，ppcc f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>pc a，即cap>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pca f a 112)(>=，从而pca a 121>>．故当1=n 时，不等式pn nca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k ca a 11>>+成立，则当1+=k n 时，)()()(11pk kc f af a f >>+，即有pk k ca a121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk kca a 11>>+均成立．。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共4页，满分150分。

考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。

注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区 和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。

3 第Ⅱ卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 参考公式:如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P((A))+P((B))；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P((A))*P((B))第Ⅰ卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知,R a b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += (A) 54i -(B)54i +(C) 34i -(D)34i +答案：D解析：由已知得，2,1a b ==，即2a bi i +=+，所以22()(2)34a bi i i +=+=+，选D考点：复数的四则运算，复数的概念。

（2）设集合{|1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}xB y y x ==∈,则A B =(A) [0,2](B) (0,3)(C) [1,3)(D)(1,4)答案：C解析：由已知{|13},{|14}A x x B y y =-<<=≤≤，所以，[1,3)A B =，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。