命题逻辑与数学证明方法_孙宗明

第卷第期年月案山学院学报

命题逻辑与数学石五明方法孙宗明',梁凤鸣,秦山学院数学与统计学院泰山学院学报编挥部,山东秦安【摘要」简单地讨论了命题退样,用命题逻辑全面地研究了推理格式和数学证明方法,形成一个完整的系统,内容包括命题逻裤【关健词】命题邃挥数学证明方法数理逻挥中图分类号文献标识码文章编号一卯刊一

为了用数理逻辑的基础知识研究数学证明方法,就要引人命题的真值的概念,研究命题逻辑的简单知识以此作基础,讨论推理和数学证明以及推理格式和数学证明方法本文先研究命题运算,而后给出命题真值代数,介绍蕴涵和等价、全称命题和特称命题,最后叙述命题代数的概念

命题和命题运算定义由确定的陈述句所表达的含义称为命题以,,,…表示命题含义是命题的内容,语句是命题的形式命题这一概念属于思维范畴或逻辑学范畴,语句这一概念属于语言学范畴命题和语句是不同的但是,命题和语句密切相关命题的表达要借助于语句,命题的形式与存在要依附于语句

一个命题体现一定的思想内容,这是本质的东西一个命题要依附于某种语言形式,这是非本质的东西

定义若命题所表达的含义符合客观实际,则称该命题为真命题若命题所表达的含义不符合客观实际,则称该命题为假命题当命题是真命题时,规定取值,记为当命题是假命题时,规定取值,记为,称为命题的真值,也表示命题对于一个命题,或者是真命题,或者是假命题,二者必居其一且仅居其一我们仅讨论有确定真值的命题例给出下列语句北京是中华人民共和国首都糖是甜的太阳从西方升起别的星球上有人类文明

收稿日期」一一作者简介〕孙宗明一,男,山东嘉祥人,泰山学院数学与统计学院教授泰山学院学报第卷

请勿吸烟您好吗这件大衣真漂亮啊其中,,,是命题,且二,二,二是命题,虽然目前乃至不远的将来不能确定其真值,但其真假性是完全确定的不是命题,因为其真假性依赖于的取值,当二始为真,当笋时为假,,分别是祈使句、疑问句、感叹句,均不是命题定义表示命题的字母,,,…称为命题变项或命题词,而,称为常项定义含义相同的命题称为相同,真值相同的命题成为相等两命题相同,一定相等但相等不一定相同因此,命题的相等只表示命题的真假特征我们所讨论的仅限于命题的特征,不关心命题本身的含义定义不含连接词的简单陈述句所表达的命题称为简单命题,也称为原始命题定义由若干简单命题经过连接词连接而成的命题称为复合命题例给出下列命题不能被整除是一个偶数,又是一个质数三角形的内角或为锐角,或为直角,或为钝角其中,是简单命题,,是复合命题复合命题的真值由简单命题的真值及连接词来决定定义用一个或多个命题构成一个新命题的法则称为命题运算定义设是一个命题的否定是指真则的否定假,假则的否定真,称为的非运算,的否定记为,,读作“非”由定义得到,,,二定义设,是命题“且”或“与”是指,皆真则“且”真,否则“且”假,称为,的合取运算或与运算,“且”记为由定义得到二,一通左,通定义设,是命题“或”是指,皆假则“或”假,否则“或”真,称为,的析取运算或或运算,“或”记为由定义得到,注二,通二滩例若二“为最小的奇合数”,二“被整除”,则,,,二,八二。,二定理一二,一证明由下面的表,,,,,

即得到证明定理,二,,证明由下面的表第期孙宗明等命题逻辑与数学证明方法

,,,,,

即得到证明定理二二证明类似于定理与定理的证明,列出表即得从略非,,合取八,析取是三种基本的命题运算,三者间的运算顺序为先,,再,最后若有括号,要先括号若有多重括号,要由内向外依次进行

命题真值代数定义命题式是指常项,是命题式变项,,,…都是命题式若,是命题式,则,,八,都是命题式仅一是命题式例设“可报考文科”,“可报考理科”,则八,八二“不论文科、理科都可报考,但不得同时报考两科”这里,,是一个命题式定义命题式所含诸变元的全体取值组连同命题式的相应值一起列成的表,称为该命题式的真值表定义设,是两个命题式若对于诸变元的任一组取值,和的相应的值都相等,则称和相等,记为定理两个命题式相等,当且仅当它们的真值表完全相同证明设给定的两命题式,所含的变元是,,…,。由于每一变元仅取值。或,所以,个变元可以列出“组不同的取值因此,根据定义和,二,当且仅当对于这“组取值,和的相应的值都相等,当且仅当和的真值表完全相同例命题式,的真值表解真值表如下,

定义恒取值的命题式称为恒真假命题式定理,恒真,,恒假证明根据下面的真值表,,

即得到证明实际上,,二表示“或真,或假二者必居其一”,这就是排中律,二表示“和非不能同时成立”,这就是矛盾律泰山学院学报第卷

定理集合,对于非,,合取,析取作成一个布尔代数证明集合,非空,,,,在,上封闭用真值表可以证明下列四条基本运算规律成立交换律,

二分配律,

凡么元律,

城补元律一,,二因此,根据布尔代数的定义,,对于,,,作成布尔代数定义巧定理中的布尔代数简记为,,,,八,,称为命题真值代数对运算和还可以作推广

定义`么`…

二“,,'`”。

。同时为真时为真,否则为假”`鹭`…。“,,,…,之中至少有一个为真时为真,否则为假”例计算,一

解原式二,,一

二,,二一,二,,二一二例化简,

解原式卜八八八

二一

二在计算、化简过程中要注意选用合适的法则,从而使运算步骤简洁

蕴涵和等价定义设,是两个命题“若则”是指仅当真假时“若则”为假,称为,的蕴涵运算,记为叶,读作“蕴涵”或若则,称叶为蕴涵式例设命题,如下二“地球不转”,二“被整除,'二“雪是黑的”,二“猫吃老鼠”第期孙宗明等命题逻辑与数学证明方法

“大于”,“天不会垮下来”二“太阳从东方升起”,二“天亮了”根据定义得出由,二,得叶二由二,二,得二由二,二,得弓二由二,,得弓并且,由这些日常生活中的例子,可以说明定义的合理性定理神,证明由下面的真值表叶,,

即得到证明定理说明,蕴涵不是独立的运算定理二当且仅当二证明若叶,则由定理得,二,从而

,一二

反之,若二,则叶

,,二一

例求证叶,、,证明一一二,神一一,,,一二,,,,,二,,一,二一,

二定义设,是两个命题“当且仅当”是指,真值相同时“当且仅当'为真,否则为

假,称为,的等价运算,记为,读作“等价于”或当且仅当称,为等价式定理二叶八讨泰山学院学报第卷

证明由下面的真值表村叶习叻叻叶刀衬月

即得到证明定理二八,,证明,

二,,,,一,一,,二,,八二,,定理与说明,等价运算不是独立的运算

定理二证明由定理即得定理等价运算满足反身性村对称性若,则利吸传递性若,,,则“证明根据定理,可以得到村二杆二“,一叻。二,从而即得到证明具体步骤从略附注蕴涵运算满足反身性、传递性,但不满足对称性例求证。,二证明。一

,叶,,,叶二,一,

此例说明,“或当且仅当若非则”是正确的同样可证,,叶二,从而,“或当且仅当若非则”是正确的例已知叶一一一讨二,求证,叫,二证明两式都等于,八,,,从而得证具体步骤从略定义讨称为蕴涵式叶的逆蕴涵式,一,称为蕴涵式叶的否蕴涵式,刀叶,称为蕴涵式的逆否蕴涵式定理设有蕴涵式,则第期孙宗明等命题逻辑与数学证明方法

叶二,,冲二,,证明,斗,,二一,,、,叶二,二,,,,,、,附注该定理当然也可以用真值表来证明定义设有命题和,若命题成立时,能够断定命题成立,则称命题是命题的充分条件,记为仁,读作“成立,仅当成立”若命题成立时,能够断定命题成立,则称命题是命题的必要条件,记为,读作“当成立,必成立,'若命题是命题的充分条件,又是的必要条件,则称是的充分必要条件,简称充要条件,记为骨,读作“成立,当且仅当成立”由该定义立即得出若是的充分条件,则是的必要条件,从而,若是的充要条件,则是的充要条件定理若二,则是的充分条件,是的必要条件证明若成立,即二,则由叶得,,二,二,二,即成立,所以仁,由定义,是的充分条件,是的必要条件定理巧若村二,则是的充要条件证明因为二叶召州滋所以,由得,叶二且神二从而,根据定理,是的充分条件,又是的必要条件,因此,是的充要条件定理充要条件满足反身性骨对称性若骨,则侣滋传递性若骨,骨,则骨证明根据定理,什,所以骨根据定理,二村,所以得证根据定理,通。,由,二,即得二,所以骨

全称命题和特称命题定义设,,,…,是定义在上的函数,且``二是命题,则称是定义在上的命题函数,称是变域例设材卜二,二“二能被整除,,,则“能被整除”,二“”能被整除二定义“所有”“一切”、“任意”在逻辑学中称为全称量词,记为为英文字双的第一个字母的倒写定义设劝是变域上的命题函数,通过全称量词构成的命题“任意二。,劝都成立,即劝”,称该命题为全称肯定命题,记为招劝通过全称量词构成的命题“任意二,都不成立,即二”,称该命题为全称否定命题,记为,劝定义“有些,'“某些”、“存在”在逻辑学中称为特称量词,记为日为英文字已劣“切翔惚的第一个字母的反写