湖南长沙长郡中学理科实验班招生试题

长郡入学考试试题（1）

一、选择题（每小题4分，共32分）

1、如图，梯子跟地面的夹角为∠A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）

A sinA 的值越小，梯子越陡

B ：cosA 的值越小，梯子越陡

C ：tanA 的值越小，梯子越陡

D ：陡缓程度与∠A 的函数值无关

2、直线l :(3)2y m x n =-+-(m ,n 为常数)的图像如图，化简3m - ） A ： 3-m -n B ：5 C ：-1 D ：m +n -5

3、在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为21600的多边形，则n 的值（ ） A ：只能为12 B ：只能为13 C ：只能为14 D ：以上都不对

4、对于任意一个自然数n,m 能整除19999991n n --，则m 的最大值为（ ）

A ：9

B ：27

C ：37

D ：999

5、半径为1的圆的外切直角三角的面积的最小值为（ ）

A ：3-

B ：3+

C ：6-

D ：6+6、某学生解一道没有实数解的二次方程20ax bx c ++=时，因看错了某一项的符号，得到的两根为

，则b c a +的值为（ ）A ：1998 B ：1999 C ：1998或1999 D ：1999或2000 7、有两边高分别为4和12的三角形的内切圆半径r 的取值范围是（ ）

A ：1223r <<

B ：32r >

C ：122r <<

D ：322

r <<

8、点P 的正方形ABCD 在同一平面，且222PA PB PC +=。则PD 的最大值为（ ）

A ：4

B ：2+

C ：6

D ：2+ 二、填空题（每小题4分，共32分）

9、不等式组20260

x x -<⎧⎨-+<⎩的解集是 。 10、两个相似三角形的周长之比为4:9，那么它们的相似比为 。

11、将长为143cm 的铁丝截成n （3n ≥）小段，每小段不小于1cm ，若其中任意三小段都不能拼成三角形。n 的最大值为 。

12、三边都是整数的直角三角形叫做勾股三角形。有一条边长为12的勾股三角形有 个。

13、已知a 、b 、c 、d 分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位数字，且低位上的数字不小于高位上的数字。当a b b c c d d a -+-+-+-取得最大值时，这个四位数的最大值为 。

14、一只猴子爬上一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃两级，最多上跃三级。从地面上到最上一级，一共可以有 不同的爬跃方法。

15、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AB ≠AD ,对角线AC 、BD 相交于点O 。如下四个结论：①梯形ABCD 是轴对称图形；②∠DAC =∠DCA ;③⊿AOB ≌⊿DOC ,④⊿AOD ≌⊿BOC .请把其中错误结论的序号填在横线上 。

16、如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三

个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积S 1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S 2，S 3，，…，S n (n 为正整数)那么第8个正方形的面积S 8= 。

三、解答题（每小题12分，共36分）

17、在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程2331

x kx x k x ++=+-的解，求实数k 的取值范围。 18、如图，⊙O 1过梯形ABCD 的两顶点A 、B ，并切腰CD 于N ，⊙O 2过点C 、D 并切腰AB 于M ，求证：AM ·MB =CN ·ND .

19、已知：如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点C 在以D （-2,-2）为圆心，4为半径的圆上，且经过⊙D 与x 轴的两个交点A 、B ，连接AC 、BC 、OC 。（1）求点C 的坐标；（2）求图中阴影部分的面积；（3）在抛物线上是否存在点P ，使DP 所在直线平分线段OC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。