概率论与数理统计C地习题集-计算题

文档 一、概率公式的题目

1、已知0.3,0.4,0.5,PAPBPAB 求.PBAB 解：0.70.510.70.60.54PAPABPABPBABPABPAPBPAB 2、已知0.7,0.4,0.2,PAPBPAB 求.PAAB 解：0.220.70.29PAABPABPAABPABPAPBPAB。 3、已知随机变量(1)XP:，即X有概率分布律1(0,1,2)!ePXkkkL， 并记事件2,1AXBX。 求：（1）PAB； （2） PAB； （3） PBA。解：（1）111()12,1111PABPABPABPXXPXe； （2）1()2,1210112;PABPABPXXPXPXPXe

（3）111,201.20122PBAPXXPXePBAPXPXPXePA 5、为了防止意外，在矿同时设两种报警系统,AB，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求： （1）发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。 解：设A“系统A有效”,B “系统B有效”,

0.92,0.93,0.85PAPBPBA, 1.0.988PABPAPBPABPAPABPAPAPBA

0.070.080.152.0.8290.07PABPBPAPBAPBPABPABPBPBPB

6、由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为415，刮风（记作事件B）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110，求(1);(2);(3)PABPBAPAB。

解：1310(1)71415PABPABPB； 文档 

1

310(2)4815PABPBAPA

47119(3)15151030PABPAPBPAB。

7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

()()()()()()()()()PAPBAPAB

PABPBPAPBAPAPBA



0.50.05200.50.050.50.002521



8. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？ 【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B} C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得 ()()()()()()()PAPCAPACPAPCAPAPCA



2/30.980.994922/30.981/30.01



9.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率. 【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得

()()()()()()()()()PAPBAPAB

PABPBPAPBAPAPBA



0.960.980.9980.960.980.040.05



10.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得

30()(|)()iiiPAPABPB

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 文档 二、已知密度（函数）求概率的题目

1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 1000100100)(2xxxxf，　，　， 任取其中3只，求使用最初150小时，无一晶体管损坏的概率。 解：任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为

设Y为任取的5只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数，则)32,3(~BY.故有 2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时，该城市每天耗电率（即每天耗电量/百万瓦小时）是一个随机变量X，它的分布密度为其他0101122xxxxf， 若每天供电量为80万千瓦小时，求任一天供电量不够需要的概率？ 解：每天供电量80万千瓦小时，所以供给耗电率为：80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8，供电量不够需要即实际耗电率大于供给耗电率。所以

112

0.80.80.81210.0272PXfxdxxxdx。

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则)32,5(~BY，

24323224311132511)31()32()31(1)1()0(1)2(1)2(54155

CYPYPYPYP

三、分布函数、密度函数的题目 1、设随机变量X的分布函数为0()arcsin1xaxFxABaxaaxa， (1) 求系数A ，B； (2) 求22aaPX； (3) 求X的分布密度。

32100100)()150(1501502150 xdxxdxxfXPp278)31()32()3(0333CYP文档 解：（1）由F(x)在,aa处的右连续性知1202BABA 解之得121BA

（2）122223aaaaPXFF （3）因为)()('xFxf，则221()0xaaxfxxa

2设随机变量X的分布函数为 20,0,011,1xFxAxxx， 求：)1(常数A； )2(0.30.7PX； )3(X的密度函数fx。 解：（1）由分布函数的右连续性知：11lim1xFAFx，所以1A； （2）0.30.70.70.30.4PXFF； （3） 2,01()0,xxfxFx其它。

3设连续性随机变量X的分布函数为 2,0()0,0.xABexFxx ， 求：(1)常数A，B； (2){11}PX； (3) X的密度函数fx。 解：（1）由分布函数的右连续性及性质知： 20000limlim1limxxxxFFxABeABFFxA













，所以0111ABAAB；

（2）211111PXFFe； （3） 22,0()0,0xexfxFxx。 5随机变量X的概率密度为0,00)(,xxexfx；求2XY的概率密度． 、解：分别记X，Y的分布函数为FX(x)，FY(y) 文档 由于y=x2≥0，故当y≤0时，FY(y)=0

当y=x2>0时,有FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(-y≤X≤y)

=yyxyyXexdexdxf1)(0 将FY(y)关于y求导数，即得y的概率密度为





其它00,21)()1()(yeyyee

yfyyy

Y

7（12分）设A、B为随机事件，且21)(,31)(,41)(BAPBPAP；令 不发生发生；；不发生发生B01A01BYAX 求1、二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；2、判定X与Y是否相互独立

解：1213141)()()(}11{PABPAPABPYX，

6112141)()()()(}01{PABPAPBAPBAPYX，

12112161)()()()()()()(}10{PABPBAPABPABPBP

ABPABPYX，

32)()()(1)(1)()(}00{PABPBPAPBAP

BAPBAPYX，

0 1 0 32 121 4

3

1 61 121 4

1

32 31

因为21}0{P}0{P32}00{PYXYX，，则X与Y不相互独立………12分 8维随机变量（X，Y）的联合分布律为 2 5 8 X

Y

Y X