北师大版数学选修1-1：第四章§1 函数的单调性与极值1.1
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1.(2012·南昌质检)如果函数f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上f′(x)＜0，则在(0，＋∞)上f(x)的单调性是( )
A．递增
B．递减
C．先减后增
D．先增后减
解析：选A.∵在(－∞，0)上f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，0)上递减，又函数f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称，
∴在(0，＋∞)上f(x)递增．
2.已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A.在(0，＋∞)上，f′(x)＝12x＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.
3.函数f(x)＝xln x的单调递增区间为________．
解析：f′(x)＝1＋ln x，令1＋ln x＞0得x＞1e，
∴f(x)的单调递增区间为1e，＋∞.
答案：1e，＋∞
4.(2012·淮北检测)函数f(x)＝2x＋x(x＞0)的单调递减区间是________．
解析：f′(x)＝－2x2＋1(x＞0)，由f′(x)＜0，得0＜x＜2.
答案：(0，2)
[A级 基础达标]
1.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：选A.f′(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以2－cos x＞0恒成立，即f′(x)＞0恒成立，故选A.
2.(2012·蚌埠调研)函数y＝12x2－ln x的单调减区间为( )
A．(0，1)
B．(0，1)和(－∞，－1)
C．(0，1)和(1，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析：选A.y′＝x－1x，令y′＜0，即x－1x＜0，解得0＜x＜1或x＜－1，又因为函数的定义域为(0，＋∞)，所以函数的单调减区间为(0，1)，故选A.
3.函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图像如图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(
)
A.－13，1∪[2，3)
B.－1，12∪43，83
C.－32，12∪[1，2)
D.－32，－13∪12，43∪[2，3)
解析：选A.由y＝f(x)的图像可知，函数的递减区间有－13，1和[2，3)，故f′(x)≤0的解集为－13，1∪[2，3)．
4.函数f(x)＝excos x，则fπ6与fπ5的大小关系为________．
解析：∵f′(x)＝ex(cos x－sin x)，∴0，π4是函数f(x)的一个单调递增区间，又0＜π6＜π5＜π4，
∴fπ6＜fπ5.
答案：fπ6＜fπ5 5.(2011·高考江西卷改编)设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax，若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－x－122＋14＋2a，
当x∈23，＋∞时，f′(x)的最大值为f′23＝29＋2a.令29＋2a＞0，得a＞－19.
所以，当a＞－19时，f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间．
答案：－19，＋∞
6.(2012·上饶调研)证明函数y＝x＋4x在(2，＋∞)上是递增加的．
证明：由导数公式表和求导法则可得，y′＝1－4x2＝（x－2）（x＋2）x2，当x∈(2，＋∞)时，y′＞0，
所以函数y＝x＋4x在(2，＋∞)上是增加的．
[B级 能力提升]
7.若y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )
A．b＜－1，或b＞2
B．b≤－1，或b≥2
C．－1＜b＜2
D．－1≤b≤2
解析：选D.y′＝x2＋2bx＋(b＋2)，由题意知x2＋2bx＋b＋2≥0在x∈R上恒成立，故4b2－4(b＋2)≤0，解得－1≤b≤2.当b＝－1时，y′＝x2－2x＋1，显然符合题意；当b＝2时，y′＝x2＋4x＋4，显然符合题意．故－1≤b≤2.
8.设f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是下列图中的( )
解析：选B.由f′(x)的图像可知：
x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，则原函数f(x)为减函数，
x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，则原函数f(x)为增函数，
x∈(1，＋∞)时f′(x)＜0，则原函数为减函数．B图像适合．
9.(2012·焦作调研)设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，
若a＝(30.3)f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，
则a与b的大小关系为________．
解析：设函数F(x)＝xf(x)，
∴F′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，
∴F(x)＝xf(x)在R上为增函数，
又∵30.3＞1，logπ3＜1，
∴30.3＞logπ3，
∴F(30.3)＞F(logπ3)，
∴(30.3)f(30.3)＞(logπ3)f(logπ3)，
∴a＞b.
答案：a＞b
10.已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内递增，求a的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)＞0得ex＞a，
当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；
当a＞0时，有x＞ln a.
综上可得，当a≤0时，f(x)的递增区间为R；
当a＞0时，f(x)的递增区间为(ln a，＋∞)．
(2)∵f′(x)＝ex－a.
又f(x)在R上递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
11.(创新题)设f(x)＝13ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间．
解：f′(x)＝ax2＋1. 若a≥0，f′(x)＞0恒成立，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，即只有一个单调区间(－∞，＋∞)，
∴a＜0.
当a＜0时，由f′(x)＞0得－－1a＜x＜ －1a，
f′(x)＜0得x＜－ －1a或x＞ －1a，
即a＜0时，f(x)在－ －1a， －1a上为增函数，在－∞，－ －1a， －1a，＋∞上为减函数．
综上可知，a＜0时有3个单调区间，分别是
－∞，－ －1a、－ －1a， －1a、 －1a，＋∞
