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第45炼 利用均值不等式求最值
一、基础知识：
1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=
（1）调和平均数：12
111n n
n
H a a a =
++
+
（2
）几何平均数：n G =
（3）代数平均数：12n
n a a a A n
++
+
=
（4）平方平均数：
n Q =
2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===
特别的，当2n
=时，22G A ≤⇒2
a b
+≤
即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：
（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况
（2）2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况
（3）2
2
2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求
23y x x =+
的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2
3y x x
=+≥有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2
4y x x =+
为了乘积消掉x ，则要将3
x
拆为两
个
2x
，则22422y x x x x x =+=++≥=
② 乘积的式子→和为定值，例如3
02
x <<
，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2
112329
322322228
x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤=
⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求
m n
x y
+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求
32
x y
+的最小值 解：
()3232942366y x x y x y x y x y
⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭
94121224y x x y =+
+≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值
解：()2
2
211222228
x y x y xy x y ++⎛⎫
=⋅⋅≤= ⎪
⎝⎭ 所以()()
2
224248
x y x y xy x y +++=⇒++
≥
即()()2
282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y +=-
注：此类问题还可以通过消元求解：42241
x
x y xy y x -++=⇒=
+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 二、典型例题：
例1：设1x >-，求函数(5)(2)
1
x x y x ++=+的最小值为_______________
思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)4
1511
x x y x x x ++=
=+++++，使用均值不等式可得：
59y ≥+=，等号成立条件为4111x x x +=
⇒=+，所以最小值为9 答案：9
例2：已知0,0x y >>，且11
5x y x y
++
+=，则x y +的最大值是________ 思路：本题观察到所求x y +与
11
x y
+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即
2114
112x y x y x y
x y
+≤
⇒+≥++，代入方程中可得： ()()
()()2
45540x y x y x y x y ++
≤⇒+-++≤+，解得：14x y ≤+≤，所以最大值
为4 答案：4
例3：已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则22
21
m n m n +++的最小值为（ ） A.
14 B. 415
C. 18
D. 13
思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用
分离常数法将分式进行简化。2241
212121
m n m n m n m n +=-+-++++++，结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出最值
