与圆有关的轨迹方程的求法
若已知动点P 1（α,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：
⎩⎨
⎧βα=βα=)
,()
,(y y x x ① 则关于α、β反解方程组①，得⎩
⎨⎧=β=α),()
,(y x h y x g ②
代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.
例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2
2=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２
+y ２
=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程.
【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴
3
1||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为
3
1. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413
44
3311031)1(43311313000
00
0即
又因2
020y x +＝１，且y 0>0，∴19
164391622
=+
⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16
9
)43
(22>=+-y y x . 例3、已知圆,42
2
=+y
x
过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（） A ．4)1(2
2=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(2
2
=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x
变式练习
1：已知定点)0,3(B ，点
A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段A
B 上的一点，且
MB AM 3
1
=，则点M 的轨迹方程是
解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(3
1
),(11y x y y x x --=--，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=y
y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即16
9
)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是
16
9
)43(22=+-y x .
2：已知定点)0,3(B ，点
A 在圆122=+y x 上运动，AO
B ∠的平分线交AB 于点M ，则点
M 的轨迹方程是.
解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴
3
1=
=
OB
OA MB
AM ，∴
MB AM 31=.
由变式1可得点M 的轨迹方程是16
9)43
(22=
+-y x . 3：已知直线1+=kx y 与圆42
2
=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.
解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2
,
2(y
x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12
(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(2
2=-+y x .∴点P 的轨
迹方程是1)1(2
2=-+y x .
4、圆9)1()2(2
2=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是
5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A.25)7()5(22=++-y x Ｂ.17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ.9)7()5(2
2=++-y x Ｄ.25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x
6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（B ） A B4C8
D9
7：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2
1
，求点M 的轨迹方程.
8如图所示，已知圆42
2
=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．
分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,
的关系非常难．由于H 点随B ，C
点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．
解：设),(y x H ，),('
'
y x C ，连结AH ，CH ，
则BC AH
⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥，
所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．
所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.
,
2''x x y y
又),('
'y x C 满足42
'2
'=+y x
，
所以)0(4)2(2
2
≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．
说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．
9.已知圆的方程为2
2
2
r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点
A 、
B ，使
PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．
分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解． 解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM
⊥，
PQ AB =，
在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2
,2(b
y a x M ++． 由
2
22OA AM OM =+，即
22222])()[(4
1
)2()2(
r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(22
2
2
2
2
b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．
解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则2
2
12
1r y x =+，2
2
22
2r y x =+．
