概率论与数理统计习题参考解答
习题一
8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率.
解: 设事件A ={出现3个正面}
基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.0812
1)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率.
解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门
基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数2
7C n A =,
467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .
10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?
解: 设A ={各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4},
基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n ,
有利于A 的基本事件数为2=A n ,
因此, 0833.012
1)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.
解: 设A i 为取到i 个次品（i =0,1,2,3）
基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i
则
00006.09833512196979697989910054321)(006.098
3359532195969739697989910054321)(138.098
33209495432194959697396979899100543213)(856.033
4920314719969798991009394959697)(510029733510039723225100
49711510059700=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P
12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,
基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数k
n N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n , 因此, n k C C C m m A P n N
k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,
则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310
121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.
解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,
则基本事件总数1644=⨯=n ,
有利于A 的基本事件数422=⨯=A n ,
有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.04
1164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .
15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.
解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则
P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,
B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有
P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.96
16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,
A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分,
A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则
B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数25276235
4321678910510=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C n 设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3,
则
5.0252126252601056)(,602
14532,1052,563
2167825
23123153312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯=
=B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.
解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个,
则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有
P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.994
19. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ).
解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则
()1/103(|)0.214()7/1514
)1/103(|)0.375()4/158
741148319()()()()0.6331515103030P AB P A B P B PAB P B A P A P A B P A P B P AB =
=======+-+=+-=+-=== 20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求
(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率
(2) B 失灵的条件下, A 有效的概率
解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有
P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P
