几类二阶变系数微分方程的求解

二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。

在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。

求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。

特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。

2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。

可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。

4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。

举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。

需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。

非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。

此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。

二阶非线性微分方程的解法微分方程是现代数学里研究的重要分支之一，也是物理、工程、经济等各个领域中重要的工具。

本文将介绍二阶非线性微分方程的解法，希望对读者有所帮助。

1. 常系数二阶非线性微分方程一般地，形如$y''+f(y)=0$的二阶非线性微分方程是需要特殊注意的。

如果$f(y)$是一个关于$y$的线性函数，那么这个方程就是线性的，可以用标准的方法解决。

但如果$f(y)$是一个非线性函数，问题就比较麻烦了。

对于常系数二阶非线性微分方程，如$$y''+ay+f(y)=0$$其中$a$是常数，我们可以使用想象力来得到它的近似解。

设$y=y_0+u$，其中$y_0$是$y$的一阶近似解，$u$是一个小量。

代入方程得到$$u''+yu'+f(y_0+u)=0$$忽略$u$的高阶项，即可得到$u''+y_0u'+f(y_0)=0$，这是一个线性方程，可以解出$u$，进而得到$y=y_0+u$的近似解。

2. 变系数二阶非线性微分方程对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y+r(x)=0$的非齐次线性微分方程，可以通过求出它的齐次解和一个特解的和来得到通解。

但对于非线性微分方程，通常需要采用其它方法来解决。

一个有效的方法是使用变换$$z=y'^2$$将原来的二阶方程转化为一阶方程。

将原方程对$x$求导得到$$y'''+(p(x)+2y''/y')y''+q(x)y'+q'(x)y=0$$用变换$z=y'^2$，得到$$y''=\frac{z'}{2\sqrt{z}}$$代入方程中，可以得到一个一阶非线性微分方程：$$zz''+(p(x)+2\sqrt{z})z'+q(x)z+r(x)=0$$这个方程可以用常数变易法来求解。

第五节 二阶线性微分方程解的结构分布图示★ 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的定理★ 定理1 ★ 函数的线性相关与线性无关★ 定理2 ★ 定理3★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1★ 解线性微分方程的降阶法★ 例2 ★ 常数变易法 ★ 例3★ 线性微分方程的解法小结★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7—5 ★ 返回内容要点一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22x f y x Q dx dy x P dx y d =++， (5.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(5.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(5.1)成为0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， (5.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个解, 则)()(2211x y C x y C y += (5.3)也是方程(5.2)的解，其中21,C C 是任意常数.定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(5.2)的通解，其中21,C C 是任意常数.定理3 设*y 是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 *+=y Y y (5.4)就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.定理4 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则**+21y y 是方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.5)的特解.定理5 设21iy y +是方程)()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.6)的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P 三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dy x P dxy d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d 的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲例 1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ①所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-''(3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-降阶法例2（E01）已知x x y sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换⎰=,1zdx y y 则有dx dy ⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dz cot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x +-=).cos sin (112x C x C x -= 其中21,C C 为任意常数. .Cx dxdy =从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y += 为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*根据常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212120201⇒,211='u .2122x u -=' 积分并取其一个原函数得,211x u =.632x u -=于是，题设原方程的一个特解为 *y 1221⋅+=u x u 6233x x -=.33x = 从而题设方程的通解为.33221x C x C y ++=常数变易法例3（E02）求方程x dx dy x dxy d =-122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx xdx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln ln C xdxdy += 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=* 从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++=例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y x y x x y 的通解. 解 因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解2y dx e e e dx x xx x ⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?).(,)2(;,)1(22b a e e xe e bx ax x x ≠2.给出n 阶线性微分方程的n 个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?3.已知x e x y =)(1是齐次方程02=+'-''y y y 的解, 求非齐次方程x e x y y y 12=+'-''的通解.。

求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，其中$p(x),q(x),f(x)$为已知函数，$y$是未知函数。

解二阶微分方程的一般思路是先求出其对应的齐次方程的通解，再找一个特解，将它们相加即可得到原方程的通解。

首先，我们来解齐次方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$。

设其解为$y=h(x)$，将其代入原方程得到：$$h''(x)+p(x)h'(x)+q(x)h(x)=0$$这是一个二阶线性非齐次常系数微分方程，可以使用常数变易法求解。

设$h(x)=e^{rx}$，代入原方程得到：$$r^2e^{rx}+p(x)re^{rx}+q(x)e^{rx}=0$$化简后得：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$这是一个关于$r$的一元二次方程，我们可以解得$r_1$和$r_2$。

此时，方程的两个线性无关的解分别为$h_1(x)=e^{r_1x}$和$h_2(x)=e^{r_2x}$。

如果$r_1$和$r_2$是相等的实数，那么$h_1(x)$和$h_2(x)$是线性相关的，此时只取一个解。

如果$r_1$和$r_2$是两个不同的实数，那么它们的线性组合$c_1h_1(x)+c_2h_2(x)$也是齐次方程的解，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

如果$r_1$和$r_2$是共轭复数，即$r_1=\alpha+i\beta$和$r_2=\alpha-i\beta$，那么$e^{r_1x}$和$e^{r_2x}$都是齐次方程的解。

我们可以通过欧拉公式将其化为正弦和余弦的形式，即：$$e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),\ e^{\alphax}(\cos(\beta x)-i\sin(\beta x))$$将这两个解合并为一个复数解$h(x)=e^{\alpha x}(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x))$。

二阶微分方程通解的求法一、一阶微分方程一阶微分方程也称为线性微分方程，它是与时间有关的一类微分方程，它的求解比较简单，常用的求解方法有积分法、特征值法等。

1、积分法积分法是最常用的求解一阶微分方程的方法，即：根据给定条件，利用积分，求出关于时间的函数的变化规律。

设y=f (t) 是特定条件下的一阶微分方程：dy/dt=f (t)若f (t)可以积分，则有：∫f(t)dt=∫dy=y+C即：y=∫f(t)dt+C其中C是积分常数，它的值取决于初始条件。

2、特征值法特征值法是将一阶微分方程变换成矩阵形式的求解方法，即：将一阶微分方程的解表示为一个特征值和一个特征向量的线性组合。

特征值是一个根，特征向量是相应的自由向量。

设y=f (t) 是特定条件下的一阶微分方程：dy/dt=f (t)变换成向量形式：dY/dt=A×Y其中Y是一个n维向量，A是一个n × n的矩阵，A的特征值特征向量分别为λj, xj，Y的原函数解为：Y=c1x1+c2x2+…+cnxn其中ci=Y(0)xij二、二阶微分方程二阶微分方程是一类非线性微分方程，它的求解比较复杂，常用的求解方法有解析方法、特征值法等。

1、解析方法解析方法是用简单的数学工具从方程本身求出其解的方法。

设y=f (t) 是特定条件下的二阶微分方程：d2y/dt2=f (t)化简得：y″=f (t)设其通解为：y=c1sinωt+c2 cosωt将它带入二阶微分方程，两边同时积分，设积分常数为c，有：ω^2y=f(t)+c令ω^2=α，则：αy=f(t)+c解出y：y=∫f(t)/αdt+c2、特征值法特征值法也可以用来求解二阶微分方程。

设y=f (t) 是特定条件下的二阶微分方程：d2y/dt2=f (t)变换成向量形式：d2Y/dt2=A×Y其中Y是一个n维向量，A是一个n×n的矩阵，A的特征值和特征向量分别为λj, xj，Y的原函数解为：Y=c1x1exp(λ1t)+c2x2exp(λ2t)+…。

求解二阶微分方程二阶微分方程是指形式为$y''+f(x)y'+g(x)y=0$的方程，其中$f(x)$和$g(x)$是已知函数。

在下面的讨论中，我们将介绍如何求解这样的微分方程。

首先考虑形如$y''+ay'+by=0$的方程，其中$a$和$b$都是常数。

这样的方程称为常系数齐次线性二阶微分方程。

对于这类方程，我们可以根据特征方程$λ^2+aλ+b=0$的解来求解。

特征方程的解称为特征根。

1.如果特征方程的根是实数，假设为$r_1$和$r_2$，则方程的通解为$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

2. 如果特征方程的根是共轭复数，假设为$α±βi$（其中$α$和$β$都是实数），则方程的通解为$y=e^{αx}(c_1\cos(βx)+c_2\sin(βx))$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数。

注意：如果特征方程的根是重根，那么在通解中还需要考虑相应的$x$的幂函数项。

接下来考虑形如$y''+ay'+by=r(x)$的方程，其中$r(x)$是已知函数。

这样的方程称为非齐次线性二阶微分方程。

对于这类方程，我们可以先求解齐次线性二阶微分方程的通解$y_h(x)$，然后再寻找非齐次解$y_p(x)$，使得方程的通解为$y=y_h+y_p$。

非齐次线性二阶微分方程的非齐次解$y_p(x)$可以通过待定系数法或变异参数法来求解。

1.待定系数法待定系数法适用于$r(x)$为多项式函数、指数函数、三角函数或多个这些函数的线性组合的情况。

- 若$r(x)$为多项式函数，假设为$P_n(x)$（其中$P_n(x)$是$n$次多项式），则$y_p(x)$的形式为$y_p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，将$y_p$代入方程，确定待定系数的值。

2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。

1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。

2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。

2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。

2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。

3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。

3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。

3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。

4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。