解析几何总结
一、直线
1、 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角。
2、 直线的斜率：当倾斜角不是90时，倾斜角的正切值。tan ()2
k π
αα=≠
3、 直线的斜率公式：设111(,)P x y ,222(,)P x y 12()x x ≠ 21
21
y y k x x -=-
4、 直线的倾斜角和斜率关系：（如右图） 02
πα≤<
；0k >；单调增；
2
π
απ<<，0k <；单调增
5、 直线的方程
（1）点斜式：11()y y k x x -=- ⑵、斜截式：y kx b =+ （3）两点式：
112121y y x x y y x x --=-- ⑷、截距式：1x y
a b
+=
⑸、一般式：2
2
0(0)Ax By C A B ++=+≠
⑹、参数式： 11
cos sin x x t y y t θ
θ=+⋅⎧⎨
=+⋅⎩（t 为参数）参数t 几何意义：定点到动点的向量
6、 直线的位置关系的判定（相交、平行、重合）
1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+ 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=
平行：12k k =且12b b ≠
111
222A B C A B C =≠ 相交：12k k ≠
11
22
A B A B ≠ 重合：12k k =且12b b =
111
222
A B C A B C == 垂直：121k k ⋅=- 12120A A B B +=
7、 到角及夹角(新课改后此部分已删掉)
到角：直线1l 依逆时方向旋转到与2l 重合时所有转的角。21
21
tan 1k k k k α-=
+
夹角：不大于直角的从1l 到2l 的角叫1l 与2l 所成的角，简称夹角。21
21
tan 1k k k k α-=+
8、 点到直线的距离（应用极为广泛）
P （00,x y ）到1:0l Ax By C ++=
的距离d =
平行线间距离：11:0l Ax By C ++= 22:0l Ax By C ++=
d =
10、简单线性规划（确定可行域，求最优解，建立数学模型）
⑴、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不
等式（等式）表示的条件较线性约束条件。
⑵、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题 11、直线系：具有某种公共属性的直线的集合。
（1）同斜率的直线系方程：y kx b =+（k 为定值，b 为变量） （2）共截距的直线系方程：y kx b =+（b 为定值，k 为变量）
（3）平行线束：与0Ax By C ++=平行的直线系：0Ax By m ++=（m 为变量） （4）垂直线束：与0Ax By C ++=垂直的直线系：0Bx Ay m -+=（m 为变量） （5）过直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程： 11222()0A x B y C A x B y C λ+++++=或222111()0A x B y C A x B y C λ+++++= （不包含1l ）（适用于证明恒过定点问题） 12、对称问题
点关于点的对称 直线关于点的对称 曲线关于点的对称 点关于直线的对称 直线关于直线的对称 曲线关于直线的对称
二、轨迹问题
(一)求轨迹的步骤
1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p （x ，y ）
2、立式：写出适条件的p 点的集合
3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x ，y ）=0
4、化简：化成简单形式，并找出限制条件
5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上
（二）求轨迹的方法
1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹
2、定义法：利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题
4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线，然后联立，消去变量即可。
5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。
6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找到轨迹方程。
三、圆
1、 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合叫圆
2、 圆的方程
1）特殊式：2
2
2
x y r += 圆心（0，0）半径r 2）标准式：2
2
2
()()x a y b r -+-=
3）一般式：2
20x y Dx Ey F ++++=（22
40D E F +->）圆心（,22
D E -
-）
4）参数式：cos sin x a r y b r θ
θ
=+⋅⎧⎨
=+⋅⎩（θ为参数）圆心（a ，b ）半径为r
3、点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d ，圆的半径为r
点在圆外⇔d>r 点在圆上⇔d=r 点在圆内⇔d4、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++= 圆C 2
2
2
()()x a y b r -+-= 线心距
d =
相交⇔0>或dr 5、圆的切线求法
1）切点00(,)x y 已知
222x y r += 切线2x x y y r +=
222
()()x a y b r -+-= 切线200()()()()x a x a y b y b r --+--=
2
2
0x y Dx Ey F ++++= 切线0000022
x x y y
x x y y D
E F ++++++= 满足规律：20x x x →、2
0y y y →、02x x x +→、02
y y y +→
2）切线斜率k 已知时，
2
2
2
x y r += 切线y kx =±
