高考数学客观题解题法方法专题详解(教师版)
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高考数学客观题解题法方法专题详解1. 已知集合A ＝{k ∈Z|sin(k π－θ)＝sin θ，θ∈(0，π2)}，B ＝{k ∈Z|cos(k π＋θ)＝cos θ，θ∈(0，π2)}， 则(z A )∩B ＝( )．A ．{k |k ＝2n ，n ∈Z}B ．{k |k ＝2n －1，n ∈Z}C ．{k |k ＝4n ，n ∈Z}D ．{k |k ＝4n －1，n ∈Z} 【解析】在集合A 中，由sin(k π－θ)＝sin θ，θ∈(0，π2)可得k ＝2n －1，n ∈Z ；在集合B 中， 由cos(k π＋θ)＝cos θ，θ∈(0，π2)可得k ＝2n ，n ∈Z.则(z A )∩B ＝{k |k ＝2n ，n ∈Z}．【答案】A 2. 右图是某几何体的三视图，其中正(主)视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( )．A.83B.83 2C.43D.432 【解析】由三视图可知该几何体为正方体内部四棱锥P —ABCD ，则正方体的边长为2，所以BC ＝22，OP ＝2，所以四棱锥P －ABCD 的体积为13³2³22³2＝83，选A. 【答案】A3. 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 向双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的两条渐近线作垂线，垂足分别为M ，N ，O 为坐标原点，若四边形OMFN 的面积为4825，则双曲线的离心率为( )．A.53B.54C ．2D ．3【解析】根据条件可知抛物线的焦点坐标为F (2，0)，设tan θ＝ba，c 2＝a 2＋b 2，c >0，根据双曲线的对称性可知，四边形OMFN 可分为两个全等的直角三角形，在△OMF 中，||OM ＝2³a c ，||MF ＝2³b c ，所以S OMFN ＝2³12³2a c ³2b c ＝4825，解得12c 2＝25ab ，则有12a 2－25ab ＋12b 2＝0，即(4a －3b )(3a －4b )＝0.因为a >b ，所以3a ＝4b ，所以双曲线的离心率为54.【答案】B4. 若(1－x )n ＝1＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *)，且a 1∶a 3＝1∶7，则n ＝( ) A ．8 B ．9 C ．7 D ．10【解析】由二项展开式的特点可得a 1＝C 1n (－1)1，a 3＝C 3n (－1)3，因为a 1∶a 3＝1∶7，所以C 1n C 3n ＝17，解得n ＝8.5. 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动．有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为1.其中真命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】设球的球心O 到直线AB 、CD 的距离分别为d ′、d ，利用勾股定理可求出d ′＝3，d ＝2，所以CD 可以经过M ，而AB 不会经过N ，所以①正确，②不正确；又d ＋d ′＝5，d ′－d ＝1，所以③④正确．故选C. 【答案】C 6.(2013陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )．A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ]【解析】设x ＝3.2，则[－x ]＝[－3.2]＝－4，而－[x ]＝－[3.2]＝－3，故A 项错误；设x ＝2.7，则[2x ]＝[5.4]＝5，而2[x ]＝2[2.7]＝4，故B 项错误；设x ＝2.7，y ＝3.6，则[x ＋y ]＝[6.3]＝6，而[x ]＋[y ]＝[2.7]＋[3.5]＝2＋3＝5，故C 项错误．故选D.【答案】D7.已知向量a ，b ，c 满足||a ＝||b ＝a ²b ＝2，(a －c )²(b －2c )＝0，则||b －c 的最小值为( )．A.3－12 B.7－32 C.32 D.72【解析】由||a ＝||b ＝a ²b ＝2可知a ，b 的夹角为60°，不妨设a ＝(2，0)，b ＝(1，3)，c ＝(x ，y )， 则由(a －c )²(b －2c )＝0可得(2－x )(1－2x )＋(－y )(3－2y )＝0，整理可得2x 2－5x ＋2y 2－3y ＋2＝0即(x －54)2＋(y －34)2＝34，则||b －c ＝（x －1）2＋（y －3）2的最小值为（1－54）2＋（3－34）2－32＝7－32【答案B8. 定义在(0，π2)上的函数f (x )，其导函数是f ′(x )，且恒有f (x )<f ′(x )²tan x 成立，则( )．A ．f (π6)>3f (π3) B ．f (π6)<3f (π3) C.3f (π6)>f (π3) D.3f (π6)<f (π3) 【解析】根据条件不妨设f (x )＝－cos x ，则f (x )＝－cos x 满足题意，选项代入可知D 正确．【答案】D 9. (2013新课标全国Ⅰ卷)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，…， 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )．A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【解析】根据题意可证得b n ＋c n ＝2a n ，不妨取a 1＝4，b 1＝5，c 1＝3，则S 1＝6，根据条件可求得a 2＝4，b 2＝72，c 2＝92，根据海伦公式可求得S 2＝35，同理可求得S 3＝1894，S 4＝76516，则可得S 4>S 3>S 2>S 1，结合选项可知B 正确． 10. 如图，P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )． A ．1 B ．2 C.12 D.13【解析】不妨取点P 的坐标为(4，95)，则可计算S 1＝(3－95)³(5－4)＝65，S 2＝12³(4－2)³(95－35)＝65，所以S 1∶S 2＝1.11. 若椭圆C 1：x 2a 1＋y 2b 1＝1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 1a 2>b 1b 2； ③a 21－a 22＝b 21－b 22；④a 1－a 2<b 1－b 2.其中，所有正确结论的序号是( )．A ．①③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【解析】设椭圆C 1的方程为x 210＋y 26＝1，椭圆C 2的方程为x 25＋y 2＝1，则可知①③④是正确的．【答案】B12. 在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝2AC ，在平面内将△ABC 绕点C 逆时针旋转180°，点A ，B 旋转后分别记为A 1，B 1，则cos ∠B 1BA 1＝( )．A.31010 B. 1010 C.510 D.515【解析】根据条件可构造特殊的三角形，如图所示，不妨设点A (0，0)，B (2，0)，C (0，1)，则B 1(－2，2)，A 1(0，2)，BB 1→＝(－4，2)，BA 1→＝(－2，2)，∴cos ∠B 1BA 1＝BB 1→²BA 1→|BB 1→|³|BA 1→|＝1220³8＝31010.【答案】A13.已知函数f (x )＝lg(ax 2＋2bx ＋a )，且a ，b ∈R ，若f (x )的值域为R ，则(a ＋2)2＋(b －1)2的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)【解析】∵f (x )＝lg(ax2＋2bx ＋a )的值域为R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4b 2－4a 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（b －a ）（b ＋a ）≥0.画出可行域如图所示，由(a ＋2)2＋(b －1)2的几何意义可知(a ＋2)2＋(b －1)2≥4，故选 C.【答案】C14. 在△OAB 中，∠AOB ＝120°，OA ＝2，OB ＝1，D 、C 分别是线段AB 、OB 的中点，则OD →²AC →＝( )． A ．－2 B ．－32 C ．－12 D.34【解析】以OA 所在的直线为x 轴，垂直于OA 的直线为y 轴，建立直角坐标系，则点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(－12，32)，根据条件可得D (34，34)，C (－14，34)，所以OD →＝(34，34)，AC →＝(－94，34)，则OD →²AC →＝－2716＋316＝－32.【答案】B15.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0，则||2x －y －2的最小值是( )．A ．5－ 5B ．4－ 5 C.5－1 D ．5 5 【解析】x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，则||2x －y －2可看成是圆(x－2)2＋(y ＋3)2＝1上的点到直线2x －y －2＝0距离的5倍，由条件可得圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1与直线2x －y －2＝0相离，所以圆上的点到直线的最小值为5－1，则||2x －y －2的最小值为5－ 5.【答案】A16. 若方程|x 2＋4x |＝m 有实数根，则所有根的和可能为( )．A ．－2，－4，－6B ．－4，－5，－6C ．－3，－4，－5D ．－4，－6，－8【解析】画出y ＝|x 2＋4x |的图象可以看出，当m >4或m ＝0时，方程有两个根，因为图象关于x ＝－2对称，所以根的和为－4；当m ＝4时，方程有三个根，此时根的和为－6；当0<m <4时，方程有四个根，此时根的和为－8.【答D17.若复数z 满足：z ＋1＝(z －1)i ，则复数z 的共轭复数z －＝( )． A ．－i B ．i C ．1－i D ．1＋i 【解析】若z －＝－i ，则z ＝i ，不满足z ＋1＝(z －1)i ，所以A 不对；若z ＝i ，则z －＝－i ，满足z ＋1＝(z －1)i ，所以B 正确．【答案】B18. 阅读下边的程序框图，若输出的S 的结果是－14，则判断框内可填写( )． A ．i <6 B ．i <8 C ．i <5 D ．i <7【解析】若i <6，则S ＝2－1－3－5＝－7；若i <8，则S ＝2－1－3－5－7＝－14，符合题意，所以选B. 19.等比数列{}a n 中，a 1＝317，q ＝－12，记f (n )＝a 1a 2…a n ，则当f (n )最大时，n 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】此题对于f (n ) ＝ a 1a 2…a n ＝ a n1qn （n －1）2，因此将数据代入检验可知，f (7)＝3177³(－12)21<0，f (8)＝3178³(－12)28>0，f (9)>0，f (10)＝31710³(－12)45<0，因此f (9)＝3179³(－12)36>f (8)，故选C.【答案】C20.函数y ＝lg|x |x的图象大致是( )．【解析】y ＝lg|x |x 为奇函数，故排除B.又当x ＝1时，y ＝0，故排除C.又当x ＝10时，y ＝110，当x ＝100时，y ＝2100＜110，故排除A.【答案】D 21. 设a ，b ，c ，d ∈R ，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是( )． A ．a ＋b ≤2cd B ．a ＋b ≥2cd C ．|a ＋b |≤2cd D ．|a ＋b |≥2cd【解析】取a ＝2，b ＝12，c ＝0，d ＝2，可排除A ，C ；取a ＝－2，b ＝－12，c ＝0，d ＝2可排除B.所以选D.22.函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1，2}B ．{1，4}C ．{1，2，3，4}D ．{1，4，16，64}【解析】若解集不可能是A ，则解集也不可能是C ，所以不选A ，同理也不选B ，答案只能在C 、D 中产生；若方程有四个解，根据题意可知其中两组解必是关于某条直线对称，在C 选项中：1、4关于x ＝2.5对称，2、3也关于x ＝2.5对称，所以是可能的解，而D 选项没有这样的对称轴．【答案】D23.已知f (x )＝ln x1＋x －ln x ，f (x )在x ＝x 0处取得最大值，以下各式正确的个数为( )．①f (x 0)<x 0；②f (x 0)＝x 0；③f (x 0)>x 0；④f (x 0)<12；⑤f (x 0)>12. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】①②③中只能有一个成立，④⑤中也必有一个成立，所以选A.【答案】A 24.设a ＝log32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a【解析】c ＝5－12＝55<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3>ln 3ln 3＝12，且a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2，所以c <a <b .【答案】C25. 如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数y ＝x 3的图象与x 轴及x ＝±1围成的阴影区域．向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )． A.116 B.18 C.14 D.12【解析】从图象中可以看到，阴影部分的面积小于正方形面积的14，所以该点落入E 中的概率小于14，所以排除C ，D ；又因为阴影部分的面积接近正方形面积的18，所以估计事件发生的概率为18.【答案】B26. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( )．A ．(0，π6) B ．(π6，π4) C ．(π4，π3) D ．(π3，π2)【解析】由于抛物线与双曲线有相同的焦点F ，所以p2＝c ，又AF ⊥x 轴，设A (c ，2c )，代入x 2a2－y 2b 2＝1消去c 得4a 2(a 2＋b 2)＝b 4，两边同除以a 4，得k ＝b a＝2＋22>3，则l 的倾斜角所在的区间可能是(π3，π2)．【答案】D27.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如右图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，记∠APB ＝θ，则sin 2θ的值是( ) A.1665 B.6365 C ．－1663 D ．－1665【解析】由图可知，θ→π2，C 、D 是负值根本不可能．则2θ→π，故sin 2θ→0，故排除B.【答案】A28.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若存在满足MF 1→²MF 2→＝0的点M 在椭圆外部，则椭圆离心率的取值范围是( )．A ．(0，1) B ．(12，1) C ．(22，1) D ．[22，1)【解析】由题知，垂足M 的轨迹为以焦距为直径的圆，若存在点M 在椭圆的外部，则圆的半径必大于椭圆的短半轴长，c >b ⇒c 2>b 2＝a 2－c 2⇒e 2>12，可见椭圆可趋向于线的状态，则e →1，又e ∈(0，1)，所以e ∈(22，1)．【答案】C对点训练答案详解1．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )．A ．(0，1)B ．(0，2]C ．(1，2)D ．(1，2]【解析】(直接法)0<log 4x <1⇒log 41<log 4x <log 44，∴1<x <4，故A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．【答案】D 2．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )．A ．2＋iB ．2－IC ．5＋iD ．5－i 【解析】(直接法)由(z －3)(2－i)＝5，得z ＝52－i ＋3＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以z －＝5－i ，选D.3．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )．A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a ⊂α，b ⊥β，α∥βD ．a ⊂α，b ∥β，α⊥β 【解析】(特例法)如图举出A 、B 、D 的反例，因此选C4．若方程ln x ＋x －4＝0在区间(a ，b )(a ，b ∈Z ，且b －a ＝1)上有一根，则a 的值为( )． A. 1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】(筛选法)设f (x )＝ln x ＋x －4，然后把选项一个一个地代入检验，可以发现B 适合．【答案】B5．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系 数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )． A ．5 B ．6 D ．7 D ．8【解析】(直接法)(x ＋y )2m 的展开式中，二项式系数的最大值为C m 2m ＝a ，(x ＋y )2m ＋1的展开式中，二项式系数的最大值为C m2m ＋1＝b ，因为13a ＝7b ，代入解得m ＝6，所以答案为B.【答案】B 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1B ．－1C ．－2D ．0【解析】(直接法)由题意可知，T ＝0→T ＝1→S ＝0→T ＝1→S ＝－1→T ＝0→S ＝－1→T ＝－1→S ＝0，所以选D.7．函数y ＝ln e x －e －xe x ＋e －x 的图象大致为( )．【解析】(推理分析法)因为e x ＋e －x >0，所以e x －e －x>0，则x >0，所以A ，B 不对；又因为0<e x－e －x<e x ＋e －x，所以e x －e－xe x ＋e－x <1，则y <0，所以D 不对．故选C.【答案】C8．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的 图象过区域M 的a 的取值范围是( )．A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9]【解析】(图解法)画出线性区域如图所示．函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过A 时有a 3＝8，∴a ＝2；函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过B 时有a 1＝9，∴a ＝9，因此函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是[]2，9.【答案】C9．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何 体的体积为( )．A ．7 B.223 C.476 D.233【解析】(直接法)如图所示，该几何体是正方体截取两个三棱锥所得的几何体，所以该几何体的体积V ＝8－2³13³1³12³1³1＝233.【答案】D 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，S 3a 3，…， S 9a 9中最大的项为( )． A.S 6a 6 B.S 7a 7 C.S 8a 8 D.S 9a 9【解析】(估算法)由S 15>0，S 16<0，可知等差数列{a n }的首项a 1>0，公差d <0，且a 8>0，a 9<0，则S 1，S 2，…，S 8逐渐增加，S 9开始减少，而a 1，a 2，…，a 8逐渐减少，所以S 1a 1<S 2a 2<…<S 8a 8>S 9a 9，所以C 正确．【答案】C11．从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则十位数字 比个位数字和百位数字都大的概率为()． A.16 B. 14 C.13 D.12【解析】(直接法)从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数共有A 36＝120个，十位数字比个位数字和百位数字都大的三位数有C 36A 22＝40个，所以所求事件的概率为13.【答案】C12．函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )²g (x )的图象只可能是( )．【解析】(极限法)由函数f (x )²g (x )的解析式可以看出函数为偶函数，所以可以排除A 、D ；当x →＋∞时，f (x )>0，g (x )<0，所以f (x )²g (x )<0，可排除B ，所以选C.【答案】C13．如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )．【解析】(直接法)弧长l ＝r ²|α|＝x ，∴∠FOG ＝x .过O作OH ⊥FG 于H ，设OH ＝h ，∴h ＝cos x 2，在△ABC 中y ＝周长－2²AE ＝23－43h ＝23－43cos x2，结合图象可知选D.【答案】D14．若a ，b ∈R ，使||a ＋||b >1成立的一个充分不必要条件是( )．A.||a ＋b ≥1 B ．a ≥1 C.||a ≥0.5，且b ≥0.5 D ．b <－1【解析】(逆向法)当a ＝1，b ＝0时，都满足选项A ，B ，但是不能得出||a ＋||b >1；当a ＝0.5，b ＝0.5时，满足选项C ，但是不能得出||a ＋||b >1.【答案】D15．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是( )．【解析】(推理分析法)设F (x )＝f (x )e x，∴F ′(x )＝e xf ′(x )＋e xf (x )＝e x(2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )．又∵x ＝－1为f (x )e x 的一个极值点， ∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c, 则方程ax 2＋bx ＋c ＝0变为ax 2＋bx ＋a ＝0，则Δ＝b 2－4a 2, 当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1，∴A 、B 正确．当Δ>0时， f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋a (a ，b ，c ∈R)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋a ＝0的两根之积为1，对照C 、D 可以发现D 不符合，所以选D.【答案】D。
