专题六第2讲课时训练提能
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精品文档 实用文档 专题六 第2讲 概率、随机变量及其分布列
课时训练提能 [限时45分钟，满分75分] 一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·威海模拟)甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若
乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知每一局甲、乙二人获胜的概率分别为25、35，则甲胜出的概率为 A.1625 B.1825 C.1925 D.2125 解析 若甲赢第一局，则P1＝25； 若甲第一局输，第二局赢， 则P2＝35×25＝625， 则甲胜出的概率为P＝P1＋P2＝25＋625＝1625. 答案 A 2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为 精品文档 实用文档 A.12 B.13 C.14 D.25 解析 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1、红1，红1、红2，红2、红1、红2、红2，白1、白1，白1、
白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P＝816＝12. 答案 A
3．(2012·西城二模)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2,1]．对∀x∈[0,1]，f(x)≥0的概率是
A.13 B.12 C.23 D.34 解析 当x＝0时，f(x)＝kx＋1≥0对任意的k∈R恒成立， 当x∈(0,1]时，要使f(x)＝kx＋1≥0，需k≥－1x， 而－1x∈(－∞，－1]，∴k≥－1，即k∈[－1,1]， 精品文档 实用文档 故所求的概率为P＝1－－11－－2＝23. 答案 C 4．甲、乙两人各自独立加工1个零件，他们把零件加工为合格品的概率分别为23和34，则这两个零件中恰有1个合格品的概率为 A.12 B.512 C.14 D.16 解析 “两个零件中恰有1个合格品”有两种可能性：“甲加工的零件合格且乙加工的零件不合格”，“乙加工的零件合格且甲加工的零件不合格”．根据独立事件同时发生的概率公式和
互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为P＝23×1－34＋34×1－23＝512. 答案 B 5．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析 ∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ＞4)＝0.2， 由题意知图象的对称轴为直线x＝2， 精品文档
实用文档 P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝0.2，
∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ＜0)－P(ξ＞4)＝0.6.
∴P(0＜ξ＜2)＝12P(0＜ξ＜4)＝0.3. 答案 C 6．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次．若抽到各球的机会均等，事件A＝“三次抽到的号码之和为6”，事件B＝“三次抽到的都是2”，则P(B|A)＝
A.17 B.27 C.16 D.727 解析 ∵P(A)＝A33＋13×3×3＝727， P(B)＝13×3×3＝127，
∴P(B|A)＝PABPA＝127727＝17. 精品文档
实用文档 答案 A 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．已知函数f(x)＝－3x2＋ax＋b，若a，b都是区间[0,4]内任取的一个数，那么f(1)＞0的概率是________． 解析 由f(1)＞0得－3＋a＋b＞0， 即a＋b＞3. 在0≤a≤4,0≤b≤4的约束条件下，作出a＋b＞3满足的可行域，
如图，则根据几何概型概率公式可得，f(1)＞0的概率P＝42－12×3242＝2332. 答案 2332
8．将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 解析 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有34
＝81种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有C13C24A22＝36种，故所求的概率P＝3681＝49. 答案 49 9．(2012·梅州模拟)如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试精品文档 实用文档 验中，事件A发生偶数次的概率为________． 解析 设事件A发生偶数次的概率为X，则事件A发生奇数次的概率为1－X， ∴X＝C0np0(1－p)n＋C2np2(1－p)n－2＋C4np4(1－p)n－4＋…， 1－X＝C1np(1－p)n－1＋C3np3(1－p)n－3＋C5np5(1－p)n－5＋…， 两式相减，得2X－1＝C0np0(1－p)n－C1np(1－p)n－1＋C2np2(1－p)n－2－… ＝[(1－p)－p]n＝(1－2p)n，
∴X＝12[1＋(1－2p)n]． 答案 12[1＋(1－2p)n] 三、解答题(每小题12分，共36分) 10．已知集合A＝{x| x2＋3x－4＜0}，B＝x x＋2x－4＜0. (1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率； (2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率． 解析 (1)由已知得A＝{x| x2＋3x－4＜0}＝{x| －4＜x＜1}，
B＝x x＋2x－4＜0＝{x| －2＜x＜4}，显然A∩B＝{x| －2＜x＜1}．
设事件“x∈A∩B”的概率为P1，由几何概型的概率公式得P1＝39＝13. 精品文档 实用文档 (2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种： (－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．
又A∪B＝{x| －4＜x＜4}，因此“a－b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．
所以“a－b∈A∪B”的概率P2＝1420＝710. 11．(2012·郴州模拟)一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球． (1)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； (2)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； (3)设X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望．
解析 (1)设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A，则P(A)＝3＋2C39＝584. 即取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584. (2)设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B，则 精品文档 实用文档 P(B)＝C14C17C39＝2884＝13.
即取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. (3)X的取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝C12C22＋C22C12C39＝121，P(X＝3)＝C12C24＋C22C14C39＝421，
P(X＝4)＝C12C26＋C22C16C39＝37，
P(X＝5)＝C11C28C39＝13.
所以X的分布列为 X 2 3 4 5
P 121 421 37 13
X的数学期望EX＝2×121＋3×421＋4×37＋5×13＝8521.
12．(2012·大连模拟)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛．比赛规则是：每位选手可以选择在A区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射
中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别是14和精品文档 实用文档 p(0＜p＜1)．
(1)若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率； (2)我们把在A、B两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围． 解析 (1)设“选手甲在A区射击得0分”为事件M，“选手甲在A区射击至少得3分”为事件N，则事件M与事件N为对立事件，
P(M)＝C03·140·1－143＝2764，P(N)＝1－P(M)＝1－2764＝3764.
(2)设选手甲在A区射击的得分为ξ， 则ξ的可能取值为0,3,6,9.
P(ξ＝0)＝1－143＝2764；P(ξ＝3)＝C13·14·1－142＝2764；
P(ξ＝6)＝C231421－14＝964；P(ξ＝9)＝143＝164.
∴ξ分布列为 ξ 0 3 6 9
P 2764 2764 964 164
∴Eξ＝0×2764＋3×2764＋6×964＋9×164＝94. 设选手甲在B区射击的得分为η，
