初中数学分类讨论问题专题doc上课
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中考数学专题复习——分类讨论问题
教学目标
1.掌握常见题型分类方法；能够灵活运用一般的分类技巧。
2.明确分类的“界点”、“标准”。
一、 热点再练
1.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）
A. 80° B. 80°或20° C. 80°或50° D. 20°
2.已知三角形相邻两边长分别为13cm和15 cm，第三边上的高为 12 cm，则此三角形的面积为________cm2
A ８４ B ２４ C ８４或２４ D ５４
3.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知 A（1，1），在x轴上确定点P，使得△AOP为等腰三角形，则符合条件的P点共有 个。
4.半径为5的圆中，有弦ＡＢ平行ＣＤ，ＡＢ＝８，ＣＤ＝６，则ＡＢ与ＣＤ之间的距离_______
５.在半径为1的圆中，弦AB、AC的长分别是 2 、3 ，则∠BAC的度数是
。
６. 已知方程01)12(22xmxm有实数根，则m的取值范围 。
知识点:
１.等腰三角形的角有_____和______其中的底角可以是____________.(按角的类型进行分类)
2.三角形的高可以在________也可以在_______________(按图形的形状进行) 学习必备 欢迎下载
A B 1p C D
2p 4p 3p 3.圆是轴对称图形,相等的弦,如平行弦,从一个顶点出发的弦会在对称抽的两侧(按图形的性质)
4.初中阶段的方程有_______,__________.__________(按定义分类)
二、规律剖析
例1正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，关键找出分界点。
练习:
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例2.如图，已知⊙O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP＝10 cm，射线PN与⊙O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动．设运动时间为t (s)．
(1)求PQ的长；
(2)当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
课堂检测:
1.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A.5 B.7 C.5或7 D.6 学习必备
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2.在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0，0）（4，0）（3，2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）。
A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
3.如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上
一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有 个.
4.若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。
Ａ 30 Ｂ 60 Ｃ 30或90 Ｄ 60
5.若直线 y=－x+b 与两坐标轴围成的三角形的面积是2，则b的值为
；
6.已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2xxm有实数根，则ｍ的取值范围是：_______
总结:运动与数形结合进行分类
四、板书设计
1：分式方程无解的分类讨论问题；
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；
3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；
4：分类问题在动点问题中的应用；
4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；
4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。
1：分式方程无解的分类讨论问题
例题1：（2011武汉）a349332无解，求xxaxx
解：去分母，得： 学习必备 欢迎下载
1.6,801a31-a21-31-a21-211-a)3(4)3(3aaaxxaxx或者或或由已知）（
猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 68aa或
例题2：（2011郴州） a2112无解，求xax
2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题
例题3：（2010上海）已知方程01)12(22xmxm有实数根，求m的取值范围。
（1） 当02m时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1
（2） 当02m时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m,0144)12(22即mmm，且02m
综（1）（2）得，41m
常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02m的条件）
总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。
例题4：（2011益阳）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程0442xmx与0544422mmmxx的根都是整数。
解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即02m，0m，1.m,01解得
同理，.45m,02解得1m45且0m，又因为m为整数.11或取m
（1）当m=—1时，第一个方程的根为222x不是整数，所以m=—1舍去。
（2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.
练习：已知关于ｘ的一元二次方程01)1(2xxm有实数根，则ｍ的取值范围是：
1m45001且mm
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A B C
A B 1p C D
2p
4p 3p 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题
例题:5：（2011青海）方程01892xx的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定
例题6：（2011武汉）三角形一边长AB为13cm，另一边AC为15cm，BC上的高为12cm,求此三角形的面积。（54或84）
例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A、B, A.B上一点C，且有BC=2AC,将其从C点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm或120cm
4：动点问题的分类分类讨论问题
4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；
例题9：（2011永州）正方形ABCD的边长为10cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离。
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是 秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。
∴（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|=
(cm)
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t
（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得：|PD|=
总结：本题从运动的观点，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。
4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。 学习必备 欢迎下载
M
E
A B
C A O A Q A B C D
N 例题10：（2010福建）已知一次函数3333xy与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。
分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标()033，，A点坐标（9，0）。设P点坐标为)0(，x，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，。（不适合条件的解已舍去）
总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。
例11：(2010湖北)如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动．当DM= 时，△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似。
分析与解答 勾股定理可得AE=5．当△ABE与以D、M、N为项点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：
（1） 当DM与BE是对应边时，DMMNABAE，
即15,155DMDM．（2）当DM与AB是对应边时，
DMMNABAE，即125,255DMDM 故DM的长是52555或．
例题12：（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。
说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识
