复旦大学数学系《数学分析》(第3版)(下册)课后习题-级 数-函数项级数【圣才出品】

目　录第12章　数项级数12.1　复习笔记12.2　课后习题详解12.3　名校考研真题详解第13章　函数列与函数项级数13.1　复习笔记13.2　课后习题详解13.3　名校考研真题详解第14章　幂级数14.1　复习笔记14.2　课后习题详解14.3　名校考研真题详解第15章　傅里叶级数15.1　复习笔记15.2　课后习题详解15.3　名校考研真题详解第16章　多元函数的极限与连续16.1　复习笔记16.2　课后习题详解16.3　名校考研真题详解第17章　多元函数微分学17.1　复习笔记17.2　课后习题详解17.3　名校考研真题详解第18章　隐函数定理及其应用18.1　复习笔记18.2　课后习题详解18.3　名校考研真题详解第19章　含参量积分19.1　复习笔记19.2　课后习题详解19.3　名校考研真题详解第20章　曲线积分20.1　复习笔记20.2　课后习题详解20.3　名校考研真题详解第21章　重积分21.1　复习笔记21.2　课后习题详解21.3　名校考研真题详解第22章　曲面积分22.1　复习笔记22.2　课后习题详解22.3　名校考研真题详解第23章　向量函数微分学23.1　复习笔记23.2　课后习题详解23.3　名校考研真题详解第12章　数项级数12.1　复习笔记一、级数的收敛性1．相关定义（1）给定一个数列{u n}，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式u1＋u2＋…u n＋… （12-1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中u n称为数项级数（12-1）的通项或一般项．数项级数（12-1）也常写作或简单写作∑u n．（2）数项级数（12-1）的前n项之和，记为 （12-2）称它为数项级数（12-1）的第n个部分和，也简称部分和．（3）若数项级数（12-1）的部分和数列{S}收敛于S（即），则称数项级数（12-1）收敛，称S为数项级数（12-1）的和，记作或S＝∑u n．若{S n}是发散数列，则称数项级数（12-1）发散．2．重要定理。

以计算总体因变量 y 的条件期望 E（ y xi ），并将其表现为自变量 x 的某种函数，这个函数
称为总体回归函数（简记为 PRF）。 （2）如果把因变量 y 的样本条件期望表示为自变量 x 的某种函数，这个函数称为样本
回归函数（简记为 SRF）。 （3）总体回归函数和样本回归函数的区别
2 / 24
量以外的所有因素对 y 的影响，称为随机误差项。
（2）因变量 y 的实际观测值 yi 并不完全等于样本条件期望 yˆi ，二者之偏差称为残差项 或剩余项，用 ei 表示，则 yi − yˆi = ei 。
（3）总体回归函数中的 i 是不可直接观测的，而样本回归函数中的 ei 是只要估计出样
本回归的参数就可以计算的数值。
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

①总体回归函数虽然未知，但它是确定的；而由于从总体中每次抽样都能获得一个样本， 就都可以拟合一条样本回归线，所以样本回归线是随抽样的样本而变化的，可以有许多条。 所以，样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总体回归线的近似表现。
圣才电子书

十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 7 章 相关与回归分析
思考题 1．相关分析与回归分析的区别和联系是什么？ 答：（1）相关分析与回归分析的联系 相关分析与回归分析具有共同的研究对象，都是对变量间相关关系的分析，二者可以相 互补充。相关分析可以表明变量间相关关系的性质和程度，只有当变量间存在相当程度的相 关关系时，进行回归分析去寻求变量间相关的具体数学形式才有实际的意义。同时，在进行 相关分析时，如果要具体确定变量间相关的具体数学形式，又要依赖于回归分析，而且在多 个变量的相关分析中相关系数的确定也是建立在回归分析基础上的。 （2）相关分析与回归分析的区别 ①从研究目的上看，相关分析是用一定的数量指标（相关系数）度量变量间相互联系的 方向和程度；回归分析却是要寻求变量间联系的具体数学形式，是要根据自变量的固定值去 估计和预测因变量的平均值。 ②从对变量的处理看，相关分析对称地对待相互联系的变量，不考虑二者的因果关系， 也就是不区分自变量和因变量，相关的变量不一定具有因果关系，均视为随机变量；回归分 析是在变量因果关系分析的基础上研究其中的自变量的变动对因变量的具体影响，必须明确 划分自变量和因变量，所以回归分析中对变量的处理是不对称的，在回归分析中通常假定自 变量在重复抽样中是取固定值的非随机变量，只有因变量是具有一定概率分布的随机变量。

数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2第十二章 数项级数证明题1． 证明下列级数的收敛性,并求其和: (1) ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61; (2) +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 22312131213121; (3) ∑++2)1)(n n(n 1; (4) ∑++-+)n 1n 22n (; (5) ∑-n212n . 2. 证明:若级数∑n u 发散,则∑n Cu 也发散(c ≠0).3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数a -a )a (a 11n n =+∑+.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢34． 证明: 若数列{b n }有+∞=∞→n n b lim ,则 (1)级数)b (b n 1n ∑-+发散;(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b 1b 1n 15. 证明级数∑n u 收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6. 设∑∑n n v 、u 为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有n1n n 1n v v u u ++≤ 7. 设正项级数∑n a 收敛,证明级数∑2n a 也收敛;试问反之是否成立?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢48. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数∑2n a 收敛.9. 设正项级数∑n u 收敛,证明级数∑+1n n u u 也收敛.10. 证明下列极限: (1) 0)(n!n lim 2nn =∞→; (2) 1)0(a a )(2n!lim n!n >=∞→. 11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数∑∞=1n n a 与∑∞=0m 2mm a 2同时收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b n 1n n a a +b n+1,证明: (1) 若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数∑∞=1n n a 收敛;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5(2) 若n>N 0时有C n ≤0,且∑=∞→+∞=n1k k n b 1lim ,则级数∑∞=1n n a发散.13. 设级数∑2n a 收敛,证明级数∑>0)(a n a n n 也收敛. 14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同时收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性: (1) ∑>+-0)(x ,x1x n 1)(n nn ; (2) ∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnx α; (3) ∑-nn cos 1)(2n . 16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且∞→n lim a n =0,证明级数仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6∑+++--n a a a 1)(n 211n 是收敛的.17. 设2u |u |g ,2u |u |p n nn n n n -=+=,证明:若∑n u 条件收敛,则级数∑n p 与∑n q 都是发散的.二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2. 设级数∑n u 与∑n v 都发散,试问)v (u n n ∑+一定发散吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 (1)∑+-+n)1)(a n (a 1; (2) ∑++-+1)n(n 12n 1)(1n ; (3) ∑++++1]1)1)[(n (n 12n 22. 4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n 2sin2; (2) ∑+12n n (-1)221-n ; (3) ∑n (-1)n ; (4) ∑+2nn 1. 5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性. (1) ∑+22a n 1; (2) ∑n n 3πsin 2; (3) ∑+2n 11;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 (4) ∑∞=2n n(lnn)1; (5) ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1; (6) ∑n n n 1; (7) ∑>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a ; (8) ∑∞=2n lnn (lnn)1. 6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性: (1) ∑+1n 12; (2) ∑+1n n 2; (3) ∑∞=3n )nlnnln(lnn 1;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (4) ∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)1. 7. 判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n nn!3; (2) ∑++2n 2n n 2; (3) ∑∞=2n lnn 1; (4) ∑≥-1)(a 1),a (n ; (5) ∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ; (6) ∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n! . 8. 求下列极限(其中P>1): (1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim . 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的: (1) ∑n!sinnx ; (2) ∑+-1n n 1)(n ; (3) ∑+-n 1p nn 1)(; (4) ∑-n 2sin1)(n ; (5) ∑+-)n 1n1)((n ; (6) ∑++-1n 1)(n l 1)(n n ; (7) ∑++-n n )13n 1002n (1)(; (8) ∑n )nx (n!;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 (9) ∑∞=<<1n )2x (0lnnsinnx π; (10) ∑-n n 11)(.10. 写出下列级数的乘积:(1) ()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1 三、考研复习题1. 证明:若正项级数∑n u 收敛,且数列{u n }单调,则0u lim n n =∞→.2. 若级数∑n a 与∑n C 都收敛,且成立不等式a n ≤b n ≤C n (n=1,2,…) 证明级数∑n b 也收敛.若级数∑n a ,∑n C 都发散,试问∑n b 一定发散吗?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢123. 若0k b a lim nn n ≠=∞→,且级数∑n b 收敛,证明级数∑n a 也收敛.若上述条件中只知道∑n b 收敛,能推得∑n a 收敛吗?4. (1) 设∑n u 为正项级数,且n 1n u u +<1,能否断定级数∑n u 收敛?(2) 对于级数∑n u 有|n 1n u u +|≥1,能否断定级数∑n u 不绝对收敛,但可能条件收敛.(3) 设∑n u 为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得0C n 1u lim ε1n n >=+∞→仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢135. 证明: 若级数∑n a 收敛,∑-+)b (b n 1n 绝对收敛,则级数n n b a ∑也收敛.6. 证明级数∑+bna 1是发散的. 7. 讨论级数∑∞=2n p n(lnn)1,(p>0) 的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数∑2n a 与∑2n b 收敛,则级数∑n n b a 和∑+2n n )b (a 也收敛,且仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 ()∑∑∑⋅≤+2n 2n 2n n b a b a ()()()()212n212n 212n n b a b a ∑∑∑+≤+ 10. 证明:(1)设∑n a 为正项级数,若0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→ 则正项级数∑n u 收敛,(2)若级数∑na 1发散,且 0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→, 则正项级数∑n u 发散.。

（4）各平方和的计算
Ti
=
mi j =1
yij，yi =
Ti mi
r
， T=
i =1
mi j =1
yij
=
r i =1
Ti，y
=
T n
r mi
则 ST
i1 j1
yij－y
2
r i 1
mi j 1
yij2－
T2 n
，fT＝n－1；
r
SA mi
i 1
yi－y
2
r
Ti
2
－
T
2
8 / 48
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

n＝mr＝12。每个水平下的数据和以及总数据和为：
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 方差分析与回归分析
8.1 复习笔记
一、方差分析
1．单因子方差分析的统计模型
yij
=
+ai
+
ij
,i
=1,2,,r
r
ai =0,
i =1
之，无明显差别，这一方法称为 T 法。
3．重复数不等场合的 S 法
cij
r－1 F1- (r－1,
fe
)
1 mi
1 mj
ˆ 2
三、方差齐性检验（见表 8-1-2）
表 8-1-2 方差齐性检验
5 / 48
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

四、一元线性回归
0 t1/2 n 2ˆ
1 x0 x 2