考研——积分上限的函数(变上限积分、变限积分)知识点全面总结

考研——积分上限的函数（变上限积分）知识点

()()x

a

F x f t dt =⎰

形如上式的积分，叫做变限积分。 注意点：

1、在求导时，是关于x 求导，用课本上的求导公式直接计算。

2、在求积分时，则把x 看作常数，积分变量t 在积分区间],[x a 上变动。 （即在积分内的x 作为常数，可以提到积分之外。）

关于积分上限函数的理论

定理1如果)(x f 在],[b a 上连续，则)(x f 在（a ，b ）上可积，而)(x f 可积，则⎰=x

a dt

t f x F )()(在],[b a 上连续。

定理2如果)(x f 在],[b a 上有界，且只有有限个间断点，则)(x f 在（a ，b ）上可积。 定理3如果)(x f 在],[b a 上连续，则⎰=x

a dt t f x F )()(在],[

b a 上可导，而且有

).(])([)(x f dt t f dx d x F x

a

==

'⎰ ==========================================

注：（Ⅰ）从以上定理可看出，对)(x f 作变上限积分后得到的函数，性质比原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导。这是积分上限函数的良好性质。而我们知道，可导函数)(x f 经过求导后，其导函数)(x f '甚至不一定是连续的。

（Ⅱ）定理（3）也称为原函数存在定理。它说明：连续函数必存在原函数，并通过定积分的形式给出了它的一个原函数。我们知道，求原函数是求导运算的逆运算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的问题。定理（3）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有重要意义。

重要推论及计算公式：

推论1

)(])([x f dt t f dx d b

x -=⎰ <变上限积分改变上下限，变号。> 推论2

)()]([])([)

(x x f dt t f dx

d x c ϕϕϕ'=⎰ <上限是复合函数的情况求导。>

推论3 )()]([)()]([])([)

()(x x f x x f dt t f dx

d x x ϕϕψψψϕ'-'=⎰ <上下限都是变的时候，

用上限的减去下限的。>

题型中常见积分限函数的变形和复合情况：

（1）比如 ⎰-=x

dt t f t x x F 0)()()(

(被积函数中含x , 但x 可提到积分号外面来.)

在求)(x F '时，先将右端化为⎰⎰⎰⎰-=-x

x

x

x

dt t tf dt t f x dt t tf dt t xf 0

)()()()(的形式，再对x 求

导。分离后左边的部分要按照(uv)＇=u ＇v + uv ＇进行求导！（重点） （2）比如 ⎰-=x

dt x t tf x F 0)()(

( f 的自变量中含x , 可通过变量代换将x 置换到f 的外面来)

在求)(x F '时，先对右端的定积分做变量代换x t u -=（把x 看作常数），此时，du dt =，0=t 时，x u -=；x t =时，0=u ，这样，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分下限函数：

⎰⎰⎰---+=+=0

)()()()()(x

x

x

du u uf du u f x du u f u x x F ，然后再对x 求导。

( 3 ) 比如 ⎰=1

)()(dt xt f x F

(这是含参数x 的定积分,

在求)(x F '时，时，0=u ；1=t 时，x u =，于是，)(x F 就化成了以u 作为积分变量的积分上限函数：

⎰=x

du u f x x F 0

)(1)(，然后再对x 求导。

有积分限函数参与的题型举例 （1） 极限问题： 例1 ⎰

⎰-→x x x dt

t t t tdt

2

3

)sin (sin lim

2

（提示：0/0型，用洛必达法则，答：12）

例2 x

dt t x

x ⎰

+∞

→0

sin lim

（提示：洛必达法则求不出结果，用夹逼准则，0=<|sinx|=<1。 答：π

2

）

例3 已知极限1sin 1

lim

00=++-⎰→x x x dt c

t t a bx e ，试确定其中的非零常数.,,c b a

（答：.1,1,1==-=c b a ）

（2） 求导问题

例4 已知 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=⎰⎰.

sin ,

)cos 1(00t

t udu y du u x 求.dx dy (参数方程，你懂的！答:)cos 1(2sin t t t -) 例5 已知 .0cos 0

=+⎰⎰

xy

y

t tdt dt e 求

.dx

dy

(答: )cos()cos(xy x e xy y y

+-) 例6 求

⎰-x dt t x dx

d 02

)sin( (答: 2sin x ) 例7 设)(x f 在),(+∞-∞内连续且,0)(>x f 求证 ⎰⎰=x x dt

t f dt t tf x 0

)()()(ϕ 在),0(+∞内单调增加. （同济高数课本Unit5-3例题7）

（3） 最大最小值问题

例8 在区间],1[e 上求一点ξ, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小.

(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:⎰⎰-+=e

x

x

dt t tdt x A )ln 1(ln )(1

, 然后求出)(x A ',

再求出其驻点. 答:e =ξ.)

例9 设0≥x ，

n 为正整数. 证明 ⎰-=x

n tdt t t x f 022sin )()( 的最大值不超过.)

32)(22(1

++n n

(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)

(4) 积分问题

例10 计算⎰10)(dx x xf ，其中⎰=21sin )(x dt t

t

x f .