一类三阶非线性偏微分方程的解法

三阶变系数非齐次差分方程的解公式三阶变系数非齐次差分方程是指具有多项式的非齐次方程的解的一类问题，其一般形式为u''' + au'' + bu' + cu = F（x），其中a，b，c为三阶变系数，可以由已知的函数表示，F（x）是函数表示的外力部分，u（x）是待求解的力矩，其解公式为：u(x)=exp(-ax/2)·[c1·sinh(X·σ)+c2·cosh(x·σ) +b/2a·(σ·cosh(x·σ)-sinh(x·σ))] + (x-x0)·F(x)/(σ·cosh(σ·(x-x0)) - sinh(σ·(x-x0)))，其中a，b，c为三阶变系数，σ=√ab/2a，x0 为特征值，c1，c2为积分常亮。

三阶变系数非齐次差分方程的求解步骤如下：1. 求特征方程的根，即 ax^2 + bx + c = 0，得其两个特征值λ1和λ2（Δ = b²-4·a·c）；2. 代入特征值求解特征函数，即u(x) = exp(-λ1·x)·[c1·cos(√Δ·x/2) + c2·sin(√Δ·x/2)]；3. 以特征函数为基础，代入x0值（x0：特征值），利用F(x)方程，求解积分常数c1和c2；4. 将c1、c2和特征值代入通解方程，求解未知函数u（x）。

三阶变系数非齐次差分方程是应用于力学和流体力学中的一类重要的非线性方程，解具有巨大的工程意义，解决一般三阶变系数非齐次差分方程，可以根据上述步骤来实施计算，应用具有重要意义。

三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法降阶法是高阶线性微分方程的一种解法，它可以解决三阶常系数非齐次微分方程。

下面我们来分析一下它是如何解决三阶常系数非齐次微分方程的。

1. 定义降阶法降阶法是一种用于解决三阶常系数非齐次微分方程的算法，它将三阶常系数非齐次微分方程转化为一组互相关的线性一阶方程组。

2. 三阶常系数非齐次微分方程三阶常系数非齐次微分方程是在三阶线性常系数微分方程的基础上，涉及右端非齐次项，则称为三阶常系数非齐次微分方程，它的一般形式为：$$y^{'''}+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(x)$$3. 降阶法的基本思想降阶法的基本思想是将三阶general equation降低到一组互相关的线性一阶方程组，通过求解这个方程组来解决三阶general equation，换言之，就是将三阶微分方程转化为三个一阶微分方程。

4. 降阶法的具体步骤（1）令$u_1=y$ 、$u_2=y'$和$u_3=y''$ ，引入三个新变量。

（2）将三阶常系数非齐次微分方程变换为三个一阶微分方程：$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_1'=u_2$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_2'=u_3$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_3'=g(x)-a_2u_2-a_1u_1-a_0u_0$（3）解上述方程组，即可求得三阶常系数非齐次微分方程原方程的通解。

5. 降阶法的优缺点（1）优点：相比于其他解法，降阶法计算量较小，易于推导和实现。

（2）缺点：当微分方程非常复杂时，降阶法可能会出现运算失真或者不稳定的现象，影响最终结果的准确性。

一阶偏微分方程组求解（实用版）目录一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念二、一阶偏微分方程组的求解方法三、一阶偏微分方程组的应用实例正文一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种，它是指包含一个未知函数的一阶偏导数的方程组。

在求解一阶偏微分方程组时，我们需要了解一些基本概念，如：线性偏微分方程、非线性偏微分方程、齐次偏微分方程、非齐次偏微分方程等。

二、一阶偏微分方程组的求解方法求解一阶偏微分方程组通常有以下几种方法：1.常数变易法：适用于齐次线性偏微分方程组。

通过求解每个方程的常数项，然后将结果组合起来，得到原方程组的解。

2.变易法：适用于非齐次线性偏微分方程组。

首先求解对应的齐次线性偏微分方程组，然后通过解非齐次方程得到变易因子，最后将变易因子与齐次方程的解相加，得到原方程组的解。

3.待定系数法：适用于含有待定系数的一阶偏微分方程组。

通过设定待定系数，将方程组转化为一组关于待定系数的代数方程，然后求解代数方程，得到待定系数的值，最后将待定系数代入原方程组，得到原方程组的解。

4.分离变量法：适用于具有特定形式的一阶偏微分方程组。

通过将变量分离，将原方程组转化为一组关于不同变量的方程，然后分别求解这些方程，最后将解组合起来，得到原方程组的解。

三、一阶偏微分方程组的应用实例一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：物理学中的波动方程、生物学中的种群动态方程、经济学中的价格决定方程等。

这些方程组的求解有助于我们更好地理解现实世界中的现象和规律，为科学研究和实际应用提供理论依据。

总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程领域的基本内容，其求解方法多样，应用广泛。

2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。

对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。

有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。

学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。

保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名：指导教师签名：日期：日期：杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。

鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。

本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。

如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。

在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。

这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。

关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解英文目录一、引言 (1)二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 (1)2.1线性微分方程 (1)2.2非线性微分方程 (1)三、非线性微分方程的解法 (2)3.1利用初等积分与引入新变量法 (2)3.1.1形如()(),0n F x y =型的方程分的两种情形............................23.1.2形如()()',,...,0n F y y y =型的方程. (3)3.1.3形如()()',,...,0n F x y y =型的方程........................................43.2首次积分法 (4)3.3常数变易法 (5)3.3.1引用定理3.1 (5)3.3.2形如dy y y g dx x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭型的方程............................................63.3.3形如()()'y y P x e Q x +=型的方程 (6)3.3.4形如'x y xy y+=型的方程..................................................73.4可化为线性方程法 (7)3.4.1通过变换方程化为线性方程的方程 (7)3.4.2通过求导运算化为线性的方程 (8)3.4.3伯努利方程 (8)3.4.4黎卡提方程 (8)3.4.5二阶非线性方程()''',,,0F x y y y =或()''',,y f x y y =型 (9)四、结束语.....................................................................................10参考文献........................................................................................10致谢. (11)1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。

一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。

这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。

另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。

这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大编辑摘要目录• 1 正文• 2 牛顿法及其变形• 3 割线法• 4 布朗方法• 5 拟牛顿法•非线性方程组数值解法 - 正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。

若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。

在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。

若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。

方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。

由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

求一类三阶常系数非齐次线性微分方程特解的简便公式
杨瑞;王志伟
【期刊名称】《河南工程学院学报（社会科学版）》
【年(卷),期】2002(017)004
【摘要】对于三阶常系数非齐次线性微分方程y＇＇＇+py″+qy′+ry=f(x),当
f(x)=P3(x)eax或f(x)=P3(x)eλxcos ωx+Q3(x)euxsin ωx(P3(x),Q3(x)为三次多项式)时,有一种求特解的简便公式,并且利用该公式可容易地在计算机上编程计算.【总页数】3页(P67-69)
【作者】杨瑞;王志伟
【作者单位】郑州经济管理干部学院,河南,郑州,450052;郑州经济管理干部学院,河南,郑州,450052
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.求一类n阶常系数非齐次线性微分方程通解的简便公式 [J], 陈传勇;邹建华;
2.求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式 [J], 王焕
3.一类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求解公式 [J], 李岚
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偏微分方程的基本理论与解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中非常重要的一个分支。

它描述了自然界中各种物理现象和工程问题中的变化和传播过程。

本文将介绍偏微分方程的基本理论和一些常见的解法。

一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。

它的一般形式可以表示为F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn) = 0，其中u是未知函数，而∂u/∂xi表示对变量xi的偏导数。

根据方程中涉及的未知函数的个数以及偏导数的阶数，偏微分方程可以分为以下几类：1. 一阶偏微分方程：方程中包含一阶偏导数。

2. 二阶偏微分方程：方程中包含二阶偏导数。

3. 高阶偏微分方程：方程中包含高于二阶的偏导数。

4. 线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。

5. 非线性偏微分方程：方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。

二、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性：对于一些特定类型的偏微分方程，可以证明在一定的条件下，方程存在唯一的解。

这对于物理和工程问题的建模和求解非常重要。

2. 奇性理论：奇性现象是指当某些参数取特定值时，偏微分方程的解会发生突变。

奇性理论研究了这些特殊情况下方程解的行为。

3. 变分原理：变分原理是一种通过极小化能量泛函来求解偏微分方程的方法。

它是最优控制、计算物理等领域中的重要工具。

三、常见的偏微分方程解法1. 分离变量法：这是一种常见的求解线性偏微分方程的方法。

通过假设解可分离变量的形式，将方程转化为一系列常微分方程。

2. 特征线法：特征线法适用于一些特殊的偏微分方程，通过引入一组参数，将方程转化为关于参数的常微分方程组。

3. 变换法：变换法通过引入适当的变换，将原方程转化为简单形式的偏微分方程，进而求解。

总结：本文简单介绍了偏微分方程的基本理论与解法。

教学单位学生学号本科毕业论文（设计）题目学生姓名专业名称指导教师年月日三阶非齐次常系数线性微分方程解的表达式胡青（111114110）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，这种方法被许多作者研究过。

本文利用常数变易法求出了三阶非齐次常系数微分方程解的表达式，利用解的表达式，可以很方便地求出三阶非齐次常系数微分方程的解。

关键词：常数变易法；三阶；非齐次；常系数微分方程；解的表达式The Solution of third-order Non-homogeneous Ordinary Differential Equation with Constant C oefficientHuQing (111114110)(Hubei Engineering College, Xiaogan, Hubei, 432000)Abstract:Uses the method of constant variation to second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, this method by many authors studied. In this paper, the constant variation method is used to derive the third order nonhomogeneous the expressions of the constant coefficient differential equations, using the expression of the solution can be easily calculated third-order differential equation with constant .Key words:constant variation method; The third order. Non-homogeneous; Constant coefficient differential equations; Expression of solution1. 预备知识定义1.1：方程0...)(111=++++≡--n n n n a a a F λλλλ称为常系数齐次线性方程0...)1(1)2(2)1(1)(=+++++---x a y a y a y a y n n n n n 的特征方程。

偏微分方程简介偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是描述自然界中许多现象的一个重要数学工具。

它涉及到物理、工程、经济、生物等领域的许多问题的建模与求解。

本文将对偏微分方程进行简要介绍。

一、偏微分方程的定义与分类偏微分方程是函数的偏导数与自变量之间的关系所构成的方程。

它可以分为几个主要的分类：1. 一阶偏微分方程：包含一阶偏导数的方程，如线性一阶偏微分方程和非线性一阶偏微分方程。

2. 二阶偏微分方程：包含二阶偏导数的方程，如椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方程。

3. 高阶偏微分方程：包含更高阶偏导数的方程，如三阶、四阶甚至更高阶的偏微分方程。

二、偏微分方程的应用偏微分方程在各个领域中都有广泛的应用，下面以几个典型的应用为例进行介绍：1. 热传导方程：描述热传导现象，在工程领域中常用于热传导问题的建模与求解。

2. 波动方程：描述波动现象，如声波、光波等，广泛应用于声学、光学等领域。

3. 扩散方程：描述物质扩散现象，常用于描述化学反应、生物学扩散等问题。

4. 电磁场方程：描述电磁场分布，在电磁学领域中被广泛应用于电磁波传播、电磁感应等问题的研究。

三、偏微分方程的解法对于偏微分方程，求解其解析解往往是非常困难的。

因此，通常采用数值解法对其进行求解。

常见的数值方法包括：1. 有限差分法：将偏微分方程中的导数用差分代替，转化为代数方程组进行求解。

2. 有限元法：将区域分割成有限个小单元，通过对各个单元进行逼近，得到整个区域上的解。

3. 特征线法：通过沿特征线追踪，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。

四、总结偏微分方程作为一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域中的问题建模与求解。

通过对偏微分方程的分类和应用进行了简要介绍，并介绍了常见的数值解法。

当然，这仅仅是对偏微分方程的简单概述，实际上，偏微分方程是一个复杂而庞大的研究领域，需要在数学、物理、计算机等多个学科的知识基础上深入研究，才能更好地理解和应用。

微分方程的分类及解法微分方程是数学中的一种重要的概念，在科学中有着广泛的应用。

其解法的复杂性和微分方程本身的类型有关。

本文将详细介绍微分方程的分类及解法。

一、微分方程的分类微分方程一般按照方程中出现各种变量的次数和阶数的不同而进行分类。

具体来说，微分方程可以分为以下几类。

1.常微分方程常微分方程是指方程中仅包含一个自变量（通常为时间t）的微分方程，其一般形式为dy/dt = f(y,t)。

常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。

2.偏微分方程偏微分方程是指方程中包含多个自变量（如时间t、空间坐标x、y、z等）的微分方程。

偏微分方程的方程式比较复杂，通常只有数学专业的高年级学生才会接触到。

3.线性微分方程当方程的形式满足一次齐次线性的时候，称为线性微分方程。

即方程中出现的未知函数及其导数都是一次的，如y'' + y' + y = 0。

这种方程类型的解法相对较为简单。

4.非线性微分方程一般来说，非线性微分方程解析解比较难求。

出现非线性情况往往会极大的增加微分方程的难度。

例如，y'' + sin y = 0，和y'' +y^2 = 0这两个方程都是非线性方程。

二、微分方程的解法对于不同类型的微分方程，解法也有所不同。

本段将详细介绍几种微分方程的具体解法。

1.分离变量法分离变量法是处理一阶常微分方程最为常用的方法，也可用于一些高阶常微分方程。

当方程可以表示为dy/dt = f(y)的形式时，我们可以将一般方程分离成含有y的部分和含有t的部分，然后将两部分同时积分，在约定的边界条件下得到解。

2.常系数线性微分方程常系数线性微分方程形如y'' + ay' + by = 0，这里的a,b为常数。

这种微分方程的通解可以通过求出特征方程的两个根r1和r2，然后根据r1和r2的情况进行分类求解。

若r1和r2都是实数或都是虚数，则y = c1e^(r1x) + c2e^(r2x)。

偏微分方程的基本方法偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

解决偏微分方程的问题是这些领域中的关键任务之一。

本文将介绍偏微分方程的基本方法，包括分类、求解技巧和应用。

一、偏微分方程的分类偏微分方程可以分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程两大类。

1. 线性偏微分方程线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。

常见的线性偏微分方程有波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。

求解线性偏微分方程的方法主要包括分离变量法、变换法和特征线法等。

2. 非线性偏微分方程非线性偏微分方程是指方程中的未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。

非线性偏微分方程的求解相对复杂，常用的方法有变分法、数值方法和近似解法等。

二、偏微分方程的求解技巧1. 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程的常用方法。

它的基本思想是将多元函数的偏导数分离成单变量函数的导数，从而将原方程转化为一系列常微分方程。

通过求解这些常微分方程，再将解合并，即可得到原偏微分方程的解。

2. 变换法变换法是通过引入适当的变量变换，将原偏微分方程转化为更简单的形式。

常见的变换方法有特征变量法、相似变量法和积分变换法等。

变换法的关键是选择合适的变换，使得新的方程更易求解。

3. 特征线法特征线法适用于一类特殊的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些非线性偏微分方程。

它的基本思想是通过沿着特征线进行变量替换，将原方程转化为常微分方程。

通过求解这些常微分方程，再将解映射回原坐标系，即可得到原偏微分方程的解。

三、偏微分方程的应用偏微分方程在科学和工程领域有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 物理学偏微分方程在物理学中的应用非常广泛，如波动方程用于描述声波、光波等的传播；热传导方程用于描述热量的传导；薛定谔方程用于描述量子力学中的粒子行为等。

一阶偏微分方程组求解一、一阶偏微分方程组的定义和基本概念一阶偏微分方程组是指包含多个未知函数的偏微分方程组，其中最高阶导数为一次。

它们在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

一阶偏微分方程组的一般形式为：u/t = Au + F(x, u)其中，u(x, t) 是未知函数，A 是系数矩阵，F(x, u) 是非线性函数。

二、常见的一阶偏微分方程组类型及求解方法1.热传导方程：描述热在物质中的传播过程，求解方法有分离变量法、有限差分法等。

2.波动方程：描述波的传播过程，求解方法有分离变量法、有限元法等。

3.牛顿冷却定律方程：描述物体在热交换过程中的温度变化，求解方法有边界层法、有限差分法等。

4.反应扩散方程：描述化学反应过程中物质的扩散，求解方法有有限差分法、有限元法等。

三、数值求解方法及其优缺点1.分离变量法：将偏微分方程组分解为多个一阶常微分方程，然后分别求解。

优点是计算简单、收敛速度快，缺点是适用于对称和具有特定结构的方程组。

2.有限差分法：将空间或时间离散化，利用差分代替微分。

优点是适用于各种偏微分方程组，缺点是对网格要求较高，可能导致误差累积。

3.有限元法：将求解域划分为有限个元素，在每个元素内建立近似解，然后通过插值函数叠加得到全局解。

优点是适用于复杂几何结构和非线性方程组，缺点是计算成本较高。

四、实际应用场景及案例分析1.热传导问题：分析电子器件、建筑物的温度分布，为散热设计和节能提供依据。

2.波动问题：分析声波、电磁波在介质中的传播特性，为通信、导航等系统优化提供支持。

3.反应扩散问题：研究生物膜、化学反应过程中的物质传输和反应速率，为相关领域提供理论依据。

五、总结与展望一阶偏微分方程组在多个领域具有广泛应用，掌握其求解方法和实际应用场景对于解决实际问题具有重要意义。

偏微分方程的基本概念偏微分方程是数学中一类重要的方程，由于其广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，因此被广泛研究和应用。

本文将对偏微分方程的基本概念进行系统的讲解，旨在为读者介绍偏微分方程的基本概念和理论基础。

一、偏微分方程的定义偏微分方程是指一个包含多个变量的方程，其中每个变量的导数中有一个或多个是变量的函数。

一般形式为：$$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,u,\partial u/\partial x_1,\partial u/\partial x_2,\cdots,\partial u/\partial x_n,\partial^2u/\partialx_1^2,\cdots,\partial^2u/\partial x_n^2,\cdots)=0$$其中$u$表示未知函数，$\partial u/\partial x_i$表示$u$关于$x_i$的一阶偏导数，$\partial^2 u/\partial x_i^2$表示$u$关于$x_i$的二阶偏导数。

二、偏微分方程的分类偏微分方程的分类主要有三种方式：按阶数分类、按类型分类、按解的特征分类。

按阶数分类，偏微分方程可分为一阶偏微分方程和二阶偏微分方程等。

一阶偏微分方程的类型包括可分离变量型、齐次型、一般型等；二阶偏微分方程的类型包括椭圆型、双曲型、抛物型等。

按类型分类，偏微分方程可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程等。

线性偏微分方程是指未知函数及其一阶和二阶偏导数之间的关系是线性的方程，非线性偏微分方程则是指这种关系不是线性的方程。

按解的特征分类，偏微分方程可分为初值问题、边值问题、本征值问题等。

初值问题是指给定$u$及其各阶偏导数在某一时刻的值，求它在不同时间下的解；边值问题是指在一个确定区域内，给定$u$在边界上的值，求解整个区域内$u$的解；本征值问题是指在某一区域内，找到满足某些条件的未知函数及其特征值。

三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法有多种，常见的解法包括：分离变量法、变系数叠加法、矩估计法、变换法、特征线法、有限元法等。

非线性三阶微分方程的上下解方法王晓燕;贾爱霞【摘要】本文在较弱的单调性条件下,利用上下解方法与单调迭代技巧获得了非线性三阶微分方程u＇（t）＋au＇（t）＋bu＇（t）=f（t,u（t））,t∈R极值ω-周期解的存在性,并且给出了解的迭代序列,其中f：R×R→R为关于t以ω为周期的连续函数,a,b〉0为常数.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2016(023)003【总页数】3页(P83-85)【关键词】非线性三阶微分方程;上下解;单调迭代方法【作者】王晓燕;贾爱霞【作者单位】兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O175近年来，三阶微分方程两点边值问题得到了反复而深入的研究[1-5]，然而三阶微分方程周期问题由于其自身结构的复杂性，研究结果相对较少[6-9].本文中，我们利用上下解与单调迭代方法研究非线性三阶微分方程u'''(t)+au''(t)+bu'(t)=f(t,u(t))，t∈R极值ω-周期解的存在性.其中,f:R×R→R为关于t以ω为周期的连续函数，a,b>0为常数．文献[6～8]运用上下解与单调迭代方法研究了三阶半线性微分方程周期边值问题解的存在性．后来，文献[9]用上下解与单调迭代方法研究了完全非线性三阶微分方程周期边值问题解的存在性．但该文中所提的条件过于苛刻，在应用上不易满足．本文使用不同于文献[9]的方法，通过把问题(1)转化为三个一阶微分算子的复合的技巧，在较为简洁的条件下获得了问题(1)极值ω-周期解的存在性，并且给出了解的迭代序列．显然，微分方程(1)ω-周期解的存在性等价于微分方程周期边值问题解的存在性. 因为方程(1)的ω-周期解限制在[0,ω]上即为周期边值问题(2)的解，而周期边值问题(2)的解以ω为周期延拓在R上后为方程(1)的ω-周期解.记X=C[0,ω]为[0,ω]上所有连续函数按范‖u‖构成的Banach空间．首先做如下假设：(H1) 存在常数c>0,c<a使得1) b+c2>ac;2) a2+2ac≥3c2+4b.∀h∈X，首先考察线性微分方程周期边值问题若常数a,b>0满足假设条件(H1)，则特征多项式P(λ)=λ3+aλ2+bλ+c(b+c2-ac)有三个负根，一个为-c，其余两个即为-r1,-r2．熟知，有如下的结论成立：引理1 对∀h∈X，M>0，线性微分方程周期边值问题有唯一解，其中引理2 若假设条件(H1)成立，则线性微分方程周期边值问题(3)存在唯一解h(υ)dυdτds=Sh(t).且S:X→C3[0,ω]为正线性全连续算子．证明通过直接验证可知，u(t)=Sh(t)为线性微分方程周期边值问题(3)的唯一解．又由算子S的定义易知，当h(t)≥0时，Sh(t)≥0，故S为正线性算子，且为有界算子．又由于S等度连续，因此，由Arzela-Ascoli定理[10-11]易证S:X→C3[0,ω]全连续．定义1 若函数α(t)∈C3[0,ω]满足则称α(t)为微分方程周期边值问题(2)的一个下解；若函数β(t)∈C3[0,ω]满足则称β(t)为微分方程周期边值问题(2)的一个上解．定理1 假设常数a,b>0满足假设条件(H1)．α0(t),β0(t)∈C3[0,ω]分别为微分方程周期边值问题(2)的一个下解与上解，α0(t)≤β0(t),t∈[0,ω]，并且条件(H2)对∀t∈[0,ω]，α0(t)≤x1≤x2≤β0(t),有f(t,x2)-f(t,x1)≥-c(b+c2-ac)(x2-x1)成立，则非线性三阶微分方程(1)在[α0,β0]之间存在最小、最大ω-周期解．证明定义算子T:[α0,β0]→C3[0,ω]如下：[f(υ,u(v))+c(b+c2-ac)u(v)]dυdτds t∈[0,ω].由引理2，T:[α0,β0]→C3[0,ω]为正的全连续算子，且微分方程周期边值问题(2)的解就等价于算子T的不动点．由算子T的正性及假设条件(H1)易知，T为[α0,β0]上的增算子．下面证明α0≤Tα0，Tβ0≤β0．令c2-ac)α0(t),由(4)式可知，h(t)≤f(t,α0(t))+c(b+c2-ac)α0(t)．由引理2及定义1 有].即α0≤Tα0．类似的，可以证明Tβ0≤β0．因此，T:[α0,β0]→C3[0,ω]为全连续的增算子．下面定义序列与满足迭代方程与由引理2及算子T的定义可知与满足算子迭代方程αn=Tαn-1，βn=Tβn-1，n=1,2,…又由前面的讨论及算子T的增性易得α0≤α1≤α2≤…≤αn≤…≤βn≤…≤β2≤β1≤β0且αi与βi分别满足迭代方程(6)与(7)．因此，必存在α,β∈[α0,β0]，使得，对t∈[0,ω]一致的成立．在式(8)中令n→∞，则有α(t)=Tα(t)，β(t)=Tβ(t)，t∈[0,ω]．所以，α与β为算子T的不动点．下证α(t)与β(t)分别为算子T在[α0,β0]中的极小、极大不动点．令γ(t)为算子T 的任一不动点，则有Tγ(t)=γ(t)，且α0(t)≤γ(t)≤β0(t)t∈[0,ω].上式用T作用n次，有αn(t)≤γ(t)≤βn(t)t∈[0,ω].令n→∞，有α(t)≤γ(t)≤β(t)t∈[0,ω].因此，α(t)与β(t)分别为算子T在[α0,β0]中的极小、极大不动点．所以，α(t)与β(t)为微分方程周期边值问题(2)的极值解，把α(t)与β(t)以ω为周期延拓到R上后即为微分方程(1)的极值ω-周期解．【相关文献】[1] Q L Yao, Y Q Feng. The existence of solutions for a third order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2002, 15: 227-232.[2] Q L Yao. Solution and positive solution for a semilinear third-order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2004, 17: 1171-1175.[3] Y Q Feng, S Y Liu. Solvability of a third-order two-point boundary value problem[J]. Appl. Math. Lett., 2005, 18: 1034-1040.[4] S H Li, S Y Liu. Positive solutions of nonlinear singular third-order two-point boundary value problem [J]. J. Math. Anal. Appl., 2006, 323: 413-425.[5] Z Q Liu, J Sheok Ume, S M Kang. Positive solutions of a singular nonlinear third order two-point boundary value problem [J]. J. Math. Anal. Appl., 2007, 326:589-601.[6] J J Nieto. On the existence of periodic solutions for the third-order nonlinear ordinary differential equations[J]. Commen. Math. Univ. Cirolinae, 1991, 32: 495-499.[7] P Omput, M Trombetta. Remarks on the lower and upper solutions method for second and third-order periodic boundary value problems[J]. Appl. Math. Comput.,1992, 50: 1-20.[8] A Cabada. The method of lower and upper solutions for third-order periodic boundary value problems[J]. J. Math. Anal. Appl., 1995, 195: 568-589.[9] 李波，刘文斌. 三阶非线性常微分方程周期边值问题解的存在性[J].数学研究,2008,41(1):79-86.[10] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南: 山东科学技术出版社, 1985.[11] 郭大钧,孙经先，刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1995.。