数学：4.3.1《用一元二次方程解决问题》课件(苏科版九上)

B 率为 x，则由题意列方程应为（ ）
A．25（1+x）2＝16
B．25（1﹣x）2＝16
C．16（1+x）2＝25
D．25[1+（1﹣x）+（1﹣x）2]＝16
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明 确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
【变式 2】（2021·江苏九年级期末）据调查，我市某企业 2018 年生 产的某品牌产品 100 万个，到 2020 年该品牌产品的年产量达到 169 万个． （1）求该品牌产品的年平均增长率； （2）若该品牌产品的年平均增长率保持不变，请你预测该品牌产品 2021 年的年产量．
7 篱笆边长为______ m ．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键 是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适 的等量关系，列出方程，再求解．
【变式 2】（2021·广西）如图，依靠一面长 18 米的墙，用 34 米长的 篱笆围成一个矩形场地花圃 ABCD，AB 边上留有 2 米宽的小门 EF （用其他材料做，不用篱笆围）． （1）设花圃的一边 AD 长为 x 米，请你用含 x 的代数式表示另一边 CD 的长为 米； （2）当矩形场地面积为 160 平方来时，求 AD 的长．
【问题1】 一根长22cm的铁丝 (1)能否围成面积是30cm2的矩形. (2)能否围成面积是32cm2的矩形?并说明理由.
【答案】（1）能；（2）不能. 具体步骤在课本24页.
【变式 1】（2021·河北秦皇岛市·九年级期中）如图，矩形鸡场平面 示意图，一边靠墙，墙长8m ，另外三面用竹篱笆图成，若竹篱笆总 长为 27m ，所围的面积为 70m2 ，则此矩形鸡场中，平行于墙面的竹
能力提升

(2)确定公式中a，b，c 的值.
(3)求出b2－4ac 的值.
(4)若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求
解；若b2－4ac ＜ 0，则方程没有实数根.
感悟新知
特别提醒
1. 公式法是解一元二次方程的通用解法
(也称万能解法)，它适用于所有的一元二次
方程，但不一定是最高效的解法.
方程的两个根.
感悟新知
知识储备
第一将方程化成左边是含有未知数的平方式，
右边是非负数的情势；其次化平方式的系数为1；
最后根据平方根的意义开平方求解.
感悟新知
例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2－13＝12； (2)4(2x－1)2－36＝0.
解题秘方：紧扣用直接开平方法解一元二次方程的步骤
的情势，再用直接开平方法求出方程的解.
感悟新知
(1)x2－2x－5＝0；
解：移项，得x2－2x＝5.
配方，得x2－2x＋12＝5＋12，即(x－1)2＝6.
解这个方程，得x－1＝± .
所以x1＝1＋ ，x2＝1－ .
感悟新知
(2)2x2－4x＋1＝0.

2
解：两边都除以2，得x －2x＋ ＝0.
得5x2+4x－1＝0.
∵a＝5，b＝4，c＝－1，
∴ b2－4ac＝42－4×5×(－1)＝36＞0，
∴ x＝
－±
×

－± －±

＝
＝
. ∴ x1＝ ，x2＝－1.



2
移项，得x －2x＝－ .


2
即(x－1) ＝ .

所以x1＝1＋

分析：设缉私艇从C处到B处需 A
B北
航行xh，则AB＝60x km，BC＝
75xkm．根据题意，可知△ABC
是直角三角形，利用勾股定理可 C 以列出方程．
解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．
根据题意，得△ABC是直角三角形，AC＝30km.
于是（60x)2 ＋ 302 ＝(75x)2．
【答案】
（3）设经过 x 秒钟后 PQ＝BQ，则 PC=6 xcm ，QC 2xcm ，BQ=8 2xcm ，
6 x2 2x2 8 2x2 ， 解得： x1 10 8 2 ， x2 10 8 2 （不合题意，舍去）， 答：经过 10 8 2 秒钟后 PQ＝BQ．
总结反思
知识点 用一元二次方程解决动点运动类问题
【答案】（2）设 P 出发 t 秒时 S QPC 4cm2 ，则 Q 运动的时间为t 2 秒，由
题意得： 1 6 t2t 2 4 ， 2
∴ t2 8t 16 0 ， 解得： t1 t2 4 ． 因此经 4 秒点 P 离 A 点 1×4＝4cm，点 Q 离 C 点 2×（4﹣2）＝4cm，符 合题意． 答：P 先出发 2 秒，Q 再从 C 出发，经过 2 秒后 S QPC 4cm2 ．
【答案】（2）经过 15﹣ 15 h 就会进入台风影响区；
【变式 1】如图，一艘轮船以 30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中 接到台风警报，某台风中心正以 10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心 200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时， 它与台风中心的距离 BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离 AB=300km． （3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少 小时？

【小结】
1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤； 2．感受转化的数学思想．
（x＋h）2＝ k（h、k是常数，k≥0）．
∴x＋1＝ 2 ，
即x1＝－1＋ 2 ，x2＝－1－ 2 .
【总结反思】
1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特 点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k
是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求
解. 2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个
（1）x2－4＝0；
（2）4x2－1＝0 ．
解：（1）移项，得 x2＝4，（2）移项，得4x2＝1，
∵x是4的平方根， ∴x＝±2． 即 x1＝2，x2＝－2．
两边都除以4，得
x2＝
1 4
．
∵x是
1 4
的平方根，
∴x＝ 1 ．
即x1＝
12 2，x2＝
1 ．
2
【例题精讲】
例2 解方程：（x＋1）2＝ 2 . 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可 以运用直接开平方法求解. 解：∵x＋1是2的平方根，
1.2一元二次方程的解法（1）
【问题情境】
如何解方程 x2＝2 呢？
根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ 2 .
此一元二次方程的根为 x1＝ 2 ， x2= 2 .
【概念】
解方程x2＝2． 解：
x1 ＝ 2 ，x2= 2 .
像这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
【例题精讲】
例1 解下列方程：
完全平方பைடு நூலகம்，右边是非负数的形式，然后用平方根的概
念求解 .
【练习】