【名师整理 真题感悟】2014高考数学(苏教版)常考问题专项冲关突破：常考问题22 不等式选讲

常考问题21 坐标系与参数方程
[真题感悟]
1．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2 tan 2θ，y ＝2 tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解 因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t ＋1，y ＝2t
(t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .
联立方程组⎩⎨⎧
y ＝2(x －1)，y ＝2x ，
解得公共点的坐标为(2,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1. 2．(2012·江苏卷)在极坐标中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π4， 圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 解 在ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
[考题分析]
高考对本内容的考查主要有：
(1)直线、曲线的极坐标方程；
(2)直线、曲线的参数方程；
(3)参数方程与普通方程的互化；
(4)极坐标与直角坐标的互化，本内容的考查要求为B级.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh，其中s为圆柱的表面积，h为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl，其中c是圆柱底面的周长，l为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合A{2，1，3，4}，B{1，2，3}，则AB_______．【答案】{1，3}【解析】由题意得AB{1,3}．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数【答案】21 z(52i)(i为虚数单位)，则z的实部为_______．2 2【解析】由题意22z(52i)25252i(2i)2120i，其实部为21．（3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n的值是_______．【答案】5n的最小整数解．2n20整数解为n5，因此输出的n5．【解析】本题实质上就是求不等式220（4）【2014年江苏，4，5分】从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______．【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有 2C46种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为21P．63（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数ycosx与ysin(2x)(0≤)，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cossin(2)33 ，即21sin()32，2kk(1)，(kZ)，因为0，所36以．6（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.0150.025)106024．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}a中，若na8a62a4，则a21，a的值是________．6【答案】4【解析】设公比为q，因为a21，则由a8a62a4得64224220qqa，qq，解得22q，所以4a6a2q4．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S，体积分别为12 V，V，若它们的侧面积相12等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r、h，r2、h2，则2r1h12r2h2，11 h r12hr21，又2Sr112Sr2294，所以r1r232，则222Vrhrhrrr11111121222Vrhrhrrr2222221232．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆长为________．22(x2)(y1)4截得的弦【答案】2555 【解析】圆22(x2)(y1)4的圆心为C(2,1)，半径为r2，点C到直线x2y30的距离为22(1)33d，所求弦长为22512 229255 l2rd24．55（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数f(x)xmx1，若对任意x[m，m1]，都有f(x)0成立，则实2数m的取值范围是________．【答案】20，2【解析】据题意22f(m)mm102f(m1)(m1)m(m1)10，解得22m0．（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线2byaxx(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是________．【答案】3【解析】曲线yax 2bxb b过点P(2,5)，则4a5①，又y'2ax22x，所以b74a②，由①②解得42ab11，所以ab2．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是________．【答案】22【解析】由题意，1APADDPADAB，433BPBCCPBCCDADAB，44所以13APBP(ADAB)(ADAB)442132ADADABAB，216即1322564ADAB，解得ADAB22．216（13）【2014年江苏，13，5分】已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x[0，3)时，21f(x)x2x．2 若函数yf(x)a在区间[3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．【答案】01，22【解析】作出函数 21 f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21 f(0)，当x1时，21 f(x)极大， 27f ，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数yf(x)和图象与直线 (3) 2ya 在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线ya 与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21 a(0,)． 2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC 的内角满足sinA2sinB2sinC ，则cosC 的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sinA2sinB2sinC 及正弦定理可得a2b2c ， cosC a2b 222 ab() 2 222abc 2ab2ab223a2b22ab26ab22ab628ab8ab4，当且仅当 22 3a2b ，即a b 2 3时等号成立，所以cosC的最小值为 62 4． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin5 5 ．（1）求sin的值；4（2）求cos2 6的值． 解：（1）∵sin5，，，∴ 25225cos1sin5， 210sinsincoscossin(cossin)．444210（2）∵43 sin22sincoscos2cossin，，sin22sincoscos2cossin2255∴3314334 cos2coscos2sinsin2666252510． （16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥PABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知 PAAC ，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D ，E 为PC ，AC 中点∴DE ∥PA ∵PA 平面DEF ，DE 平面DEF ∴PA ∥平面DEF ．（2）∵D ，E 为PC ，AC 中点，∴DE1PA3∵E ，F 为AC ，AB 中点，∴14 EFBC ，22∴DE 2EF 2DF 2，∴DEF90°，∴DE ⊥EF ，∵DE//PA ，PAAC ，∴DEAC ， ∵ACEFE ，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE 平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中， F ，F 分别是椭圆 12 22yxab的左、221(0)ab右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1B F22，求椭圆的方程；（1）若点C的坐标为41，，且33（2）若F CAB，求椭圆离心率e的值．13161解：（1）∵41C，，∴33 999ab22，∵2222BFbca，∴22(2)22a，∴b，21∴椭圆方程为2xy．21 2（2）设焦点F1(c，0)，F2(c，0)，C(x，y)，∵A，C关于x轴对称，∴A(x，y)，∵B，F，A三点共线，∴2bybcx，即bxcybc0①∵yb FCAB，∴11xcc ，即20xcbyc②①②联立方程组，解得xyca2bc222bc2bc22∴Cac2bc22，2222bcbcC在椭圆上，∴22ac2bc22bcbc2222ab221，化简得5ca，∴c522a5,故离心率为55．（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段O A上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O 正东方向170m处(OC为河岸)，tan4BCO．3（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率4k－tanBCO．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率3k．设点B的坐标为(a,b)，AB4则k BC=b04a1703 ，k AB=603ba04，解得a=80，b=120．所以BC= 22(17080)(0120)150．因此新桥BC的长是150m．（2）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60．) 由条件知，直线BC的方程为4(170)yx，即4x3y6800，3由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，|3d680|6803d r．55所以rd≥ 80r(60d)≥80，即6803d 5 6803d5d80 ≥ (60d)80≥，解得10≤d ≤35．故当d=10时, 6803d r 最大，即圆面积最大．所以当OM=10m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA,CB 交于点F ．因为tan ∠BCO=43 ．所以sin ∠FCO=45 ，cos ∠FCO=3 5 ．因为OA=60,OC=170，所以OF=OCtan ∠FCO=680 3．CF= OC 850cosFCO3 ， 4从而500AFOFOA．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=3 45，又因为A B⊥BC，所以BF=AFcos∠AFB== 4003，从而BC=CF－BF=150．因此新桥B C的长是150m．（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接M D，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=rm，OM=dm(0≤d≤60．)因为O A⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO= M DMDr3MFOFOM 6805d3所以6803dr．5因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以rd≥80r(60d)≥80，即6803d56803d5d80≥(60d)≥80，解得10≤d≤35，故当d=10时，6803dr最大，即圆面积最大．所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()eexxfx其中e是自然对数的底数．（1）证明：f(x)是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf(x)≤em1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；x（3）已知正数a满足：存在你的结论．x0[1，)，使得3ea1与f(x)a(x3x)成立．试比较000a e1的大小，并证明解：（1）x R，f(x)eef(x)，∴f(x)是R上的偶函数．xx（2）由题意，(ee)e1xxxm≤，∵x(0，)，∴exex10，xxxm≤m，即(ee1)e1即e1xm≤对x(0，)恒成立．令e(1)tt，则xee1xx m1t≤对任意t(1，)恒成立．tt12∵1111tt≥，当且仅当t2时等号成立，∴1m≤．223tt1(t1)(t1)113t11t1（3）f'(x)ee，当x1时f'(x)0∴f(x)在(1，)上单调增，令xx h(x)a(x3x)，h'(x)3ax(x1)，33∵a0，x1，∴h'(x)0，即h(x)在x(1，)上单调减，∵存在x0[1，)，使得f xaxx，∴f(1)e12a，即1e1()(3)a．3000e2e∵aaaa，设m(a)(e1)lnaa1，则m'(a)e11e1a e-1lnlnlne(e1)ln1e1a1eaaa1 ，11 ae．当2e 11eae1时，m'(a)0，m(a)单调增；当ae1时，m'(a)0，m(a)单调2e减，因此m(a)至多有两个零点，而m(1)m(e)0，∴当ae时，m(a)0，a e1ea1；当1e1ea 时，m(a)0，2ea e1e1；当ae 时，m(a)0， aae1ea1．（20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}a 的前n 项和为S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得 nnS a ， nm则称{}a 是“H 数列”． nn（1）若数列{a}的前n 项和S2(n N )，证明：{a}是“H 数列”；nnn（2）设{a}是等差数列，其首项 na 11，公差d0．若{a }是“H 数列”，求d 的值； n （3）证明：对任意的等差数列{}a ，总存在两个“H 数列”{b}和{c}，使得abc(n N )成立． nnnnnn 解：（1）当n ≥2时，nn1n1 aSS1222，当n1时，nnn a 1S 12， ∴n1时， S a ，当n ≥2时， 11 S a ，∴{a }是“H 数列”． nn1n（2） n(n1)n(n1) Snadnd ，对n N ，m N 使 n122Sa ，即 nm n(n1) nd1(m1)d ， 2 5取n2得1d(m 1)d ，m21d，∵d0，∴m2，又m N ，∴m1，∴d1． （3）设{} a 的公差为d ，令 n b a1(n1)a1(2n)a1，对n N ， nbba ， n1n1 c (n1)(ad)， n1 对n N ， c cad ，则 n1n1b ca1(n1)da ，且{b}，{c }为等差数列． nnnnn{b}的前n 项和 n n(n1) Tna(a)，令 n112T(2m)a ，则 n1 n(n3) m2． 2 当n1时m1；当n2时m1；当n ≥3时，由于n 与n3奇偶性不同，即n(n3)非负偶数，m N ． 因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b}为“H 数列”． nmn{c }的前ｎ项和 n n(n1) R(ad)，令 n12c(m1)(ad)R ，则 n1m m n (n1) 2 1∵对n N ，n(n1)是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立， nm即{}c 为“H 数列”，因此命题得证． n数学Ⅱ 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必 答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定 位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答 的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB=∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC ．故∠OCB=∠B ．又因为C,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D ．因此∠OCB=∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 1211 A ，B ，向量1x212 y ， x ，y 为实数，若A α=B α，求x ，y 的值．解： 2y2 A ，2xy2y B α，由A α=B α得4y2y22y ， 解得14x ，y ．2xy4y ，2（21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2 x1t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y2t2y 24x 交于A ，B 两点，求线段A B 的长． 解：直线l ：xy3代入抛物线方程24 yx 并整理得x 210x90，∴交点A(1，2)，B(9，6)，故|AB|82． （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知x0，y0，证明： 22 1xy1xy9xy ．解：因为x>0,y>0,所以1+x+y 2≥33xy 20，1+x 2+y ≥ 2≥33xy 20，1+x 2+y ≥ 22222 333 3xy0，所以(1+x+y)(1+x+y)≥3xy3xy=9xy ．【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．完（22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外全相同．6（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x，x，随机变量X表示123 x，x，x 123中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．解：（1）一次取2个球共有 2C36种可能情况，2个球颜色相同共有9222CCC10种可能情况，432∴取出的2个球颜色相同的概率105P．3618（2）X的所有可能取值为4，3，2，则C14PX；(4)4C12649CCCC133131P(X3)4536；C6339 11P(X2)1P(X3)P(X4)．∴X的概率分布列为：14X234P11 14 13631126故X的数学期望()2113134120EX．14631269（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数sinxf(x)(x0)x ，设f(x)为nf x的导数，n N．n1()（1）求2f f的值；12222（2）证明：对任意的n N，等式 2nff成立．n1n4442解：（1）由已知，得sinxcosxsinxf(x)f(x)102xxx，于是cosxsinxsinx2cosx2sinx f(x)f(x)21223xxxxx ，所以4216f(),f()，122322故2f()f()1．12222（2）由已知，得xf0(x)sinx,等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cosx，即f0(x)xf1(x)cosxsin(x)，类似可得2 2f(x)xf(x)sinxsin(x)，123 3f(x)xf(x)cosxsin(x)，232 4f(x)xf(x)sinxsin(x2)．34下面用数学归纳法证明等式nnfxxfxx对所有的nnn1()()sin()2N*都成立．（i）当n=1时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k时等式成立,即kkf1(x)xf(x)sin(x)．kk2因为[kf(x)xf(x)]kf(x)f(x)xf(x)(k1)f(x)f(x),k1kk1kkkk1(k1) kkk[sin(x)]cos(x)(x)sin[x]，所以2222 (k1)f(x)f(x)kk1(k1)sin[x]．2所以当n=k+1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式nnf1(x)xf(x)sin(x)对所有的nnnN都成立．*2令x，可得4nnf1()f()sin()(nnn44442N)．所以*2nff(nn1n()()4442N)．*7。

C.最大值为－4 D.最小值为－4 1 1 (2)已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则1＋a1＋b的最小值为________．
【例 2】►已知 a＞0，b＞0，c＞0， bc ca ab 求证： ＋ ＋ ≥a＋b＋c. a b c 正明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
≥3＋2＋2＋2＝9，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时，取等号 3
【审题视点 】 先局部运用基本不 等式，再利用不等式 的性质相加得到． 【方法锦囊 】 利用基本不等式证 明不等式是综合法 证明不等式的一种 情况， 证明思路是从 已证不等式和问题 的已知条件出发， 借 助不等式的性质和 有关定理， 经过逐步 的逻辑推理最后转 化为需证问题．
考向一 利用基本不等式求最值
≥2
即 x＝3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，x＝3， 则 一 般 是 利 用 函 数 即 a＝3. 单调性求解．
1 1 (3)若可用基本不等 x－2× ＋2＝4， 当且仅当 x－2＝ (x>2)， x－2 x－2 式，但等号不成立，
1 【训练 1】 (2013· 福州模拟)已知 f(x)＝x＋x－2(x<0)，则 f(x)有( A.最大值为 0 B.最小值为 0
【方法锦囊 】 【例 3】►(2012· 江苏卷)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 【审题视点 】 (1)问题的背景 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮 (1)令 y＝0，解 1 位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ (1 是 人 们 关 心 的 20k 20 社会热点问题， 2 2 ＋k )x (k>0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射 得 x＝1＋k2， 题目往往较长， 程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； 解题时需认真 通过变形利用 阅读， 从中提炼 (2)设在第一象限有一飞行物 基本不等式确 出有用信息， 建 (忽略其大小)，其飞行高度为 立数学模型， 转 定其最大值； 3.2 千米，试问它的横坐标 a 化为数学问题 不超过多少时，炮弹可以击中 求解．过 二 次 (2) 通 它？请说明理由． (2)当运用基本 1 不等式的求解 2 2 解 (1)令 y＝0，得 kx－ (1＋k )x ＝0， 不等式求最值 20 20k 20 20 来确定对应的 时， 若等号成立 故 x＝ ≤ ＝10， 自 变 量 不 在 2＝ 由实际意义和题设条件知 x>0，k>0， 的 1 2 1＋k 横坐标的取值 k＋ 定义域内时， 就 k 范围． 当且仅当 k＝1 时取等号．所以炮的最大射程为 10 千米． 不 能 使 用 基 本 不等式求解， 此 (2)因为 a>0，所以炮弹可击中目标 ⇔存在 k>0，使 3.2＝ka 时可根据变量 1 2 2 2 2 2 － (1＋k )a 成立⇔关于 k 的方程 a k －20ak＋a ＋64＝0 有正根 的 范 围 用 对 应 20 ⇔判别式 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当 a 不超过 6 千函 数 的 单 调 性 求解． 米时，可击中目标．

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分。

考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。

4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 ▲ .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 ▲ .11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 ▲ .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值. 16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA.5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PDCEFBA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a b y a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值. 18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？ 19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论. 20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明: }{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.参考答案一、填空题： 1. {-1，3}2. 213. 54.135.6π6. 247. 48.32 9.5 10. (,0)2-11. -3 12. 2213. 1(0,)214.4二、解答题：15.本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力。