D7_4一阶线性微分方程精品PPT课件

描述自然现象
线性微分方程在物理学、工程学 和经济学等领域中广泛用于描述 自然现象和工程问题。
数学建模
线性微分方程是数学建模的重要 工具，能够将实际问题转化为数 学模型，便于分析和预测。
理论数学
线性微分方程在数学理论中具有 重要地位，是研究函数和微积分 学的重要工具。
线性微分方程的分类
一阶线性微分方程
详细描述
线性微分方程组适用于具有形式$dy/dx = f(x, y)$的微分方程组。通过将原方 程组转化为线性代数方程组，然后求解线性代数方程组得到原微分方程组的解 。
03
线性微分方程的应用
在物理中的应用
01
02
03
描述物体运动规律
线性微分方程可以用来描 述物体的运动规律，如匀 速直线运动、匀加速运动 等。
详细描述
分离变量法适用于具有形式$dy/dx = f(x)$的微分方程。通过将等式两边同 时乘以某个函数，使得等式变为$y = f(x)g(x)$的形式，然后对两边积分， 得到方程的通解。
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为参数方程，然后求解参数Βιβλιοθήκη 程得到原微分方程的解。详细描述
参数法适用于具有形式$dy/dx = f(x, y)$的微分方程。通过引入参数，将原方程转化为参数方程，然后求解参数 方程得到原微分方程的解。
f(x)$。
03
高阶线性微分方程的解法通常采用降阶法或常数变易法。
非齐次线性微分方程
01
非齐次线性微分方程是指等号 右边的非齐次项不为零的线性 微分方程。
02
非齐次线性微分方程的一般形 式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = g(x)$。

此齐次线性方程的通解为 y C2 ex (x 1)
利用衔接条件得 C2 2(e 1)
因此有
y 2(e1) ex (x 1)
3) 原问题的解为
y


2(1ex ), 2(e 1) ex ,
0
x
x 1 1
y 2 2ex (0 x 1)
线性方程
f (x) 1 (cos x sin x ex ) 2
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2. 设有微分方程 y y f (x), 其中
2, 0 x 1 f (x) 0 , x 1
试求此方程满足初始条件
的连续解.
解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得
y y 2, 0 x 1 y x0 0
代入非齐次方程得 解得
u

2(x
3
1) 2

C
3
故原方程通解为
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*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
伯努利方程的标准形式:
解法:
除方程两边 , 得
yn d y P(x)y1n Q(x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n)yn dy
代入原方程得 d u 1 1 , dx u
du u 1 dx u
可分离变量方程
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思考与练习
判别下列方程类型:
(1) x dy y xy dy
dx
dx
(2) x dy y (ln y ln x) dx
(3) ( y x3) dx 2x dy 0
第四节
第七章
一阶线性微分方程

一阶齐次线性微分方程一阶线性微分方程形如)()(x q y x p y =+'的方程称为一阶线性微分方程。

时，当0)(≡x q 方程称为一阶齐次线性方程。

方程称为一阶非齐次线性方程。

时，当0)(≡x q 习惯上，称0)(=+'y x p y 为方程)()(x q y x p y =+'所对应的齐方程。

时，方程有唯一解。

、一般说来，当函数 C x q x p ∈)()(, 是一个变量可分离方程方程0)(=+'y x p y 运用分离变量法，得 ，dx x p y dy )(-= ，)0(≠y 两边积分，得1，C dx x p y +-=⎰)(||ln 故1.)(⎰-⋅±=dx x p C e e y的通解为，得一阶齐次线性方程记1C e C ±= .)(⎰-=dx x p Ce y对应于0=y0＝C 表示一个原函数一阶齐次线性微分方程解.的通解求02=-'xy y，，)),(()(2)(∞+-∞∈-=C x p x x p 故该一阶齐次线性方程的通解为.22x dx x dx x p Ce Ce Ce y ===⎰⎰---)()(套公式！例1.20sin 2==+'=πx y x y y ，求解初值问题：先求此一阶齐次线性方程的通解：， )),((sin )(∞+-∞∈=C x x p .cos sin x xdx Ce Cey ==⎰- 代入通解中，得将22==πx y )2(2cos =πCe 因为 2，=C 故该初值问题的解为.2cos x e y =例2解，则一阶齐次线性方程若C x p ∈)( 0)(=+'y x p y 的解存在，且唯一，其通解为.)(⎰=-dx x p Ce y。

17
一阶微分方程
u
y du dy
1 1 eu
(u 1)
分离变量
1 u
eu eu
du
1 y
dy
两边积分 ln(u eu ) ln y ln C
即 得通解
y(u eu ) C
x
x ye y C
18
一阶微分方程
第四节 一阶线性微分方程
一阶 线性微分方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) dx
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x,C) 就是方程的通解(隐式通解).
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
一阶微分方程
例 求方程 x(1 y2 )dx y(1 x2 )dy 0 的通解.
解 分离变量
1
y y
2
dy
1
x x
2
dx
两端积分
1
y y2
dy
1
x x
2
dx
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 dx
x dx
C
1 x
sin xdx C
1 cos x C
x
26
一阶微分方程
例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与y x3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
解
C
Ce x0 3x02 6x0 6
y |x0 0 得 C 6 所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2)
28
一阶微分方程