测量学基本公式.doc

在测量工作中一般用:

某点在基准面上投影位置（x,y）

该点离基准面高度（H）
一．测量工作的基准面
⒈地球的形状 ⑴地球的自然形体：地球是一个北极略为突出， 南极略为凹陷的梨状体。 ⑵地球的近似形体：大地体。 ⑶地球的理想形体：参考椭球体 圆球体。 ⑷麦哲伦环球航行证实地球是球体 西班牙 大西洋 南美洲 太平洋 好望角 印度洋 菲律宾群岛
由象限角R求方位角α α=R α=180°-R α=180°+R α=360°-R
§1 .5 测量误差的基础知识
一、 测量误差的来源
(1) 外界条件 ： 主要指观测环境中气温、气压、空 气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不 断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器条件 ： 仪器在加工和装配等工艺过程中， 不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样 的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 观测者的自身条件： 由于观测者感官鉴别能力 所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、 整平和瞄准等方面产生误差。
⑶ 作用
①在均衡进行生产方面起保证作用。 ②在充分开采地下资源和采掘工程质量方面 起监督作用。 ③在安全生产方面起指导作用。
二、测量学的发展概况
1．我国古代测量学的成就 ◆长沙马王堆三号墓出土的西汉时期长沙 国地图——世界上现发现的最早的军用 地图
注：世界上现存最古老的地图是在古巴比伦北 部的加苏古巴城（今伊拉克境内）发掘的刻 在陶片上的地图。
地球的形状
⒉ 测量工作基准面与基准线
⑴水准面：静止海水面所形成的封闭曲面。
⑵大地水准面：与平均海水重合并向大陆延伸
所形成的封闭曲面。（测量工作基准面）
水准面及大地水准面示意图(1-1)
图1-1

测量学坐标怎么算测量学是一门研究测量、观测和数据处理的学科，其中测量学坐标就是其中一个重要的内容。

测量学坐标是指在测量学中用来描述和表示物体或点的位置的数学数值。

测量学坐标的计算依赖于具体的测量方法和仪器，本文将简要介绍几种常用的测量学坐标计算方法。

1. 直角坐标系直角坐标系是最常见和最简单的坐标系之一，通常用于平面测量。

直角坐标系以两个坐标轴（通常为x轴和y轴）为基准，通过测量横纵坐标的数值即可确定一个点的位置。

直角坐标系中，点的坐标值由点在x轴和y轴上的投影值表示。

对于一个平面上的点P，其直角坐标为(x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影，y表示点P在y轴上的投影。

根据测量数据，通过测量仪器获取点P到坐标原点的水平距离和垂直距离。

将水平距离表示为x，垂直距离表示为y，可得到点P的直角坐标(x, y)。

2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，适用于描述在曲线上或曲面上的点的位置。

极坐标系将一个点的位置表示为该点到某一定点的距离和该点与参考轴的夹角。

对于一个点P，其极坐标为(r, θ)，其中r表示点P到参考点的距离，θ表示该点与参考轴之间的夹角。

通常情况下，极坐标系中的参考点为坐标原点。

根据测量数据，通过测量仪器获取点P到参考点的距离和该点与参考轴的夹角。

将距离表示为r，夹角表示为θ，可得到点P的极坐标(r, θ)。

3. 空间直角坐标系除了平面测量外，测量学中还涉及到三维空间的测量。

在三维空间中，通常使用空间直角坐标系来描述点的位置。

空间直角坐标系由三个相互垂直的轴组成，通常分别为x轴、y轴和z轴。

对于一个点P，其空间直角坐标为(x, y, z)，其中x表示点P在x轴上的投影，y表示点P在y轴上的投影，z表示点P在z轴上的投影。

根据测量数据，通过测量仪器获取点P到坐标原点的水平距离、垂直距离以及与x轴正向的夹角、与z轴正向的夹角。

将水平距离表示为x，垂直距离表示为y，与z轴正向的夹角表示为θ1，与x轴正向的夹角表示为θ2，可得到点P的空间直角坐标(x, y, z)。

§ 三角高程测量三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。

这种方法简便灵活，受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。

三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分。

一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。

三角高程测量的基本公式1.基本公式关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是以水平面作为依据的。

在控制测量中，由于距离较长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公式。

如图5-35所示。

设0s 为B A 、两点间的实测水平距离。

仪器置于A 点，仪器高度为1i 。

B 为照准点，砚标高度为2v ，R 为参考椭球面上B A ''的曲率半径。

AF PE 、分别为过P 点和A 点的水准面。

PC是PE 在P 点的切线，PN 为光程曲线。

当位于P 点的望远镜指向与PN 相切的PM 方向时，由于大气折光的影响，由N 点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。

这就是说，仪器置于A 点测得M P 、间的垂直角为2,1a 。

由图5-35可明显地看出，B A 、 两地面点间的高差为 图5-35NB MN EF CE MC BF h --++==2,1（5-54） 式中，EF 为仪器高NB i ;1为照准点的觇标高度2v ；而CE 和MN 分别为地球曲率和折光影响。

由2021s R CE = 2021s R MN '= 式中R '为光程曲线PN 在N 点的曲率半径。

设,K R R ='则 20202.21S RK S R R R MN ='=K 称为大气垂直折光系数。

由于B A 、两点之间的水平距离0s 与曲率半径R 之比值很小（当km s 100=时,0s 所对的圆心角仅5'多一点），故可认为PC 近似垂直于OM ，即认为ο90≈PCM ,这样PCM ∆可视为直角三角形。

§5.9 三角高程测量三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角或天顶距和它们之间的水平距离;计算测站点与照准点之间的高差..这种方法简便灵活;受地形条件的限制较少;故适用于测定三角点的高程..三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分..一般都是在一定密度的水准网控制下;用三角高程测量的方法测定三角点的高程..5.9.1 三角高程测量的基本公式1.基本公式关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本公式;在测量学中已有过讨论;但公式的推导是以水平面作为依据的..在控制测量中;由于距离较长;所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公式..如图5-35所示..设0s 为B A 、两点间的实测水平距离..仪器置于A 点;仪器高度为1i ..B 为照准点;砚标高度为2v ;R 为参考椭球面上B A ''的曲率半径..AF PE 、分别为过P 点和A 点的水准面..PC 是PE 在P 点的切线;PN 为光程曲线..当位于P 点的望远镜指向与PN 相切的PM 方向时;由于大气折光的影响;由N 点出射的光线正好落在望远镜的横丝上..这就是说;仪器置于A 点测得M P 、间的垂直角为2,1a ..由图5-35可明显地看出;B A 、 两地面点间的高差为NB MN EF CE MC BF h --++==2,1 5-54式中;EF 为仪器高NB i ;1为照准点的觇标高度2v ；而CE 和MN 分别为地球曲率和折光影响..由2021s R CE =2021s R MN '=式中R '为光程曲线PN 在N 点的曲率半径..设,K R R='则 20202.21S RK S R R R MN ='=K 称为大气垂直折光系数..图5-35由于B A 、两点之间的水平距离0s 与曲率半径R 之比值很小当km s 100=时;0s 所对的圆心角仅5'多一点;故可认为PC 近似垂直于OM ;即认为 90≈PCM ;这样PCM ∆可视为直角三角形..则5-54式中的MC 为2,10tan αs MC =将各项代入5-54式;则B A 、两地面点的高差为21202,102201202,102,121tan 221tan v i s RK s v s R K i s R s h -+-+=--++=αα 令式中C C RK,21=-一般称为球气差系数;则上式可写成 21202,102.1tan v i Cs s h -++=α 5-555-55式就是单向观测计算高差的基本公式..式中垂直角a ;仪器高i 和砚标高v ;均可由外业观测得到..0s 为实测的水平距离;一般要化为高斯平面上的长度d .. 2.距离的归算在图5-36中;B A H H 、分别为B A 、两点的高程此处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距;;其平均高程为mM H H H B A m ),(21+=为平均高程水准面..由于实测距离0s －般不大工程测量中一般在l0km 以内;所以可以将0s 视为在平均高程水准面上的距离.. 由图5-36有下列关系)1(100RH s s RH R H R s s mm m +=+=+= 5-56这就是表达实测距离0s 与参考椭球面上的距离s 之间的关系式..参考椭球面上的距离s 和投影在高斯投影平面上的距离d 之间有下列关系)21(22Ry d s m-= 5-57式中m y 为B A 、两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值..关系式5-57的推导将在第八章中讨论..将5-57式代入5-56式中;并略去微小项后得)21(220R y R H d s mm -+= 5-58图5-363.用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式 将5-56式代入5-55式;得2122,12,1)1(tan v i Cs RH s h m-+++=α 5-59 式中2Cs 项的数值很小;故未顾及0s 与s 之间的差异.. 4.用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式 将5-57式代入5-59式;舍去微小项后得)2(tan )2(tan tan 222122,1222,12122,12.1RyR H h v i Cd d R y R H d v i Cd d h m m mm -'+-++=-+-++=ααα 5-60 式中2,1tan αd h ='..令 h h '=∆2,1)2(22R y R H mm - 5-61则5-60式为2,12122,12,1tan h v i Cd d h ∆+-++=α 5-625-61式中的m H 与R 相比较是一个微小的数值;只有在高山地区当m H 甚大而高差也较大时;才有必要顾及R H m 这一项..例如当m h m H m 100,1000='=时;RHm 带这一项对高差的影响还不到0.02m;一般情况下;这一项可以略去..此外;当时m h km y m 100,300='=;222Ry m这－项对高差的影响约为0.llm..如果要求高差计算正确到0.lm;则只有h Ry m'222项小于0.04m 时才可略去不计;因此;5-62式中最后一项2,1h ∆只有当h H m ',或m y 较大时才有必要顾及..5.对向观测计算高差的公式一般要求三角高程测量进行对向观测;也就是在测站A 上向B 点观测垂直角2,1α;而在测站B 上也向A 点观测垂直角1,2α;按5-62式有下列两个计算高差的式子.. 由测站A 观测B 点2,122,1212,12,1tan h d C v i d h ∆++-+=α则测站B 观测A 点1,22121,21,21,2tan h d C v i d h ∆++-+=α式中;11v i 、和22v i 、分别为A 、B 点的仪器和觇标高度；2,1C 和1,2C 为由A 观测B 和B 观测A 时的球气差系数..如果观测是在同样情况下进行的;特别是在同一时间作对向观测;则可以近似地假定折光系数K 值对于对向观测是相同的;因此1,22,1C C =..在上面两个式子中; 2,1h ∆与1,2h ∆的大小相等而正负号相反.. 从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式2,122111,22,1)(2,1)(21)(21)(21tan h v i v i d h ∆+--++-=αα对向 5-63式中h Ry R H h mm '⋅-=∆)2(222,1)(21tan 1,22,1αα-='d h6.电磁波测距三角高程测量的高差计算公式由于电磁波测距仪的发展异常迅速;不但其测距精度高;而且使用十分方便;可以同时测定边长和垂直角;提高了作业效率;因此;利用电磁波测距仪作三角高程测量已相当普遍..根据实测试验表明;当垂直角观测精度,0.2''±≤a m 边长在2km 范围内;电磁波测距三角高程测量完全可以替代四等水准测量;如果缩短边长或提高垂直角的测定精度;还可以进一步提高测定高差的精度..如5,1''±≤a m ; ;边长在3.5km 范围内可达到四等水准测量的精度；边长在1.2km 范围内可达到三等水准测量的精度.. 电磁波测距三角高程测量可按斜距由下列公式计算高差Z i RD K D h -+-+=αα22cos 2)1(sin 5-64式中;h 为测站与镜站之间的高差；α为垂直角；D 为经气象改正后的斜距；K 为大气折光系数；i 为经纬仪水平轴到地面点的高度；Z 为反光镜瞄准中心到地面点的高度..5.9.2 垂直角的观测方法垂直角的观测方法有中丝法和三丝法两种.. 1.中丝法中丝法也称单丝法;就是以望远镜十字丝的水平中丝照准目标;构成一个测回的观测程序为：在盘左位置;用水平中丝照准目标一次;如图5-37a 所示;使指标水准器气泡精密符合;读取垂直度读数;得盘左读数L ..在盘右位置;按盘左时的方法进行照准和读数;得盘右读数R ..照准目标如图5-37b 所示..2.三丝法三丝法就是以上、中、下3条水平横丝依次照准目标..构成一个测回的观测程序为：在盘左位置;按上、中、下3条水平横丝依次照准同一目标各一次;如图5-38a所示;使指标水准器气泡精密符合;分别进行垂直度盘读数;得盘左读数L ..图5-37 图5-38 在盘右位置;再按上、中、下3条水平横丝依次照准同一目标各一次;如图5-38b 所示;使指标水准器气泡精密符合．分别进行垂直度盘读数;得盘右读数R..在一个测站上观测时;一般将观测方向分成若干组;每组包括2～4个方向;分别进行观测;如通视条件不好;也可以分别对每个方向进行连续照准观测..根据具体情况;在实际作业时可灵活采用上述两种方法;如T3光学经纬仪仅有一条水平横丝;在观测时只能采用中丝法..按垂直度盘读数计算垂直角和指标差的公式列于表5-10..表5-10仪器类型计算公式各测回互差限值垂直角指标差垂直角指标差J1T3 J2T2;010RL-=α]180)[(21--=LRα180)(-+=RLi]360)[(21-+=RLi10″15″10″15″5.9.3 球气差系数C值和大气折光系数K值的确定大气垂直折光系数K;是随地区、气候、季节、地面覆盖物和视线超出地面高度等条件不同而变化的;要精确测定它的数值;目前尚不可能..通过实验发现;K值在一天内的变化;大致在中午前后数值最小;也较稳定；日出、日落时数值最大;变化也快..因而垂直角的观测时间最好在地方时10时至16时之间;此时K值约在0.08～0.14之间;如图5-39所示..不少单位对K值进行过大量的计算和统计工作;例如某单位根据16个测区的资料统计;得图5-39出107.0=K ..在实际作业中;往往不是直接测定K 值;而是设法确定C 值;因为RKC 21-=..而平均曲率半径R 对一个小测区来说是一个常数;所以确定了C 值; K 值也就知道了..由于K 值是 小于1的数值;故C 值永为正.. 下面介绍确定C 值的两种方法..1.根据水准测量的观测成果确定C 值在已经由水准测量测得高差的两点之间观测垂直角;设由水准测量测得的高差为h ;那么;根据垂直角的观测值按5-55式计算两点之间的高差;如果所取的C 值正确的话;也应该得到相同的高差值;也就是21202,10tan v i Cs s h -++=α在实际计算时;一般先假定一个近似值0C ;代人上式可求得高差的近似值0h ;即212002,100tan v i s C s h -++=α即2000)(s C C h h -=-或200sh h C C -=- 5-65令式中C C C ∆=-0;则按5-65式求得的C ∆值加在近似值0C 上;就可以得到正确的C 值..2.根据同时对向观测的垂直角计算C 值设两点间的正确高差为h ;由同时对向观测的成果算出的高差分别为2,1h 和1,2h 由于是同时对向观测;所以可以认为01,22,1C C C ==;则202,1Cs h h ∆+=201,2Cs h h ∆+=-由以上两式可得1,22,12s h h C +=∆ 5-66从而可以按下式求出C 值C C C ∆+=0无论用哪一种方法;都不能根据一两次测定的结果确定一个地区的平均折光系数;而必须从大量的三角高程测量数据中推算出来;然后再取平均值才较为可靠..5.9.4 三角高程测量的精度1.观测高差中误差三角高程测量的精度受垂直角观测误差、仪器高和觇标高的量测误差、大气折光误差和垂线偏差变化等诸多因素的影响;而大气折光和垂线偏差的影响可能随地区不同而有较大的变化;尤其大气折光的影响与观测条件密切相关;如视线超出地面的高度等..因此不可能从理论上推导出一个普遍适用的计算公式;而只能根据大量实测资料;进行统计分析;才有可能求出一个大体上足以代表三角高程测量平均精度的经验公式.. 根据各种不同地理条件的约20个测区的实测资料;对不同边长的三角高程测量的精度统计;得出下列经验公式s P M h ⋅= 5-67式中; h M 为对向观测高差中数的中误差；s 为边长;以km 为单位；P 为每公里的高差中误差;以m/km 为单位..根据资料的统计结果表明;P 的数值在0.013～0.022之间变化;平均值为0.018;一般取P =0.02;因此5-67式为s M h 02.0±= 5-68 5-68式可以作为三角高程测量平均精度与边长的关系式..考虑到三角高程测量的精度;在不同类型的地区和不同的观测条件下;可能有较大的差异;现在从最不利的观测条件来考虑;取P =0.025作为最不利条件下的系数;即s M h 025.0= 5-69 公式5-69说明高差中误差与边长成正比例的关系;对短边三角高程测量精度较高;边长愈长精度愈低;对于平均边长为8km 时;高差中误差为士0.20m ；平均边长为4.5km 时;高差中误差约为0.llm..可见三角高程测量用短边传递高程较为有利..为了控制地形测图;要求高程控制点高程中误差不超过测图等高的1/10;对等高距为lm 的测图;则要求m M h 1.0±≤..5-69式是作为规定限差的基本公式.. 2.对向观测高差闭合差的限差同一条观测边上对向观测高差的绝对值应相等;或者说对向观测高差之和应等于零;但实际上由于各种误差的影响不等于零;而产生所谓对向观测高差闭合差..对向观测也称往返测;所以对向观测高差闭合差也称为往返测高差闭合差;以W 表示1,22,1h h W += 5-70以W m 表示闭合差W 的中误差;以0h m 表示单向观测高差h 的中误差;则由5-70式得222h W m m = 取两倍中误差作为限差;则往返测观测高差闭合差限W 为0222h W m m W ±==限 5-71若以h W 表示对向观测高差中误差;则单向观测高差中误差可以写为h h M m 20=顾及5-69式;则上式为s m h 2025.00=再将上式代入5-71式得s s W 1.02025.022±=⨯±=限 5-725-72式就是计算对向观测高差闭合差限差的公式.. 3.环线闭合差的限差如果若干条对向观测边构成一个闭合环线;其观测高差的总和应该等于零;当这一条件不能满足时;就产生环线闭合差..最简单的闭合环是三角形;这时的环线闭合差就是三角形高差闭合差..321h h h W ++= 以W m 表示环线闭合差中误差；i h m 表示各边对向观测高差中数的中误差;则2222321h h h W m m m m ++= 对向观测高差中误差i h m 可用5-69式代入;再取两倍中误差作为限差;则环线闭合差限W 限为205.02i W s m W ∑±==限 5-73。