空间向量练习题
1. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD
的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的 坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），
33(2C 13(2D P （0，0，2）,3E （Ⅰ）证明 因为3
BE =， 平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =， 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面P AB . 又因为BE ⊂平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面P AB .
(Ⅱ)解 易知3(1,0,2),(0,
02PB BE =-=）， 13(0,0,2),(,22
PA AD =-= 设1111(,,)n x y z =是平面PBE 的一个法向量，则由110,
n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得
111122020,
3
000.2
x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n ===故可取 设2222(,,)n x y z =是平面PAD 的一个法向量，则由220,0
n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得
2222220020,
13
00.22
x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
⎨+
+⨯=⎪⎩所以2220,3.z x y ==-故可取2(3,1,0).n =-
于是，121212
2315
cos ,52
n n n n n n <>=
=
=⨯
故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是15
2. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有 棱长都为2，D 为CC 1中点。 （Ⅰ）求证：AB 1⊥面A 1BD ；
（Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离；
（Ⅰ）证明 取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．
在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，
AD ∴⊥平面11BCC B ．
取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间
直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，．
12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．
1AB ∴⊥平面1A BD ．
（Ⅱ）解 设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．
(113)AD =--，，，1(020)AA =，，．
AD ⊥n ，1AA ⊥n ，
100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪
⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，
．
令1z =得(301)=-，
，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，
1AB ∴为平面1A BD 的法向量．
cos 3364222
AB AB AB -->=
=
=-n n ．
∴二面角1A A D B --的大小为6arccos
4
． x
z
A
B C
D
1
A
1
C
1
B
O F y
（Ⅲ）解 由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，
1(200)(12BC AB =-=，，，，．
∴点C 到平面1A BD
的距离1
1
22BC AB d AB -=
=
=
． 3.如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，
2,CA CB CD BD AB AD ======
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．
⑴ 证明 连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,
BO DO BC CD ==，CO BD ⊥．
在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2AC =， 2
2
2
,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = ∴AO ⊥平面BCD ．
(2)解 以O
为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),(
1,0,0),B D -
1(0,0,1),((1,0,1),(1,2C A E BA CD =-=-
2
cos ,4
BA CD BA CD BA CD
⋅∴<>=
=
⋅ ∴ 异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为
4
． ⑶解 设平面ACD 的法向量为(,,),n x y z =则
