2018届高考数学分类练习 第11练 指数函数 含答案

2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22xy -=B．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D4．已知a ＝512，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．18.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．b c a<<D ．c a b<<9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．109310.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.14．已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）16．若函数()2,1,x a x af x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422xxf -<．20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101xf x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101xg x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）22.（本小题满分12分）已知函数xy a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xxa f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷第4章指数函数对数函数（二）(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x【答案】D 【解析】由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为()42xf x =，故选D ．2.下列各函数中，值域为(0,)+∞的是（）A ．22x y -=B ．y =C ．21y x x =++D ．113x y +=【答案】A 【解析】A ，y ＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B ，因为1－2x ≥0，所以2x ≤1，x ≤0，y (－∞，0]，所以0＜2x ≤1，所以0≤1－2x ＜1，所以y [0,1)．C ，y ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D ，因为11x +∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y ＝113x +的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．选A ．3.已知2log 3x =，则13x -等于（）A ．2B ．12C．D【答案】B 【解析】由2log 3x =知328x ==，所以()1131331222x---===，故选B ．4．已知a＝12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的关系为()A ．m ＋n<0B ．m ＋n>0C ．m>nD ．m<n【答案】D 【解析】∵0＜512-＜1∴f （x ）=a x 在R 上单调递减，又∵f （m ）＞f （n ），∴m ＜n ，故选D ．5．已知函数12log ,0()2,0xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，若关于x 方程()f x k =有两不等实数根，则k 的取值范围（）A ．（0，+∞）B ．（,0-∞）C ．（1，+∞）D ．(0,1]【答案】D 【解析】作出函数()y f x =和y k =的图象，如图所示由图可知当方程()f x k =有两不等实数根时，则实数k 的取值范围是(0,1]故选D6.若函数(01,1)x y a a a m =>-≠+的图像在第一、三、四象限内，则（）A ．1a >B ．1a >，且0m <C ．01a <<，且0m >D ．01a <<【答案】B 【解析】因为函数x y a =的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将x y a =向下移动，因为当01a <<时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当1a >时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故1a >，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故11m -<-，0m <，故选：B ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程ln 4x x =的解，则12x x 等于（）A ．4B ．2C ．eD ．1【答案】A 【解析】因为1x 是方程4x xe =的解，所以1x 是函数x y e =与4y x=交点P 的横坐标；又2x 是方程ln 4x x =的解，所以2x 是函数ln y x =与4y x=交点Q 的横坐标；因为函数x y e =与ln y x =互为反函数，所以函数x y e =与ln y x =图像关于直线y x =对称，又4y x=的图像关于直线y x =对称，因此，P ，Q 两点关于直线y x =对称，所以有1221x y x y =⎧⎨=⎩，因此12114==x x x y .故选：A8.（2020全国III 卷）.已知5458<，45138<.设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】：：易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <，因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==，又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <，综上所述：a b c <<.故选：A ．9.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】：设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg 3lg10361lg 38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D ．10.若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),+∞a ，则a 的取值范围为（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦ 函数()f x 的值域为(),+∞a 114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B11．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D ．12．设a 、b 、c 依次表示函数()121f x x x =-+，()12log 1g x x x =-+，()112xh x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点，则a 、b 、c 的大小关系为（）．A ．a b c <<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．b c a<<【答案】D 【解析】依题意可得，12121,log ,()2xy x y x y ===的图象与1y x =-的图象交点的横坐标为,,a b c ，作出图象如图：由图象可知，b c a <<，故选：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．．若lg 2m =，31log 10=n，则用m ，n 表示5log 6等于________.【答案】1+-m n m【解析】因为31log 10=n，所以11lg 3=n ，得到lg3n =.5lg 6lg 2lg 3log 6lg 5lg10lg 21++===--m nm .故答案为：1+-m n m14．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则________.【答案】2【解析】设lg 2a =，则1lgln 22a =-=-，()())ln 31f a f a a +-=++()22ln 31ln 1992ln122a a a ⎫++=+-+=+=⎪⎭，所以()1lg 2lg 22f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以答案为215.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了_____个“半衰期”.（提示：910.001952=）【答案】10【解析】设生物组织内原有的碳14含量为x ，需要经过n 个“半衰期”才不能测到碳14，则1121000n x x ⋅<，即10.0012n<，由参考数据可知，910.001950.0012=>，10110.001950.0009750.00122=⨯=<，所以10n =，故答案为：10.16．若函数()2,1,x a x a f x x x a +≥⎧=⎨-<⎩只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】(](],10,1-∞- 【解析】函数21y x =-的零点为±1.①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-；②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤；③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞- .故答案为：(](],10,1-∞- .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2的零点个数．【解析】解法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (2)＝4＋lg 3－2>0由零点存在性定理，f (x )在(0,2)上存在实根又f (x )＝2x ＋lg(x ＋1)－2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )有且只有一个零点．解法二：(数形结合)在同一坐标系中作出g (x )＝2－2x 和h (x )＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，由图象可知有且只有一个交点，即函数f (x )有且只有一个零点．18.(本小题满分12分)．已知函数()2x f x =，x A ∈的值域为[2,16]，函数2222()(log )log g x x x =-.（1）求集合A ；（2）求函数()y g x =，x A ∈的值域.【答案】（1）1[,4]2；（2）[1,3]-【解析】（1）因为函数()2xf x =的值域为⎤⎦216x ≤≤，所以142x ≤≤，即函数()f x 的定义域1,42A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.（2）令2log t x =，因为142x ≤≤，所以21log 2x -≤≤，即12t -≤≤，所以函数()y g x =，x A ∈可以化为()22u t t t =-（12t -≤≤），所以()()min 11u t u ==-，()()max 13u t u =-=，即函数()y g x =，x A ∈值域为[]1,3-.19(本小题满分12分)．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x x f -<．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{}|1x x <【解析】（1）证明：令0m n ==，则()()()()000020f f f f +=+=，∴()00=f .（2）证明：令n m =-，则()()()f m m f m f m -=+-，∴()()()00f f m f m =+-=，∴()()f m f m -=-，∴对任意的m ，都有()()f m f m -=-，即()y f x =是奇函数．在(),-∞+∞上任取1x ，2x ，且12x x <，则210x x ->，∴()()()()()2121210f x x f x f x f x f x -=+-=->，即()()12f x f x <，∴函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数.（3）原不等式可化为()()()()4211112x x f f f f -<+=+=，由（2）知()f x 在(),-∞+∞上为增函数，可得422x x -<，即()()12022x x +<-，∵210x +>，∴220x -<，解得1x <，故原不等式的解集为{}|1x x <.20(本小题满分12分)．已知函数()()lg 101x f x =-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）设函数()()()lg 101x g x f x =-+，若关于x 的不等式()g x t <恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（Ⅰ）定义域为()0,x ∈+∞.值域为R .（Ⅱ）0t ≥【解析】（Ⅰ）∵1010x ->，∴01010x >，∴()f x 的定义域为()0,x ∈+∞.又∵1010x ->，∴()f x 的值域为R .（Ⅱ）()()()()()lg lg 1101l 0101g 1x x xg x f x =-+=--+1012lg lg 1101101x x x ⎛⎫-⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.∵100x >，∴1011x +>，∴202101x <<+，∴220101x -<-<+，∴2011101x <-<+，∴2lg 10101x ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，∴()g x 的值域为(),0-∞.∵关于x 的不等式()g x t <恒成立，∴0t ≥.21(本小题满分12分).某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？（3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年.【解析】解：（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a +=所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121n a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216m a a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈故至少还需要26年22.（本小题满分12分）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记()2xx a f x a =+．（1）求a 的值；（2）证明：()(1)1f x f x +-=；（3）求1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++ 的值．【答案】（1）20；（2）见答案（3）1008【解析】（1）函数x y a =（0a >且1a ≠）在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，∴220a a +=，得4a =或5a =-（舍去）．（2）由（1）知4()42xx f x =+，∴1144444()(1)442424224x x xx x x x x f x f x --+-=+=+++++2044421422444242x x x x x x =+=+=+⋅+++．（3）由（2）知12016(()120172017f f +=，22015()(120172017f f +=， ，10081009()(120172017f f +=，∴123201612016(()(([()(201720172017201720172017f f f f f f ++++=+ 2201510081009[(()][(()]11110082017201720172017f f f f +++++=+++=。

课时分层训练(八) 指数与指数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数f (x )＝2|x －1|的大致图像是( )A B C DB [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜1.所以f (x )的图像在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．]A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aD [∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x为减函数，35＞25，∴b ＜c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35＞25，∴a ＞c ，∴b ＜c ＜a ，故选D.]3．(2016·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x，其中a ＞0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2A [∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.]4．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t在R 上为减函数，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )【导学号：66482056】A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C [当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1， 所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．] 二、填空题6．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________.2 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.]7．已知函数f (x )＝4＋ax －1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是________.【导学号：66482057】(1,5) [由f (1)＝4＋a 0＝5知，点P 的坐标为(1,5)．]8．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系为________．m ＞n [∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x在R 上递增，由f (m )＞f (n )，得m ＞n .] 三、解答题 9．求不等式a2x －7＞a4x －1(a ＞0，且a ≠1)中x 的取值范围．[解] 设y ＝a x(a ＞0且a ≠1)， 若0＜a ＜1，则y ＝a x为减函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＜4x －1，解得x ＞－3；5分若a ＞1，则y ＝a x为增函数， ∴a2x －7＞a4x －1⇔2x －7＞4x －1，解得x ＜－3. 9分综上，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－3，＋∞)； 当a ＞1时，x 的取值范围是(－∞，－3). 12分 10．已知函数f (x )＝12x －1＋a 是奇函数．(1)求a 的值和函数f (x )的定义域；(2)解不等式f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0. [解] (1)因为函数f (x )＝12x－1＋a 是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝11－2x －a ，即 1－a 2x ＋a 1－2x ＝a ·2x＋1－a 1－2x，从而有1－a ＝a ，解得a ＝12. 3分 又2x－1≠0，所以x ≠0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 5分 (2)由f (－m 2＋2m －1)＋f (m 2＋3)＜0，得f (－m 2＋2m －1)＜－f (m 2＋3)，因为函数f (x )为奇函数，所以f (－m 2＋2m －1)＜f (－m 2－3). 8分由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，解得m ＞－1，所以不等式的解集为(－1，＋∞). 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b ＝0.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的图像如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b得a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．]2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________.【导学号：66482058】e [由于f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x ＜1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ； 当x ＜1时，f (x )＞e. 故f (x )的最小值为f (1)＝e.] 3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a ＞0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立． [解] (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0， ∴函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 2分 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数. 5分(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x ＞0时的情况． 当x ＞0时，要使f (x )＞0，即⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x＋12 a x－1 ＞0，9分 即a x－1＞0，a x＞1，a x＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a＞1时，f (x)＞0. 12分。

第十节函数模型及其应用知识回顾1．几类函数模型2.三种函数模型的性质1.【2019年浙江丽水高一上学期期末考试数学试卷统测】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N=2N0时，t=________ ．ln⁡2【答案】1λ【解析】【解答】某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0eλt，其中N0，λ是正的常数．当N= 2N0时，则N=N0eλt=2N0≠0，化为：eλt=2，ln⁡2．解得t=1λ故答案为1λln⁡2．【分析】由题意可得：N =N 0e λt =2N 0≠0，化为：e λt =2，化为对数式即可得出． 【备注】【点评】本题考查了指数式化为对数式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 答案p ＋1q ＋1－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.3．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号．4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________． 答案 15,12解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.6．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.课中讲解考点一.函数图像刻画变化过程例1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.变式1．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )A．1B．2C．3 D．4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．例2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.变式2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．考点二.应用所给的模型解决实际问题例1.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度 v （单位：m ⋅s −1）与其耗氧量 Q 之间的关系为 v =a +blog 3⁡Q10（其中 a 、b 是常数）．据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为个 90 单位时，飞行速度为 1m ⋅s −1．若这种候鸟为赶路程，飞行的速度不能低于 2m ⋅s −1，求其耗氧量至少要多少个单位． 【答案】270 个单位【解析】由题意，知 {a +blog 3⁡3010=0a +blog 3⁡9010=1，即 {a +b =0a +2b =1，解得 {a =−1b =1，所以 v =−1+log 3⁡Q 10， 要使飞行速度不能低于 2m ⋅s −1，则有 v ⩾2，即 −1+log 3⁡Q 10⩾2，即 log 3⁡Q10⩾3，解得 Q10⩾27，即 Q10⩾270，所以耗氧量至少要 270 个单位．变式1.数据显示，某 IT 公司 2018 年上半年五个月的收入情况如下表所示：月份 2 3 4 5 6月收入（万元）1.42.565.311121.3根据上述数据，在建立该公司 2018 年月收入 y （万元）与月份 x 的函数模型时，给出两个函数模型 y =x 12 与 y =2x 3供选择．(1) 你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由； 【答案】函数 y =2x 3这一模型较好【解析】画出散点图由图可知点 (2,1.4)；(3,2.56)；(4,5.31)；(5,11)；(6,21.3) 基本上是落在函数 y =2x 3的图像的附近，因此用函数 y =2x 3这一模型较好．(2) 试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元？（参考数据 lg⁡2=0.3010，lg⁡3=0.4771） 【答案】大约从第 9 月份开始 【解析】当2x 3>100 时，2x >300，∴lg⁡2x >lg⁡300即 xlg⁡2>2+lg⁡3∴x >2+lg⁡3lg 2=2+0.47710.3010≈8.23故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元． 当2x 3>100 时，2x >30028=256<300；29=512>300故大约从第 9 月份开始，该公司的月收入会超过 100 万元．例2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．变式2.拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6， 则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 考点三.构建函数模型解决实际问题1.二次函数模型例1.某企业为打入国际市场，决定从A ，B 两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：预计m ∈[6,8]，另外，年销售x 件B 产品时需上交0.05x 2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A ，B 两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x 1，x 2之间的函数关系式，并指明定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．[解] (1)由题意得y 1＝10x 1－(20＋mx 1)＝(10－m )x 1－20(0≤x 1≤200且x 1∈N)，y 2＝18x 2－(40＋8x 2)－0.05x 22＝－0.05x 22＋10x 2－40＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120且x 2∈N)． (2)∵6≤m ≤8，∴10－m ＞0， ∴y 1＝(10－m )x 1－20为增函数． 又0≤x 1≤200，x 1∈N ，∴当x 1＝200时，生产A 产品的最大利润为(10－m )×200－20＝1 980－200m (万美元)． ∵y 2＝－0.05(x 2－100)2＋460(0≤x 2≤120，且x 2∈N)， ∴当x 2＝100时，生产B 产品的最大利润为460万美元． (y 1)max －(y 2)max ＝(1 980－200m )－460＝1 520－200m . 易知当6≤m ＜7.6时，(y 1)max ＞(y 2)max .即当6≤m ＜7.6时，投资生产A 产品200件可获得最大年利润；当m ＝7.6时，投资生产A 产品200件或投资生产B 产品100件，均可获得最大年利润； 当7.6＜m ≤8时，投资生产B 产品100件可获得最大年利润．变式1. 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8] B ．[6,10] C ．[4%,8%] D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．2. 指对数函数模型例2.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年变式2.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时[解析] (1)设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元． 根据题意得130(1＋12%)n －1＞200， 则lg[130(1＋12%)n －1]＞lg 200， ∴lg 130＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12＞lg 2＋2， ∴0.11＋(n －1)×0.05＞0.30，解得n ＞245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C. (2)由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C. [答案] (1)C (2)C3. 对勾函数模型例3 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11， ∴年平均利润yx＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x ≥10，当且仅当x ＝5时等号成立．∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.变式3.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x2(2≤x <6)，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．4. 分段函数模型例4.某市营业区内住宅电话通话费用为前 3 分钟 0.20 元，以后每分钟 0.10 元（前 3 分钟不足 3 分钟按 3 分钟计，以后不足 1 分钟按 1 分钟计）．(1) 在直角坐标系内，画出一次通话在 6 分钟内（包括 6 分钟）的话费 y （元）关于通话时间 t （分钟）的函数图象； 【答案】见解析 【解析】如下图所示．(2) 如果一次通话t分钟（t>0），写出话费y（元）关于通话时间t（分钟）的函数关系式（可用[t]表示不小于t的最小整数）．【答案】y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3【解析】由(1)知，话费y与时间t的关系是分段函数．当0<t⩽3时，话费y为0.2元；当t>3时，话费y应为(0.2+[t−3]×0.1)元．所以y={0.2,0<t⩽30.2+[t−3]×0.1,t>3．变式4.在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；①该店月销量Q（百件）与销量价格P（元）的关系如图所示；①每月需各种开支2000元．(1) 当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；【答案】当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元【解析】设该店月利润余额为L元，则由题设得L=Q(P−14)×100−3600−2000①由销量图易得Q={−2P+50,14⩽P⩽20−32P+40,20<P⩽26，代入①式得L={(−2P+50)(P−14)×100−5600,14⩽P⩽20(−32P+40)(P−14)×100−5000,20<P⩽26当14⩽P⩽20时，L max=450元，此时P=19.5元；当20<P⩽26时，L max=12503元，此时P=613元．故当P=19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2) 企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【答案】最早可望在20年后脱贫【解析】设可在n年后脱贫，依题意有12n×450−50000−58000⩾0，解得n⩾20．即最早可望在20年后脱贫．课后习题一．单选题1．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的()A．点M B．点NC．点P D．点Q解析：选D假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.2．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C 由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.3．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B 由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元)．∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．5.2 B ．6.6 C ．7.1 D ．8.3 答案 B解析 设这种放射性元素的半衰期是x 年， 则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1≈－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0<x ≤10，10m ＋x －10·2m ，x >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.6.(2020·青岛模拟)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．二．多选题7．(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y (单位：千克)与时间x (单位：小时)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 答案 BD解析 由该车间5小时来某种产品的总产量y (千克)与时间x (小时)的函数图象，得前三小时的年产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后两小时均没有生产，故C 错误，D 正确．三．填空题 8．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4. 化简得x －6×0.9x ＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：49.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD ，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的取值范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2×x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，由y ＝18x ＋3x2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x 的取值范围为[3,4]． 答案：[3,4]10．(2019·皖南八校联考)某购物网站在2019年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________． 答案 3解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.11．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是______ h ．(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ＝36v 400＋400v≥236v 400×400v＝12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.四．解答题12.某城市现有人口总数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答下面的问题： (1) 写出 x 年后该城市的人口总数 y （万人）与年数 x （年）的函数关系式； 【答案】y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗【解析】1 年后该城市人口总数为 y =100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；2 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；3 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)3；…； x 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)x ,x ∈N ∗．(2) 计算 10 年以后该城市人口总数（精确到 0.1 万）； 【答案】112.7 万【解析】10 年后该城市人口总数为 y =100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）．(3) 计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万（精确到 1 年）． 【答案】16 年【解析】令 y =120，则有 100×(1+1.2%)x =120，解方程可得 15<x <16． 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万．13.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p （千帕）是气球的体积 V （立方米）的反比例函数，其图象如图所示．（千帕是一种压强单位）(1) 写出这个函数的解析式；【答案】p=96V【解析】设p与V的函数的解析式为p=k，把点A(1.5,64)代入，解得k=96．V∴这个函数的解析式为p=96．V(2) 当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？【答案】120千帕【解析】把V=0.8代入p=96，p=120，V当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．(3) 当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？立方米【答案】气球的体积应不小于23，【解析】由p=144时，V=23∴p⩽144时，V⩾2，3当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于2立方米314.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．设MP=x米，PN=y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域．【答案】y=−12x+10，定义域为[4,8]【解析】作PQ⊥AF于Q，∴PQ=(8−y)米，EQ=(x−4)米．又△EPQ∼△EDF，∴EQPQ =EFFD，即x−48−y=42．∴y=−12x+10，定义域为[4,8]．15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=1 2log3⁡O100，单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数，(1) 当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是多少？【答案】当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)【解析】由题意得v=12log3⁡2700100=32(m/s)当一条鱼的行氧量是2700个单位时，它的游速是32(m/s)．(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．【答案】当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100【解析】当一条鱼静止时，即v=0，则0=12log3⁡O100，解得O=100当一条鱼静止时耗氧量的单位数是100．。

………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab答案 A解析 取a ＝2，b ＝1，排除B 和D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x 在(0,1]上递减，在设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )点击观看解答视频A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π答案 D解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.3. 已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )点击观看解答视频A ．x >y >zB ．z >y >xC ．z >x >yD ．y >x >z答案 D解析 由题意得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7，而0<a <1，∴函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，∴y >x >z ，故选D.4．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b >1b B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1D ．a n>b n答案 C解析 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故选C.5．如果a >b ，则下列各式正确的是( ) A ．a lg x >b lg x B ．ax 2>bx 2C ．a 2>b 2D ．a ·2x>b ·2x答案 D解析 A 项，当lg x ＝0，即x ＝1时不满足；B 项，当x 2＝0时不满足；C 项，当a ＝1，b ＝－2时不满足；D 项，因为2x >0，所以a ·2x >b ·2x .综上可知选D.6．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 解法一：取a 1＝b 1＝13，a 2＝b 2＝23，那么a 1a 2＋b 1b 2＝49，a 1b 2＋a 2b 1＝49，a 1b 1＋a 2b 2＝59，有a 1a 2＋b 1b 2＝a 1b 2＋a 2b 1<12<a 1b 1＋a 2b 2，于是排除B 、C 、D 三个选项．故选A. 解法二：∵0<a 1<a 2，a 1＋a 2＝1，∴0<a 1<12，12<a 2<1，同理，0<b 1<12，12<b 2<1，∴a 1b 1＋a 2b 2－(a 1a 2＋b 1b 2)＝(b 1－a 2)·(a 1－b 2)>0，a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－a 1＋a 2·b 1＋b 22＝12＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大．故选A.7．设a >b >0，下列各数小于1的是( )A ．2a －bB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b D.⎝ ⎛⎭⎪⎫b aa －b 答案 D解析 解法一：(特殊值法) 取a ＝2，b ＝1，代入验证． 解法二：y ＝a x(a >0且a ≠1)． 当a >1，x >0时，y >1； 当0<a <1，x >0时，0<y <1. ∵a >b >0，∴a －b >0，a b >1,0<b a<1. 由指数函数性质知，D 成立． 8．若a >b >0，且a ＋m b ＋m >ab，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－b,0) 解析 由条件知，a ＋m b ＋m －ab>0， 即ab ＋bm －ab －am b b＋m >0，b －a mb b ＋m>0，又∵a >b >0，∴b －a <0，∴m m ＋b<0.解得－b <m <0.9．已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ＝cos2θ，b ＝cos θ－sin θ，则a ________b ．(填“>”“<”或“＝”)答案 >解析 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 从而b ＝cos θ－sin θ>0，cos2θ>0.∵a b ＝cos2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>2sin π4＝1， ∴ab>1，从而a >b .10．已知－π2<α<β<π，则α－β2的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 解析 由－π2<α<β<π，得－π2<α<π，－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2，即－3π4<α－β2<3π4. 又∵α－β<0，∴－3π4<α－β2<0，故α－β2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0.11．已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b. 12．有下列命题：①若a >b ，则c －b <c －a ； ②若a >c ，b >c ，则a ＋b >2c ； ③若a c 2<b c2，则a >b ； ④若x <y ，则x 3<y 3.其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 由不等式的性质可知①③不正确，②④正确．能力组13.已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab＋a ＋b>0.14．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b >0是f (x )>0在上恒成立的________条件．(填“充分但不必要”“必要但不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案 必要但不充分解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f，f ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >0，a ＋b >0.∴a ＋2b >0.而仅有a ＋2b >0，无法推出f (0)>0和f (1)>0同时成立． 15．已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明 ∵xx ＋a －yy ＋b＝bx －ayx ＋a y ＋b，又∵1a >1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b >a >0，又∵x >y >0，∴bx >ay >0， ∴bx －ayx ＋a y ＋b >0，∴x x ＋a >yy ＋b.16．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg (xy )≤2,3≤lg xy≤4，求lg (x 4y 2)的取值范围． 解 设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ， lg x y＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b ， 设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg (x 4y 2)的取值范围为．。